Conjunto transitivo

Clase de conjunto matemático cuyos elementos son todos subconjuntos

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un conjunto se llama transitivo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle A}$

• cuando , y , entonces . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle y\in A}$
• siempre que , y no sea un urelemento , entonces es un subconjunto de . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

De manera similar, una clase es transitiva si cada elemento de es un subconjunto de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Utilizando la definición de números ordinales sugerida por John von Neumann , los números ordinales se definen como conjuntos hereditariamente transitivos: un número ordinal es un conjunto transitivo cuyos miembros también son transitivos (y, por tanto, ordinales). La clase de todos los ordinales es una clase transitiva.

Cualquiera de las etapas que conducen a la construcción del universo de von Neumann y del universo construible de Gödel son conjuntos transitivos. Los universos y ellos mismos son clases transitivas. ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Esta es una lista completa de todos los conjuntos transitivos finitos con hasta 20 corchetes: ^[1]

• ${\displaystyle \{\},}$
• ${\displaystyle \{\{\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}$

Propiedades

Un conjunto es transitivo si y sólo si , donde es la unión de todos los elementos que son conjuntos, . ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \bigcup X\subseteq X}$ ${\textstyle \bigcup X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}$

Si es transitivo, entonces es transitivo. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \bigcup X}$

Si y son transitivos, entonces y son transitivos. En general, si es una clase cuyos elementos son conjuntos transitivos, entonces y son transitivos. (La primera oración de este párrafo es el caso de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\cup Y}$ ${\displaystyle X\cup Y\cup \{X,Y\}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle \bigcup Z}$ ${\textstyle Z\cup \bigcup Z}$ ${\displaystyle Z=\{X,Y\}}$

Un conjunto que no contiene urelementos es transitivo si y sólo si es un subconjunto de su propio conjunto potencia . El conjunto potencia de un conjunto transitivo sin urelementos es transitivo. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$

Clausura transitiva

La clausura transitiva de un conjunto es el conjunto transitivo más pequeño (con respecto a la inclusión) que incluye (es decir ). ^[2] Supongamos que se le da un conjunto , entonces la clausura transitiva de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}$$

Prueba. Denota y . Entonces afirmamos que el conjunto ${\textstyle X_{0}=X}$ ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}$

$${\displaystyle T=\operatorname {TC} (X)=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}$$

es transitivo y siempre es un conjunto transitivo que incluye entonces . ${\textstyle T_{1}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$

Asumir . Luego para algunos y tal . Desde , . Por tanto es transitivo. ${\textstyle y\in x\in T}$ ${\textstyle x\in X_{n}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$ ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$ ${\textstyle y\in T}$ ${\textstyle T}$

Ahora seamos como arriba. Demostramos por inducción que para todos , demostrando así que : El caso base se cumple desde . Ahora supongamos . Entonces . Pero es transitivo , por lo tanto . Esto completa la prueba. ${\textstyle T_{1}}$ ${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}$ ${\textstyle T_{1}}$ ${\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}$

Tenga en cuenta que este es el conjunto de todos los objetos relacionados mediante el cierre transitivo de la relación de membresía, ya que la unión de un conjunto se puede expresar en términos del producto relativo de la relación de membresía consigo mismo. ${\displaystyle X}$

La clausura transitiva de un conjunto se puede expresar mediante una fórmula de primer orden: es una clausura transitiva de si y sólo una intersección de todos los superconjuntos transitivos de (es decir, cada superconjunto transitivo de contiene como un subconjunto). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Modelos transitivos de teoría de conjuntos.

Las clases transitivas se utilizan a menudo para la construcción de interpretaciones de la teoría de conjuntos en sí misma, normalmente llamadas modelos internos . La razón es que las propiedades definidas por fórmulas acotadas son absolutas para las clases transitivas.

Un conjunto (o clase) transitivo que es un modelo de un sistema formal de teoría de conjuntos se denomina modelo transitivo del sistema (siempre que la relación entre elementos del modelo sea la restricción de la verdadera relación entre elementos con el universo del modelo). . La transitividad es un factor importante para determinar el carácter absoluto de las fórmulas.

En el enfoque de superestructura para el análisis no estándar , los universos no estándar satisfacen una fuerte transitividad. ^{[ se necesita aclaración ] [3]}

Ver también

• Finalizar extensión
• relación transitiva
• clase supertransitiva

Referencias

1. "Número de árboles de identidad enraizados con n nodos (árboles enraizados cuyo grupo de automorfismo es el grupo de identidad)". OEIS .
2. Ciesielski, Krzysztof (1997). Teoría de conjuntos para el matemático trabajador. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 164.ISBN​ 978-1-139-17313-1. OCLC  817922080.
3. Goldblatt (1998) p.161

• Ciesielski, Krzysztof (1997), Teoría de conjuntos para el matemático que trabaja , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 39, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-59441-3, Zbl  0938.03067
• Goldblatt, Robert (1998), Conferencias sobre lo hiperreal. Una introducción al análisis no estándar , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 188, Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98464-X, Zbl  0911.03032
• Jech, Thomas (2008) [publicado originalmente en 1973], El axioma de la elección , Dover Publications , ISBN 0-486-46624-8, Zbl  0259.02051