Medida completa

Espacio de medida donde cada subconjunto de un conjunto con medida nula es medible (y tiene medida nula)

En matemáticas , una medida completa (o, más precisamente, un espacio de medida completo ) es un espacio de medida en el que cada subconjunto de cada conjunto nulo es medible (tiene medida cero ). Más formalmente, un espacio de medida ( X , Σ,  μ ) es completo si y solo si ^{[1] [2]}

${\displaystyle S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ and }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .}$

Motivación

La necesidad de considerar cuestiones de completitud se puede ilustrar considerando el problema de los espacios de productos.

Supongamos que ya hemos construido la medida de Lebesgue en la línea real : denotemos este espacio de medida por Ahora deseamos construir una medida de Lebesgue bidimensional en el plano como una medida del producto . Ingenuamente, tomaríamos el álgebra de como el álgebra más pequeña que contiene todos los "rectángulos" medibles para ${\displaystyle (\mathbb {R} ,B,\lambda ).}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle B\otimes B,}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in B.}$

Si bien este enfoque define un espacio de medida , tiene un defecto. Dado que cada conjunto singleton tiene una medida de Lebesgue unidimensional cero, para cualquier subconjunto de Sin embargo, supongamos que es un subconjunto no medible de la línea real, como el conjunto de Vitali . Entonces la -medida de no está definida pero y este conjunto más grande tiene -medida cero. Por lo tanto, esta "medida de Lebesgue bidimensional" tal como se acaba de definir no es completa y se requiere algún tipo de procedimiento de compleción. $${\displaystyle \lambda ^{2}(\{0\}\times A)\leq \lambda (\{0\})=0}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \{0\}\times A}$ $${\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,}$$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

Construcción de una medida completa

Dado un espacio de medida (posiblemente incompleto) ( X , Σ ,  μ ), existe una extensión ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ) de este espacio de medida que es completa. ^[3] La extensión más pequeña de este tipo (es decir, la σ -álgebra más pequeña Σ ₀ ) se denomina completitud del espacio de medida.

La terminación se puede construir de la siguiente manera:

• sea ​​Z el conjunto de todos los subconjuntos de los subconjuntos de medida cero μ de X (intuitivamente, aquellos elementos de Z que no están ya en Σ son los que impiden que la completitud sea verdadera);
• sea ​​Σ ₀ la σ -álgebra generada por Σ y Z (es decir, la σ -álgebra más pequeña que contiene cada elemento de Σ y de Z );
• μ tiene una extensión μ ₀ a Σ ₀ (que es única si μ es σ -finito ), llamada medida externa de μ , dada por el ínfimo

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma _{0}\}.}$

Entonces ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ) es un espacio de medida completo, y es la completitud de ( X , Σ,  μ ).

En la construcción anterior se puede demostrar que cada miembro de Σ ₀ es de la forma A  ∪  B para algún A  ∈ Σ y algún B  ∈  Z , y

${\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).}$

Ejemplos

• La medida de Borel, tal como se define en el álgebra σ de Borel generada por los intervalos abiertos de la línea real, no es completa, por lo que se debe utilizar el procedimiento de compleción anterior para definir la medida de Lebesgue completa. Esto se ilustra por el hecho de que el conjunto de todos los conjuntos de Borel sobre los números reales tiene la misma cardinalidad que estos últimos. Mientras que el conjunto de Cantor es un conjunto de Borel, tiene medida cero y su conjunto potencia tiene cardinalidad estrictamente mayor que la de los números reales. Por lo tanto, hay un subconjunto del conjunto de Cantor que no está contenido en los conjuntos de Borel. Por lo tanto, la medida de Borel no es completa.
• La medida de Lebesgue n -dimensional es la compleción del producto n -vez del espacio de Lebesgue unidimensional consigo mismo. También es la compleción de la medida de Borel, como en el caso unidimensional.

Propiedades

El teorema de Maharam establece que todo espacio de medida completo es descomponible en medidas en continuos y una medida de conteo finita o contable .

Véase también

• Medida interior
• Conjunto medible de Lebesgue  – Concepto de área en cualquier dimensiónPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

• Terekhin, AP (2001) [1994], "Medida completa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

1. Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 18. Nueva York, NY: Springer New York. p. 31. doi :10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-1-4684-9442-6.
2. de Barra, G. (2003). Teoría de la medida e integración. Woodhead Publishing Limited. pág. 94. doi :10.1533/9780857099525. ISBN 978-1-904275-04-6.
3. Rudin, Walter (2013). Análisis real y complejo . McGraw-Hill International Editions Mathematics series (3. ed., ed. internat., ed. [Nachdr.]). Nueva York, NY: McGraw-Hill. pp. 27–28. ISBN 978-0-07-054234-1.