En la disciplina matemática de la teoría descriptiva de conjuntos , una escala es un cierto tipo de objeto definido en un conjunto de puntos en algún espacio polaco (por ejemplo, una escala podría definirse en un conjunto de números reales ). Las escalas se aislaron originalmente como un concepto en la teoría de uniformización , [1] pero han encontrado una amplia aplicabilidad en la teoría descriptiva de conjuntos, con aplicaciones tales como establecer límites en las longitudes posibles de los buenos ordenamientos de una complejidad dada y mostrar (bajo ciertos supuestos) que existen los conjuntos contables más grandes de ciertas complejidades.
Dado un conjunto de puntos A contenido en algún espacio de producto
donde cada X k es el espacio de Baire o un conjunto discreto infinito numerable, decimos que una norma en A es una función de A en los números ordinales . Cada norma tiene un preordenamiento asociado , donde un elemento de A precede a otro elemento si la norma del primero es menor que la norma del segundo.
Una escala en A es una colección infinitamente contable de normas.
con las siguientes propiedades:
Por sí misma, al menos concedido el axioma de elección , la existencia de una escala en un conjunto de puntos es trivial, ya que A puede estar bien ordenado y cada φ n puede simplemente enumerar A . Para que el concepto sea útil, se debe imponer un criterio de definibilidad a las normas (individualmente y en conjunto). Aquí, "definibilidad" se entiende en el sentido habitual de la teoría de conjuntos descriptivos; no necesita ser definibilidad en un sentido absoluto, sino que indica más bien la pertenencia a alguna clase de puntos de conjuntos de reales. Las normas φ n en sí mismas no son conjuntos de reales, pero los preordenamientos correspondientes sí lo son (al menos en esencia).
La idea es que, para una clase de puntos dada Γ, queremos que los preordenamientos de pozos por debajo de un punto dado en A se representen uniformemente tanto como un conjunto en Γ como uno en la clase de puntos dual de Γ, en relación con el punto "más grande" que es un elemento de A . Formalmente, decimos que los φ n forman una escala Γ en A si forman una escala en A y hay relaciones ternarias S y T tales que, si y es un elemento de A , entonces
donde S está en Γ y T está en la clase puntual dual de Γ (es decir, el complemento de T está en Γ). [3] Nótese aquí que pensamos en φ n ( x ) como ∞ siempre que x ∉ A ; por lo tanto, la condición φ n ( x )≤φ n ( y ), para y ∈ A , también implica x ∈ A .
La definición no implica que la colección de normas esté en la intersección de Γ con la clase puntual dual de Γ. Esto se debe a que la equivalencia de tres vías está condicionada a que y sea un elemento de A . Para y no está en A , podría darse el caso de que uno o ambos de S(n,x,y) o T(n,x,y) no se cumplan, incluso si x está en A (y, por lo tanto, automáticamente φ n ( x )≤φ n ( y )=∞).
La propiedad de escala es un fortalecimiento de la propiedad de preordenamiento del pozo . Para clases puntuales de una forma determinada, implica que las relaciones en la clase puntual dada tienen una uniformización que también está presente en la clase puntual.
