Conjunto Gδ

Intersección contable de conjuntos abiertos

En el campo matemático de la topología , un conjunto G _δ es un subconjunto de un espacio topológico que es una intersección contable de conjuntos abiertos . La notación se originó a partir de los sustantivos alemanes Gebiet ' conjunto abierto ' y Durchschnitt ' intersección ' . ^[1] Históricamente, los conjuntos G _δ también se llamaban conjuntos límite internos , ^[2] pero esa terminología ya no se usa. Los conjuntos G _δ y sus conjuntos duales, F 𝜎 , son el segundo nivel de la jerarquía de Borel .

Definición

En un espacio topológico, un conjunto G _δ es una intersección contable de conjuntos abiertos . Los conjuntos G _δ son exactamente del nivel Π⁰
₂conjuntos de la jerarquía de Borel .

Ejemplos

• Cualquier conjunto abierto es trivialmente un conjunto G _{δ .}
• Los números irracionales son un conjunto G _δ de los números reales . Se pueden escribir como la intersección contable de los conjuntos abiertos (el superíndice que denota el complemento ) donde es racional . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{q\}^{c}}$ ${\displaystyle q}$
• El conjunto de números racionales no es un conjunto G _δ en . Si fuera la intersección de conjuntos abiertos, cada uno sería denso en porque es denso en . Sin embargo, la construcción anterior dio los números irracionales como una intersección contable de subconjuntos densos abiertos. Tomando la intersección de ambos conjuntos da el conjunto vacío como una intersección contable de conjuntos densos abiertos en , una violación del teorema de la categoría de Baire . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto de continuidad de cualquier función de valor real es un subconjunto G _δ de su dominio (consulte la sección "Propiedades" para obtener una declaración más general).
• El conjunto cero de una derivada de una función real diferenciable en todas partes en es un conjunto G _δ ; puede ser un conjunto denso con interior vacío, como lo demuestra la construcción de Pompeiu . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto de funciones no diferenciables en ningún punto dentro de [0, 1] contiene un subconjunto denso G _δ del espacio métrico . (Véase Función de Weierstrass § Densidad de funciones no diferenciables en ninguna parte .) ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle C([0,1])}$

Propiedades

La noción de conjuntos G _{δ en espacios} métricos (y topológicos ) está relacionada con la noción de completitud del espacio métrico, así como con el teorema de categorías de Baire . Véase el resultado sobre espacios completamente metrizables en la lista de propiedades a continuación. Los conjuntos y sus complementos también son importantes en el análisis real , especialmente en la teoría de la medida . ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$

Propiedades básicas

• El complemento de un conjunto G _δ es un conjunto F σ , y viceversa.
• La intersección de un número contable de conjuntos G _δ es un conjunto G _δ .
• La unión de un número finito de conjuntos G _δ es un conjunto G _δ .
• Una unión contable de conjuntos G _δ (que se llamaría un conjunto G _δσ ) no es un conjunto G _δ en general. Por ejemplo, los números racionales no forman un conjunto G _δ en . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• En un espacio topológico, el conjunto cero de cada función continua de valor real es un conjunto G _δ (cerrado) , ya que es la intersección de los conjuntos abiertos , . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \{x\in X:-1/n<f(x)<1/n\}}$ ${\displaystyle (n=1,2,\ldots )}$
• En un espacio metrizable , todo conjunto cerrado es un conjunto G _δ y, dualmente, todo conjunto abierto es un conjunto F _{σ .} ^[3] En efecto, un conjunto cerrado es el conjunto cero de la función continua , donde indica la distancia de un punto a un conjunto . Lo mismo ocurre en los espacios pseudometrizables . ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle f(x)=d(x,F)}$ ${\displaystyle d}$
• En un primer espacio contable T 1 , cada singleton es un conjunto G _{δ .} ^[4]
• Un subespacio de un espacio completamente metrizable es en sí mismo completamente metrizable si y sólo si es un conjunto G _δ en . ^{[5] [6]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un subespacio de un espacio polaco es en sí mismo polaco si y solo si es un conjunto G _δ en . Esto se desprende del resultado anterior sobre subespacios completamente metrizables y del hecho de que todo subespacio de un espacio métrico separable es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un espacio topológico es polaco si y sólo si es homeomorfo a un subconjunto G _{δ de un} espacio métrico compacto . ^{[7] [8]} ${\displaystyle X}$

Conjunto de continuidad de funciones con valores reales

El conjunto de puntos en los que una función de un espacio topológico a un espacio métrico es continua es un conjunto. Esto se debe a que la continuidad en un punto se puede definir mediante una fórmula, a saber: Para todos los números enteros positivos existe un conjunto abierto que contiene tales que para todos en . Si un valor de es fijo, el conjunto de para el que existe tal abierto correspondiente es en sí mismo un conjunto abierto (al ser una unión de conjuntos abiertos), y el cuantificador universal en corresponde a la intersección (contable) de estos conjuntos. En consecuencia, si bien es posible que los irracionales sean el conjunto de puntos de continuidad de una función (véase la función palomita de maíz ), es imposible construir una función que sea continua solo en los números racionales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(f(x),f(y))<1/n}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$

En la recta real, también se cumple la inversa: para cualquier subconjunto G _δ de la recta real, hay una función que es continua exactamente en los puntos en . ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$

GRAMOdelespacio

Un espacio G δ ^[10] es un espacio topológico en el que todo conjunto cerrado es un conjunto G _δ . ^[11] Un espacio normal que también es un espacio G _δ se denomina perfectamente normal . Por ejemplo, todo espacio metrizable es perfectamente normal.

Véase también

• Conjunto F _σ , concepto dual ; contrasta "G" del alemán Gebiet ' conjunto abierto ' y "F" del francés fermé ' conjunto cerrado ' .
• P -espacio , cualquier espacio que tenga la propiedad de que todoconjunto _{G δ es abierto}

Notas

1. Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2009). Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert. Princeton University Press . pág. 23. ISBN 9781400835560.
2. Young, William ; Young, Grace Chisholm (1906). Teoría de conjuntos de puntos. Cambridge University Press. pág. 63.
3. Willard, 15C, pág. 105
4. Engelking 1989, pág. 37.
5. Willard, teorema 24.12, pág. 179
6. Engelking, teoremas 4.3.23 y 4.3.24 en la pág. 274. De las notas históricas en la pág. 276, la implicación directa fue demostrada en un caso especial por S. Mazurkiewicz y en el caso general por M. Lavrentieff; la implicación inversa fue demostrada en un caso especial por P. Alexandroff y en el caso general por F. Hausdorff.
7. Fremlin, pág. 334
8. La suficiencia de la condición utiliza el hecho de que todo espacio métrico compacto es separable y completo, y por lo tanto polaco.
9. Saito, Shingo. "Propiedades de los subconjuntos Gδ de R {\displaystyle \mathbb {R} }" (PDF) .
10. Steen y Seebach, pág. 162
11. Johnson 1970.

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Berlín: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
• Fremlin, DH (2003) [2003]. "4, Topología general". Teoría de la medida. Vol. 4. Petersburgo, Inglaterra: Digital Books Logostics. ISBN 0-9538129-4-4Archivado desde el original el 1 de noviembre de 2010 . Consultado el 1 de abril de 2011 .
• Johnson, Roy A. (1970). "Un espacio compacto no metrizable tal que cada subconjunto cerrado es un G-Delta". The American Mathematical Monthly . 77 (2): 172–176. doi :10.2307/2317335. JSTOR  2317335.
• Kelley, John L. (1955). Topología general . van Nostrand . pág. 134.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( edición Dover  ). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general ( ed. Dover  ). Addison-Wesley.