En matemáticas , un subconjunto de un espacio polaco es universalmente mensurable si es mensurable con respecto a cada medida de probabilidad completa que mida todos los subconjuntos de Borel . En particular, un conjunto de reales universalmente medible es necesariamente medible según Lebesgue (ver § Condición de finitud a continuación).
Todo conjunto analítico es universalmente mensurable. De la determinabilidad proyectiva , que a su vez se deriva de cardinales suficientemente grandes , se deduce que todo conjunto proyectivo es universalmente mensurable.
La condición de que la medida sea una medida de probabilidad ; es decir, que la medida en sí misma sea 1, es menos restrictivo de lo que parece. Por ejemplo, la medida de Lebesgue sobre los reales no es una medida de probabilidad, sin embargo, todo conjunto universalmente mensurable es mensurable de Lebesgue. Para ver esto, divida la línea real en un número contable de intervalos de longitud 1; digamos, N 0 =[0,1), N 1 =[1,2), N 2 =[-1,0), N 3 =[2,3), N 4 =[-2,-1), etcétera. Ahora, dejando que μ sea la medida de Lebesgue, defina una nueva medida ν por
Entonces fácilmente ν es una medida de probabilidad en los reales, y un conjunto es ν-medible si y sólo si es medible según Lebesgue. De manera más general, un conjunto universalmente medible debe ser medible con respecto a cada medida sigma-finita que mida todos los conjuntos de Borel.
Supongamos que es un subconjunto del espacio de Cantor ; es decir, es un conjunto de secuencias infinitas de ceros y unos. Al poner un punto binario antes de dicha secuencia, la secuencia puede verse como un número real entre 0 y 1 (inclusive), con cierta ambigüedad sin importancia. Por lo tanto, podemos pensar en un subconjunto del intervalo [0,1] y evaluar su medida de Lebesgue , si está definida. Ese valor a veces se denomina medida de lanzamiento de moneda de , porque es la probabilidad de producir una secuencia de caras y cruces que es un elemento de al lanzar una moneda justa infinitas veces.
Ahora bien, del axioma de elección se deduce que existen algunos sin una medida de Lebesgue bien definida (o medida de lanzamiento de moneda). Es decir, para tal , la probabilidad de que termine la secuencia de lanzamientos de una moneda justa no está bien definida. Esta es una propiedad patológica de quien dice que es "muy complicado" o "mal portado".
A partir de dicho conjunto , forme un nuevo conjunto realizando la siguiente operación en cada secuencia de : Intercale un 0 en cada posición par de la secuencia, moviendo los otros bits para hacer espacio. Aunque intuitivamente no es "más simple" o "de mejor comportamiento" que , la probabilidad de que la secuencia de lanzamientos de una moneda justa sea correcta está bien definida. De hecho, para estar en , la moneda debe salir cruz en cada lanzamiento par, lo que ocurre con probabilidad cero.
Sin embargo, no es universalmente mensurable. Para ver eso, podemos probarlo con una moneda sesgada que siempre sale cruz en los lanzamientos con números pares y es justa en los lanzamientos con números impares. Para que un conjunto de secuencias sea universalmente mensurable, se puede utilizar una moneda arbitrariamente sesgada (incluso una que pueda "recordar" la secuencia de lanzamientos anteriores) y la probabilidad de que la secuencia de sus lanzamientos termine en el conjunto debe ser bien definido. Sin embargo, cuando se prueba con la moneda que mencionamos (la que siempre sale cruz en los lanzamientos pares, y es justa en los lanzamientos impares), la probabilidad de acertar no está bien definida (por la misma razón por la que no se puede determinar). probado por la moneda justa). Por tanto, no es universalmente mensurable.
