Conjunto analítico

En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco es un conjunto analítico si es una imagen continua de un espacio polaco. Estos conjuntos fueron definidos por primera vez por Luzin (1917) y su alumno Souslin (1917). ^[1] ${\displaystyle X}$

Definición

Existen varias definiciones equivalentes de conjunto analítico. Las siguientes condiciones sobre un subespacio A de un espacio polaco X son equivalentes:

• A es analítico.
• A es una imagen vacía o continua del espacio de Baire ω ^ω .
• A es un espacio de Suslin , en otras palabras A es la imagen de un espacio polaco bajo una aplicación continua.
• A es la imagen continua de un conjunto de Borel en un espacio polaco.
• A es un conjunto Suslin , la imagen de la operación Suslin .
• Hay un espacio polaco y un conjunto de Borel tales que es la proyección de sobre ; es decir, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle A=\{x\in X|(\exists y\in Y)\langle x,y\rangle \in B\}.}$

• A es la proyección de un conjunto cerrado en el producto cartesiano de X con el espacio de Baire.
• A es la proyección de un conjunto G δ en el producto cartesiano de X con el espacio de Cantor 2 ^ω .

Una caracterización alternativa, en el caso específico e importante del espacio de Baire ω ^ω , es que los conjuntos analíticos son precisamente las proyecciones de árboles sobre . De manera similar, los subconjuntos analíticos del espacio de Cantor 2 ^ω son precisamente las proyecciones de árboles sobre . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \times \omega }$ ${\displaystyle 2\times \omega }$

Propiedades

Los subconjuntos analíticos de los espacios polacos están cerrados bajo uniones e intersecciones numerables, imágenes continuas e imágenes inversas. El complemento de un conjunto analítico no necesita ser analítico. Suslin demostró que si el complemento de un conjunto analítico es analítico, entonces el conjunto es de Borel. (A la inversa, cualquier conjunto de Borel es analítico y los conjuntos de Borel están cerrados bajo complementos). Luzin demostró de manera más general que dos conjuntos analíticos cualesquiera disjuntos están separados por un conjunto de Borel: en otras palabras, hay un conjunto de Borel que incluye a uno y es disjunto del otro. Esto a veces se llama el "principio de separabilidad de Luzin" (aunque estaba implícito en la prueba del teorema de Suslin).

Los conjuntos analíticos son siempre medibles según el método de Lebesgue (de hecho, universalmente medibles ) y tienen la propiedad de Baire y la propiedad del conjunto perfecto .

Ejemplos

Cuando es un conjunto de números naturales, se hace referencia al conjunto como el conjunto de diferencias de . El conjunto de conjuntos de diferencias de números naturales es un conjunto analítico y es completo para los conjuntos analíticos. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x-y\mid y\leq x\land x,y\in A\}}$ ${\displaystyle A}$

Jerarquía proyectiva

Los conjuntos analíticos también se denominan (véase jerarquía proyectiva ). Nótese que la fuente en negrita en este símbolo no es la convención de Wikipedia, sino que se utiliza de manera distintiva de su contraparte en letra clara (véase jerarquía analítica ). Los complementos de los conjuntos analíticos se denominan conjuntos coanalíticos y el conjunto de conjuntos coanalíticos se denota por . La intersección es el conjunto de conjuntos de Borel. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$

Véase también

• Proyección (teoría de la medida)

Referencias

1. Lorentz, GG (2001). "¿Quién descubrió los conjuntos analíticos?". The Mathematical Intelligencer . 23 (4): 28–32. doi :10.1007/BF03024600. ISSN  0343-6993.
2. JH Schmerl, "¿Cuál es la diferencia?". Anales de lógica pura y aplicada, vol. 93 (1998), págs. 255-261.

• El'kin, AG (2001) [1994], "Conjunto analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Efimov, BA (2001) [1994], "Principios de separabilidad de Luzin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kechris, AS (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
• Luzin, NN (1917), "Sur la Classification de M. Baire", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Série I , 164 : 91–94
• NN Lusin, "Leçons sur les ensembles analytiques et leurs application", Gauthier-Villars (1930)
• Moschovakis, Yiannis N. (1980), Teoría de conjuntos descriptivos , North Holland, ISBN 0-444-70199-0
• Martin, Donald A. : Cardinales medibles y juegos analíticos. Fundamenta Mathematicae 66 (1969/1970), págs. 287-291.
• Souslin, M. (1917), "Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 164 : 88–91