conjunto analítico

En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco es un conjunto analítico si es una imagen continua de un espacio polaco. Estos conjuntos fueron definidos por primera vez por Luzin (1917) y su alumno Souslin (1917). ${\displaystyle X}$

Definición

Existen varias definiciones equivalentes de conjunto analítico. Las siguientes condiciones en un subespacio A de un espacio polaco X son equivalentes:

• A es analítico.
• A es una imagen vacía o continua del espacio de Baire ω ^ω .
• A es un espacio Suslin , en otras palabras, A es la imagen de un espacio polaco bajo un mapeo continuo.
• A es la imagen continua de un Borel ambientado en un espacio polaco.
• A es un conjunto de Suslin , la imagen de la operación Suslin .
• Hay un espacio polaco y un conjunto de Borel tal que es la proyección de sobre ; eso es, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle A=\{x\in X|(\exists y\in Y)\langle x,y\rangle \in B\}.}$

• A es la proyección de un conjunto cerrado en el producto cartesiano de X con el espacio de Baire.
• A es la proyección de un conjunto G δ en el producto cartesiano de X con el espacio de Cantor 2 ^ω .

Una caracterización alternativa, en el caso específico e importante del espacio de Baire ω ^ω , es que los conjuntos analíticos son precisamente las proyecciones de los árboles en . De manera similar, los subconjuntos analíticos del espacio de Cantor 2 ^ω son precisamente las proyecciones de los árboles en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \times \omega }$ ${\displaystyle 2\times \omega }$

Propiedades

Los subconjuntos analíticos de espacios polacos están cerrados bajo uniones e intersecciones contables, imágenes continuas e imágenes inversas. El complemento de un conjunto analítico no tiene por qué ser analítico. Suslin demostró que si el complemento de un conjunto analítico es analítico entonces el conjunto es Borel. (A la inversa, cualquier conjunto de Borel es analítico y los conjuntos de Borel están cerrados bajo complementos). Luzin demostró de manera más general que dos conjuntos analíticos disjuntos cualesquiera están separados por un conjunto de Borel: en otras palabras, hay un conjunto de Borel que incluye uno y es disjunto del otro. A esto a veces se le llama "principio de separabilidad de Luzin" (aunque estaba implícito en la demostración del teorema de Suslin).

Los conjuntos analíticos son siempre mensurables según Lebesgue (de hecho, universalmente mensurables ) y tienen la propiedad de Baire y la propiedad del conjunto perfecto .

Ejemplos

Cuando es un conjunto de números naturales, se refiere al conjunto como el conjunto de diferencias de . El conjunto de conjuntos de diferencias de números naturales es un conjunto analítico y es completo para los conjuntos analíticos. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x-y\mid y\leq x\land x,y\in A\}}$ ${\displaystyle A}$

Jerarquía proyectiva

También se denominan conjuntos analíticos (ver jerarquía proyectiva ). Tenga en cuenta que la fuente en negrita en este símbolo no es la convención de Wikipedia, sino que se usa de manera distintiva de su contraparte clara (ver jerarquía analítica ). Los complementos de conjuntos analíticos se denominan conjuntos coanalíticos , y el conjunto de conjuntos coanalíticos se denota por . La intersección es el conjunto de conjuntos de Borel. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$

Ver también

• Proyección (teoría de la medida)

Referencias

1. JH Schmerl, "¿Cuál es la diferencia?". Anales de lógica pura y aplicada vol. 93 (1998), págs. 255-261.

• El'kin, AG (2001) [1994], "Conjunto analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Efimov, BA (2001) [1994], "Principios de separabilidad de Luzin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kechris, AS (1995), Teoría de conjuntos descriptiva clásica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
• Luzin, NN (1917), "Sur la Classification de M. Baire", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Série I , 164 : 91–94
• NN Lusin, "Leçons sur les ensembles analytiques et leurs application", Gauthier-Villars (1930)
• Moschovakis, Yiannis N. (1980), Teoría descriptiva de conjuntos , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-70199-0
• Martin, Donald A .: Cardenales mensurables y juegos analíticos. Fundamenta Mathematicae 66 (1969/1970), pág. 287-291.
• Souslin, M. (1917), "Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 164 : 88–91