Jerarquía proyectiva

Concepto descriptivo de teoría de conjuntos.

En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco es proyectivo si corresponde a algún número entero positivo . Aquí está ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$si es analítico ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$si el complemento de , , es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}^{1}}$si hay un espacio polaco y un subconjunto tal que sea la proyección de sobre ; eso es, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle C\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in C\}.}$

La elección del espacio polaco en la tercera cláusula anterior no es muy importante; podría reemplazarse en la definición por un espacio polaco fijo e incontable , digamos el espacio de Baire o el espacio de Cantor o la línea real . ${\displaystyle Y}$

Relación con la jerarquía analítica

Existe una estrecha relación entre la jerarquía analítica relativizada en subconjuntos del espacio de Baire (indicada con letras claras y ) y la jerarquía proyectiva en subconjuntos del espacio de Baire (indicada con letras en negrita y ). No todos los subconjuntos del espacio de Baire lo son . Es cierto, sin embargo, que si un subconjunto X del espacio de Baire es entonces existe un conjunto de números naturales A tal que X es . Una afirmación similar se aplica a los conjuntos. Así, los conjuntos clasificados por la jerarquía proyectiva son exactamente los conjuntos clasificados por la versión relativizada de la jerarquía analítica. Esta relación es importante en la teoría descriptiva de conjuntos efectiva . Expresado en términos de definibilidad, un conjunto de reales es proyectivo si y sólo si es definible en el lenguaje de la aritmética de segundo orden a partir de algún parámetro real. ^[1] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1,A}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$

Una relación similar entre la jerarquía proyectiva y la jerarquía analítica relativizada se mantiene para los subconjuntos del espacio de Cantor y, de manera más general, para los subconjuntos de cualquier espacio polaco efectivo .

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Ver también

• Jerarquía de Borel

Referencias

1. J. Steel, "¿Qué es ... un cardenal Woodin?". Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas vol. 54, núm. 9 (2007), pág.1147.

• Kechris, AS (1995), Teoría de conjuntos descriptiva clásica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
• Rogers, Hartley (1987) [1967], La teoría de las funciones recursivas y la computabilidad efectiva , primera edición de bolsillo del MIT, ISBN 978-0-262-68052-3