Pedido previo al pozo

Concepto de teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos , un preordenamiento en un conjunto es un preorden en (una relación transitiva y reflexiva en ) que está fuertemente conectado (lo que significa que dos puntos cualesquiera son comparables) y bien fundado en el sentido de que la relación inducida definida por es una relación bien fundada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\nleq x}$

Preordenamiento de pozo en un conjunto

Un preordenamiento de pozo en un conjunto es una relación binaria homogénea que satisface las siguientes condiciones: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$

1. Reflexividad : para todos ${\displaystyle x\leq x}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. Transitividad : si y entonces para todos ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y<z}$ ${\displaystyle x<z}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$
3. Total/Fuertemente conectado : o para todos ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. para cada subconjunto no vacío existe alguno tal que para todos ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle s\in S.}$
   • Esta condición es equivalente al preorden estricto inducido definido por y siendo una relación bien fundada . ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\nleq x}$

Una relación binaria homogénea en es un prebienordenamiento si y solo si existe una sobreyección en un conjunto bien ordenado tal que para todo si y solo si ^[1] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle (Y,\lesssim )}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\textstyle x\leq y}$ ${\displaystyle \pi (x)\lesssim \pi (y).}$

Ejemplos

Diagrama de Hasse del preordenamiento de pozos en los números enteros no negativos, mostrado hasta 29. Los ciclos se indican en rojo y denotan la función de piso . ${\displaystyle \lfloor x/4\rfloor \leq \lfloor y/5\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$

Diagrama de Hasse del preordenamiento de los números enteros no negativos, mostrado hasta el 18. La relación de equivalencia asociada es que identifica los números en cada cuadrado rojo claro. ${\displaystyle \lfloor x/4\rfloor \leq \lfloor y/4\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x/4\rfloor =\lfloor y/4\rfloor ;}$

Dado un conjunto, la relación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos finitos de definido por si y sólo si (donde denota la cardinalidad del conjunto ) es un preordenamiento. ^[1] ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {Finite} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S\leq T}$ ${\displaystyle |S|\leq |T|}$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Propiedades

Si es un pre-ordenamiento en entonces la relación definida por es una relación de equivalencia en e induce un pre-ordenamiento en el cociente El tipo de orden de este pre-ordenamiento inducido es un ordinal , al que se hace referencia como la longitud del pre-ordenamiento. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sim }$ $${\displaystyle x\sim y{\text{ if and only if }}x\leq y\land y\leq x}$$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X/{\sim }.}$

Una norma en un conjunto es una función de en los ordinales. Toda norma induce un preordenamiento; si es una norma, el preordenamiento asociado viene dado por A la inversa, todo preordenamiento es inducido por una norma regular única (una norma es regular si, para cualquier y cualquier existe tal que ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi :X\to Ord}$ $${\displaystyle x\leq y{\text{ if and only if }}\phi (x)\leq \phi (y)}$$ ${\displaystyle \phi :X\to Ord}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \alpha <\phi (x),}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \phi (y)=\alpha }$

Propiedad de preordenamiento

Si es una clase puntual de subconjuntos de alguna colección de espacios polacos , cerrada bajo el producto cartesiano , y si es un preordenamiento de algún subconjunto de algún elemento de entonces se dice que es un - preordenamiento de si las relaciones y son elementos de donde para ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle <^{*}}$ ${\displaystyle \leq ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

1. ${\displaystyle x<^{*}y{\text{ if and only if }}x\in P\land (y\notin P\lor (x\leq y\land y\not \leq x))}$
2. ${\displaystyle x\leq ^{*}y{\text{ if and only if }}x\in P\land (y\notin P\lor x\leq y)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$Se dice que tiene la propiedad prewellordering si cada conjunto en admite un -prewellordering. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$

La propiedad de preordenamiento está relacionada con la propiedad de escala más fuerte ; en la práctica, muchas clases de puntos que tienen la propiedad de preordenamiento también tienen la propiedad de escala, lo que permite extraer conclusiones más sólidas.

Ejemplos

${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$y ambos tienen la propiedad de preordenamiento; esto se puede demostrar solo en ZFC . Suponiendo suficientes cardinales grandes , para cada y tienen la propiedad de preordenamiento. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$ ${\displaystyle n\in \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}}$

Consecuencias

Reducción

Si es una clase de puntos adecuada con la propiedad de preordenamiento, entonces también tiene la propiedad de reducción : Para cualquier espacio y cualquier conjunto y ambos en la unión pueden dividirse en conjuntos tanto en tales que como ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A^{*},B^{*},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle A^{*}\subseteq A}$ ${\displaystyle B^{*}\subseteq B.}$

Separación

Si es una clase puntual adecuada cuya clase puntual dual tiene la propiedad de preordenamiento, entonces tiene la propiedad de separación : Para cualquier espacio y cualquier conjunto y conjuntos disjuntos , ambos en, hay un conjunto tal que ambos y su complemento están en con y ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\cap C=\varnothing .}$

Por ejemplo, tiene la propiedad de preordenamiento, por lo que tiene la propiedad de separación. Esto significa que si y son subconjuntos analíticos disjuntos de algún espacio polaco , entonces existe un subconjunto de Borel de tal que incluye y es disjunto de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Véase también

• Teoría descriptiva de conjuntos  – Subcampo de la lógica matemática
• Conjunto  parcialmente ordenado equipado con una función de rango Pages displaying wikidata descriptions as a fallback. Un conjunto parcialmente ordenado es análogo a un conjunto preordenado con una norma, reemplazando una función a los ordinales con una función a los números naturales.
• Propiedad de escala  : tipo de objeto en la teoría de conjuntos descriptivosPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Moschovakis 2006, pág. 106.

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-096319-8.OCLC 499778252  .
• Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notas sobre la teoría de conjuntos . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-31609-3.OCLC 209913560  .