En el campo matemático de la teoría de conjuntos , una propiedad cardinal grande es un cierto tipo de propiedad de los números cardinales transfinitos . Los cardinales con tales propiedades son, como sugiere el nombre, generalmente muy "grandes" (por ejemplo, mayores que el α menor tal que α=ω α ). La proposición de que tales cardinales existen no puede probarse en la axiomatización más común de la teoría de conjuntos, es decir, ZFC , y tales proposiciones pueden verse como formas de medir cuánto "más allá de ZFC" uno necesita asumir para poder probar ciertos resultados deseados. En otras palabras, pueden verse, en la frase de Dana Scott , como cuantificación del hecho de "que si quieres más tienes que asumir más". [1]
Existe una convención aproximada según la cual los resultados demostrables a partir de ZFC solo pueden enunciarse sin hipótesis, pero si la prueba requiere otras suposiciones (como la existencia de cardinales grandes), estas deben enunciarse. Si esto es simplemente una convención lingüística o algo más, es un punto controvertido entre las distintas escuelas filosóficas (ver Motivaciones y estatus epistémico más adelante).
AEl axioma cardinal grande es un axioma que establece que existe un cardinal (o quizás muchos de ellos) con alguna propiedad cardinal grande específica.
La mayoría de los teóricos de conjuntos de trabajo creen que los grandes axiomas cardinales que se están considerando actualmente son consistentes con ZFC. [2] Estos axiomas son lo suficientemente fuertes como para implicar la consistencia de ZFC. Esto tiene la consecuencia (a través del segundo teorema de incompletitud de Gödel ) de que su consistencia con ZFC no se puede probar en ZFC (asumiendo que ZFC es consistente).
No existe una definición precisa y generalmente aceptada de qué es una propiedad cardinal grande, aunque esencialmente todos coinciden en que las que figuran en la lista de propiedades cardinales grandes son propiedades cardinales grandes.
Una condición necesaria para que una propiedad de los números cardinales sea una propiedad cardinal grande es que no se sepa que la existencia de dicho cardinal sea incompatible con ZF y que dicho cardinal Κ sea un ordinal inicial incontable para el cual L Κ sea un modelo de ZFC. Si ZFC es compatible , entonces ZFC no implica que existan cardinales tan grandes.
Una observación notable sobre los grandes axiomas cardinales es que parecen ocurrir en un orden estrictamente lineal por fuerza de consistencia . Es decir, no se conoce ninguna excepción a lo siguiente: Dados dos grandes axiomas cardinales A 1 y A 2 , sucede exactamente una de tres cosas:
Estas son mutuamente excluyentes, a menos que una de las teorías en cuestión sea realmente inconsistente.
En el caso 1, decimos que A 1 y A 2 son equiconsistentes . En el caso 2, decimos que A 1 es consistentemente más fuerte que A 2 (viceversa para el caso 3). Si A 2 es más fuerte que A 1 , entonces ZFC+ A 1 no puede probar que ZFC+ A 2 sea consistente, incluso con la hipótesis adicional de que ZFC+ A 1 sea consistente en sí mismo (siempre que realmente lo sea, por supuesto). Esto se deduce del segundo teorema de incompletitud de Gödel .
La observación de que los axiomas de los grandes cardinales están ordenados linealmente por fuerza de consistencia es sólo eso, una observación, no un teorema. (Sin una definición aceptada de la propiedad de los grandes cardinales, no está sujeta a prueba en el sentido ordinario). Además, no se sabe en todos los casos cuál de los tres casos se cumple. Saharon Shelah ha preguntado, "¿[e]xiste algún teorema que explique esto, o nuestra visión es simplemente más uniforme de lo que creemos?". Sin embargo, Woodin deduce esto de la Ω-conjetura , el principal problema sin resolver de su Ω-lógica . También es digno de mención que muchas afirmaciones combinatorias son exactamente equiconsistentes con algún gran cardinal en lugar de, digamos, ser intermedias entre ellos.
El orden de fuerza de consistencia no es necesariamente el mismo que el orden del tamaño del testigo más pequeño de un axioma de cardinal grande. Por ejemplo, la existencia de un cardinal enorme es mucho más fuerte, en términos de fuerza de consistencia, que la existencia de un cardinal supercompacto , pero suponiendo que ambos existan, el primer enorme es más pequeño que el primer supercompacto.
Los cardinales grandes se entienden en el contexto del universo de von Neumann V, que se construye iterando transfinitamente la operación de conjunto potencia , que reúne todos los subconjuntos de un conjunto dado. Típicamente, los modelos en los que fallan los axiomas de cardinales grandes pueden verse de alguna manera natural como submodelos de aquellos en los que los axiomas se mantienen. Por ejemplo, si hay un cardinal inaccesible , entonces "cortar el universo" en la cima del primero de esos cardinales produce un universo en el que no hay cardinal inaccesible. O si hay un cardinal medible , entonces iterar la operación de conjunto potencia definible en lugar de la completa produce el universo construible de Gödel , L, que no satisface la afirmación "hay un cardinal medible" (aunque contiene el cardinal medible como ordinal).
Así, desde un cierto punto de vista sostenido por muchos teóricos de conjuntos (especialmente aquellos inspirados por la tradición de la Cábala ), los axiomas de grandes cardinales "dicen" que estamos considerando todos los conjuntos que "se supone" que estamos considerando, mientras que sus negaciones son "restrictivas" y dicen que estamos considerando sólo algunos de esos conjuntos. Además, las consecuencias de los axiomas de grandes cardinales parecen caer en patrones naturales (véase Maddy, "Believing the Axioms, II"). Por estas razones, estos teóricos de conjuntos tienden a considerar que los axiomas de grandes cardinales tienen un estatus preferente entre las extensiones de ZFC, un estatus que no comparten los axiomas de motivación menos clara (como el axioma de Martin ) u otros que consideran intuitivamente improbables (como V = L ). Los realistas incondicionales de este grupo afirmarían, de forma más sencilla, que los axiomas de grandes cardinales son verdaderos .
Este punto de vista no es en absoluto universal entre los teóricos de conjuntos. Algunos formalistas afirmarían que la teoría de conjuntos estándar es por definición el estudio de las consecuencias de ZFC, y aunque tal vez no se opongan en principio a estudiar las consecuencias de otros sistemas, no ven ninguna razón para destacar como preferidos los grandes cardinales. También hay realistas que niegan que el maximalismo ontológico sea una motivación adecuada, e incluso creen que los axiomas de grandes cardinales son falsos. Y, por último, hay quienes niegan que las negaciones de los axiomas de grandes cardinales sean restrictivas, señalando que (por ejemplo) puede haber un modelo de conjunto transitivo en L que crea que existe un cardinal medible, aunque L en sí mismo no satisfaga esa proposición.