En matemáticas , especialmente en teoría de conjuntos , se dice que dos conjuntos ordenados X e Y tienen el mismo tipo de orden si son isomorfos en orden , es decir, si existe una biyección (cada elemento se empareja con exactamente uno del otro conjunto) tal que tanto f como su inverso son monótonos (preservan los órdenes de los elementos).
En el caso especial cuando X está totalmente ordenado , la monotonía de f ya implica la monotonía de su inversa.
Un mismo conjunto puede estar dotado de órdenes diferentes. Como la equivalencia de órdenes es una relación de equivalencia , divide la clase de todos los conjuntos ordenados en clases de equivalencia .
Si un conjunto tiene un tipo de orden denotado , el tipo de orden del orden inverso, el dual de , se denota .
El tipo de orden de un conjunto bien ordenado X a veces se expresa como ord( X ) . [1]
El tipo de orden de los números enteros y racionales se denota habitualmente como y , respectivamente. El conjunto de números enteros y el conjunto de números enteros pares tienen el mismo tipo de orden, porque la aplicación es una biyección que preserva el orden. Pero el conjunto de números enteros y el conjunto de números racionales (con el ordenamiento estándar) no tienen el mismo tipo de orden, porque aunque los conjuntos son del mismo tamaño (ambos son infinitos numerablemente ), no hay una aplicación biyectiva que preserve el orden entre ellos. El intervalo abierto (0, 1) de los racionales es isomorfo en orden a los racionales, ya que, por ejemplo, es una biyección estrictamente creciente del primero al segundo. A continuación se amplían los teoremas relevantes de este tipo.
Se pueden dar más ejemplos: el conjunto de los números enteros positivos (que tiene un elemento menor) y el de los números enteros negativos (que tiene un elemento mayor). Los números naturales tienen un tipo de orden denotado por ω, como se explica a continuación.
Los racionales contenidos en los intervalos semicerrados [0,1) y (0,1], y el intervalo cerrado [0,1], son tres ejemplos adicionales de tipo de orden.
Por definición, todo conjunto bien ordenado es equivalente en orden a exactamente un número ordinal . Los números ordinales se consideran los representantes canónicos de sus clases, por lo que el tipo de orden de un conjunto bien ordenado suele identificarse con el ordinal correspondiente. Por lo tanto, los tipos de orden suelen adoptar la forma de expresiones aritméticas de ordinales.
En primer lugar, el tipo de orden del conjunto de números naturales es ω . Cualquier otro modelo de aritmética de Peano , es decir, cualquier modelo no estándar , comienza con un segmento isomorfo a ω pero luego agrega números adicionales. Por ejemplo, cualquier modelo contable de este tipo tiene el tipo de orden ω + (ω* + ω) ⋅ η .
En segundo lugar, consideremos el conjunto V de ordinales pares menores que ω ⋅ 2 + 7 :
Como esto comprende dos secuencias de conteo separadas seguidas de cuatro elementos al final, el tipo de orden es
Con respecto a su ordenamiento estándar como números, el conjunto de los racionales no está bien ordenado. Tampoco lo está , en realidad, el conjunto completo de los reales.
Cualquier conjunto numerable totalmente ordenado puede ser mapeado inyectivamente en los números racionales de manera que se preserve el orden. Cuando el orden es además denso y no tiene elemento más alto ni más bajo, incluso existe una aplicación biyectiva de este tipo.
