cardenal enorme

En matemáticas , un número cardinal se llama enorme si existe una incrustación elemental en un modelo interno transitivo con punto crítico y ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {}^{j(\kappa )}M\subset M.}$

Aquí está la clase de todas las secuencias de longitud cuyos elementos están en . ${\displaystyle {}^{\alpha }M}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M}$

Kenneth Kunen  (1978) introdujo los cardenales enormes .

Variantes

En lo que sigue, se refiere a la -ésima iteración de la incrustación elemental , es decir, compuesta consigo misma en tiempos, para un ordinal finito . Además, es la clase de todas las secuencias de longitud menor que cuyos elementos están en . Tenga en cuenta que para las versiones "super", debe ser menor que , no . ${\displaystyle j^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}^{<\alpha }M}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle j(\kappa )}$ ${\displaystyle {j^{n}(\kappa )}}$

κ es casi n-enorme si y sólo si existe un punto crítico y ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {}^{<j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

κ es súper casi n-enorme si y solo si para cada ordinal γ hay un punto crítico , y ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \gamma <j(\kappa )}$

${\displaystyle {}^{<j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

κ es n-enorme si y sólo si existe un punto crítico y ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {}^{j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

κ es súper n-enorme si y solo si para cada ordinal hay un punto crítico , y ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \gamma <j(\kappa )}$

${\displaystyle {}^{j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

Observe que 0-enorme es lo mismo que cardinal mensurable ; y 1-enorme es lo mismo que enorme. Un cardinal que satisface uno de los axiomas de rango en rango es enorme para todo finito . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La existencia de un cardenal casi enorme implica que el principio de Vopěnka es consistente; Más precisamente, cualquier cardenal casi enorme es también un cardenal de Vopěnka .

Kanamori, Reinhardt y Solovay definieron siete grandes propiedades cardinales entre extensibilidad y enormidad en fuerza, nombradas mediante y una propiedad . ^[1] La propiedad adicional equivale a " es enorme", y equivale a " es -supercompacto para todos ". Corazza introdujo la propiedad , situada estrictamente entre y . ^[2] ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}(\kappa )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{7}(\kappa )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{6}^{\ast }(\kappa )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{3}(\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda <j(\kappa )}$ ${\displaystyle A_{3.5}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle A_{4}}$

Fuerza de consistencia

Los cardinales están ordenados en orden creciente de consistencia de la siguiente manera:

• casi enorme ${\displaystyle n}$
• súper casi enorme ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$-enorme
• súper enorme ${\displaystyle n}$
• casi enorme ${\displaystyle n+1}$

La consistencia de un cardenal enorme implica la consistencia de un cardenal supercompacto ; sin embargo, el cardenal menos grande es más pequeño que el cardenal menos supercompacto (suponiendo que ambos existan).

cardenales ω-enormes

Se puede intentar definir un cardinal enorme como uno tal que una incrustación elemental en un modelo interno transitivo con punto crítico y , donde es el supremo de para números enteros positivos . Sin embargo, el teorema de inconsistencia de Kunen muestra que dichos cardinales son inconsistentes en ZFC, aunque todavía está abierto si son consistentes en ZF. En cambio, un cardenal enorme se define como el punto crítico de una incorporación elemental de algún rango a sí mismo. Esto está estrechamente relacionado con el axioma I ₁ de rango en rango . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle j^{n}(\kappa )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\lambda +1}}$

Ver también

• Lista de grandes propiedades cardinales
• La orden Dehornoy sobre el grupo trenzado fue motivada por las propiedades de los cardenales enormes.

Referencias

1. A. Kanamori, WN Reinhardt, R. Solovay, "Axiomas fuertes del infinito e incrustaciones elementales", págs.110-111. Anales de lógica matemática vol. 13 (1978).
2. P. Corazza, "Una nueva gran secuencia cardinal y de Laver para extensibles", Fundamenta Mathematicae vol. 152 (1997).

• Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
• Kunen, Kenneth (1978), "Ideales saturados", The Journal of Symbolic Logic , 43 (1): 65–76, doi :10.2307/2271949, ISSN  0022-4812, JSTOR  2271949, MR  0495118, S2CID  13379542.
• Maddy, Penélope (1988), "Creer en los axiomas. II", The Journal of Symbolic Logic , 53 (3): 736-764 (especialmente 754-756), doi :10.2307/2274569, JSTOR  2274569, S2CID  16544090. Una copia de las partes I y II de este artículo con correcciones está disponible en la página web del autor.