Proyección (teoría de la medida)

En la teoría de la medida , los mapas de proyección aparecen a menudo cuando se trabaja con espacios producto (cartesianos): el producto sigma-álgebra de espacios medibles se define como el más fino para que los mapeos de proyección sean mensurables . A veces, por alguna razón, los espacios producto están equipados con álgebra 𝜎 diferente al álgebra 𝜎 producto. En estos casos, las proyecciones no necesitan ser mensurables en absoluto.

El conjunto proyectado de un conjunto mensurable se llama conjunto analítico y no necesita ser un conjunto mensurable. Sin embargo, en algunos casos, ya sea en relación con el producto 𝜎-álgebra o en relación con alguna otra 𝜎-álgebra, el conjunto proyectado de un conjunto medible es de hecho medible.

El propio Henri Lebesgue , uno de los fundadores de la teoría de la medida, se equivocó al respecto. En un artículo de 1905 escribió que la proyección de Borel en el plano sobre la recta real es nuevamente un conjunto de Borel. ^[1] El matemático Mikhail Yakovlevich Suslin encontró ese error unos diez años después, y su investigación posterior condujo a la teoría descriptiva de conjuntos . ^[2] El error fundamental de Lebesgue fue pensar que la proyección conmuta con una intersección decreciente, mientras que existen simples contraejemplos para ello. ^[3]

Ejemplos básicos

Para ver un ejemplo de un conjunto no medible con proyecciones medibles , considere el espacio con álgebra 𝜎 y el espacio con álgebra 𝜎. El conjunto diagonal no es medible relativamente, aunque ambas proyecciones son conjuntos medibles. ${\displaystyle X:=\{0,1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}$ ${\displaystyle Y:=\{0,1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\{\varnothing ,\{0,1\}\}.}$ ${\displaystyle \{(0,0),(1,1)\}\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}},}$

El ejemplo común de un conjunto no medible que es una proyección de un conjunto medible está en el álgebra 𝜎 de Lebesgue . Sea el álgebra 𝜎 de Lebesgue de y sea el álgebra 𝜎 de Lebesgue de Para cualquier acotado que no esté en el conjunto está en ya que la medida de Lebesgue es completa y el conjunto producto está contenido en un conjunto de medida cero. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle N\times \{0\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}',}$

Aún así se puede ver que no es el producto 𝜎-álgebra sino su compleción. Como en el ejemplo del producto 𝜎-álgebra, se puede tomar el espacio (o cualquier producto de un conjunto con cardinalidad mayor que el continuo) con el producto 𝜎-álgebra donde para cada De hecho, en este caso "la mayoría" de los conjuntos proyectados no son medibles, ya que la cardinalidad de es mientras que la cardinalidad de los conjuntos proyectados es. También hay ejemplos de conjuntos de Borel en el plano cuya proyección a la recta real no es un conjunto de Borel, como mostró Suslin. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\textstyle {\bigotimes \limits _{t\in \mathbb {R} }}{\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}\cdot 2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}},}$ ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}.}$

Teorema de proyección medible

El siguiente teorema da una condición suficiente para que la proyección de conjuntos mensurables sea mensurable.

Sea un espacio medible y un espacio pulido donde está su álgebra de Borel 𝜎. Entonces, para cada conjunto en el producto 𝜎-álgebra, el conjunto proyectado es un conjunto universalmente medible en relación con ^[4] ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Un caso especial importante de este teorema es que la proyección de cualquier conjunto de Borel sobre donde es medible según Lebesgue, aunque no sea necesariamente un conjunto de Borel. Además, significa que el primer ejemplo de un conjunto no mensurable según Lebesgue es una proyección de algún conjunto mensurable de es el único tipo de ejemplo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

Ver también

• Conjunto analítico  : subconjunto de un espacio polaco que es la imagen continua de un espacio polacoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teoría descriptiva de conjuntos  - Subcampo de la lógica matemática

Referencias

1. Lebesgue, H. (1905) Sur les fonctions représentables analytiquement. Revista de Mathématiques Pures et Appliquées. vol. 1, 139–216.
2. Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos. Holanda del Norte. pag. 2.ISBN​ 0-444-70199-0.
3. Lowther, George (8 de noviembre de 2016). "Proyección mensurable y el teorema de debut". Casi seguro . Consultado el 21 de marzo de 2018 .
4. * Crauel, Hans (2003). Medidas de probabilidad aleatoria en espacios polacos. MONOGRAFÍAS ESTOCÁSTICAS. Londres: CRC Press. pag. 13.ISBN​ 0415273870.

enlaces externos

• "Teorema de proyección mensurable", PlanetMath