Teoría descriptiva de conjuntos

Subcampo de la lógica matemática

En lógica matemática , la teoría descriptiva de conjuntos ( TSD ) es el estudio de ciertas clases de subconjuntos de la línea real y otros espacios polacos que se comportan bien . Además de ser una de las principales áreas de investigación en teoría de conjuntos , tiene aplicaciones en otras áreas de las matemáticas, como el análisis funcional , la teoría ergódica , el estudio de álgebras de operadores y acciones grupales , y la lógica matemática .

Espacios polacos

La teoría descriptiva de conjuntos comienza con el estudio de los espacios polacos y sus conjuntos de Borel .

Un espacio polaco es un espacio topológico numerable en segundos que es metrizable con una métrica completa . Heurísticamente, es un espacio métrico separable completo cuya métrica ha sido "olvidada". Algunos ejemplos incluyen la línea real , el espacio de Baire , el espacio de Cantor y el cubo de Hilbert . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$

Propiedades de universalidad

La clase de espacios polacos tiene varias propiedades de universalidad, que muestran que no hay pérdida de generalidad al considerar espacios polacos de ciertas formas restringidas.

• Todo espacio polaco es homeomorfo a un subespacio G δ del cubo de Hilbert , y todo subespacio G _δ del cubo de Hilbert es polaco.
• Todo espacio polaco se obtiene como una imagen continua del espacio de Baire; de ​​hecho, todo espacio polaco es la imagen de una biyección continua definida sobre un subconjunto cerrado del espacio de Baire. De manera similar, todo espacio polaco compacto es una imagen continua del espacio de Cantor.

Debido a estas propiedades de universalidad, y debido a que el espacio de Baire tiene la conveniente propiedad de ser homeomorfo a , muchos resultados en la teoría de conjuntos descriptivos se prueban solo en el contexto del espacio de Baire. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\omega }}$

Conjuntos de borel

La clase de conjuntos de Borel de un espacio topológico X está formada por todos los conjuntos de la σ-álgebra más pequeña que contiene los conjuntos abiertos de X. Esto significa que los conjuntos de Borel de X son la colección más pequeña de conjuntos tales que:

• Cada subconjunto abierto de X es un conjunto de Borel.
• Si A es un conjunto de Borel, entonces también lo es . Es decir, la clase de conjuntos de Borel está cerrada bajo complementación. ${\displaystyle X\setminus A}$
• Si A _n es un conjunto de Borel para cada número natural n , entonces la unión es un conjunto de Borel. Es decir, los conjuntos de Borel son cerrados bajo uniones contables. ${\displaystyle \bigcup A_{n}}$

Un resultado fundamental muestra que dos espacios polacos incontables cualesquiera X e Y son isomorfos a Borel : existe una biyección de X a Y tal que la preimagen de cualquier conjunto de Borel es Borel, y la imagen de cualquier conjunto de Borel es Borel. Esto da una justificación adicional a la práctica de restringir la atención al espacio de Baire y al espacio de Cantor, ya que estos y cualquier otro espacio polaco son todos isomorfos a nivel de los conjuntos de Borel.

Jerarquía de Borel

Cada conjunto de Borel de un espacio polaco se clasifica en la jerarquía de Borel en función de cuántas veces se deben utilizar las operaciones de unión y complementación contables para obtener el conjunto, comenzando por los conjuntos abiertos. La clasificación se realiza en términos de números ordinales contables . Para cada ordinal contable distinto de cero α existen clases , , y . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$

• Se declara que todo conjunto abierto es . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$
• Se declara que un conjunto es si y sólo si su complemento es . ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$
• Se declara que un conjunto A es , δ > 1, si existe una secuencia ⟨ A _i ⟩ de conjuntos, cada uno de los cuales es para algún λ ( i ) < δ , tal que . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}}$ ${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$
• Un conjunto es si y sólo si es a la vez y . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

Un teorema muestra que cualquier conjunto que es o es , y cualquier conjunto es a la vez y para todo α > β . Por lo tanto, la jerarquía tiene la siguiente estructura, donde las flechas indican la inclusión. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}}$

Propiedades de regularidad de los conjuntos de Borel

La teoría clásica descriptiva de conjuntos incluye el estudio de las propiedades de regularidad de los conjuntos de Borel. Por ejemplo, todos los conjuntos de Borel de un espacio polaco tienen la propiedad de Baire y la propiedad de conjunto perfecto . La teoría moderna descriptiva de conjuntos incluye el estudio de las formas en que estos resultados se generalizan, o no se generalizan, a otras clases de subconjuntos de espacios polacos.

Conjuntos analíticos y coanalíticos

Un poco más allá de los conjuntos de Borel en complejidad están los conjuntos analíticos y los conjuntos coanalíticos . Un subconjunto de un espacio polaco X es analítico si es la imagen continua de un subconjunto de Borel de algún otro espacio polaco. Aunque cualquier preimagen continua de un conjunto de Borel es Borel, no todos los conjuntos analíticos son conjuntos de Borel. Un conjunto es coanalítico si su complemento es analítico.

Conjuntos proyectivos y grados de Wadge

Muchas cuestiones de la teoría descriptiva de conjuntos dependen en última instancia de consideraciones de la teoría de conjuntos y de las propiedades de los números ordinales y cardinales . Este fenómeno es particularmente evidente en los conjuntos proyectivos . Estos se definen a través de la jerarquía proyectiva en un espacio polaco X :

• Se declara que un conjunto es si es analítico. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}}$
• Un conjunto es si es coanalítico. ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}}$
• Un conjunto A es si existe un subconjunto B de tal que A es la proyección de B a la primera coordenada. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Un conjunto A es si existe un subconjunto B de tal que A es la proyección de B a la primera coordenada. ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Un conjunto es si es a la vez y . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$

Al igual que con la jerarquía de Borel, para cada n , cualquier conjunto es a la vez y . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$

Las propiedades de los conjuntos proyectivos no están completamente determinadas por ZFC. Bajo el supuesto V = L , no todos los conjuntos proyectivos tienen la propiedad de conjunto perfecto o la propiedad de Baire. Sin embargo, bajo el supuesto de determinación proyectiva , todos los conjuntos proyectivos tienen tanto la propiedad de conjunto perfecto como la propiedad de Baire. Esto está relacionado con el hecho de que ZFC prueba la determinación de Borel , pero no la determinación proyectiva.

También existen extensiones genéricas de para cualquier número natural en el que consta de todos los subconjuntos de caras claras de . ^[1] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \omega }$

De manera más general, la colección completa de conjuntos de elementos de un espacio polaco X se puede agrupar en clases de equivalencia, conocidas como grados de Wadge , que generalizan la jerarquía proyectiva. Estos grados están ordenados en la jerarquía de Wadge . El axioma de determinación implica que la jerarquía de Wadge en cualquier espacio polaco está bien fundada y tiene una longitud Θ , con una estructura que extiende la jerarquía proyectiva.

Relaciones de equivalencia de Borel

Un área contemporánea de investigación en la teoría descriptiva de conjuntos estudia las relaciones de equivalencia de Borel . Una relación de equivalencia de Borel en un espacio polaco X es un subconjunto de Borel de que es una relación de equivalencia en X. ${\displaystyle X\times X}$

Teoría de conjuntos descriptivos eficaz

El área de la teoría de conjuntos descriptivos efectiva combina los métodos de la teoría de conjuntos descriptivos con los de la teoría de recursión generalizada (especialmente la teoría hiperaritmética ). En particular, se centra en los análogos de cara clara de las jerarquías de la teoría de conjuntos descriptivos clásica. Así, se estudia la jerarquía hiperaritmética en lugar de la jerarquía de Borel, y la jerarquía analítica en lugar de la jerarquía proyectiva. Esta investigación está relacionada con versiones más débiles de la teoría de conjuntos, como la teoría de conjuntos de Kripke-Platek y la aritmética de segundo orden .

Mesa

Esta caja:

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Véase también

• Clase de punto
• Preordenamiento de pozos
• Propiedad de escala

Referencias

• Kechris, Alexander S. (1994). Teoría clásica de conjuntos descriptivos . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos. Holanda del Norte. p. 2. ISBN 0-444-70199-0.

Citas

1. V. Kanovei, V. Lyubetsky, "Sobre el problema Δ n 1 {\displaystyle \Delta _{n}^{1}} de Harvey Friedman. En Lógica matemática y sus aplicaciones (2020), DOI 10.3380/math8091477.

Enlaces externos

• Teoría de conjuntos descriptivos, David Marker, 2002. Apuntes de clase.