Espacio de Baire (teoría de conjuntos)

Concepto en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos , el espacio de Baire es el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales con una determinada topología . Este espacio se utiliza habitualmente en la teoría descriptiva de conjuntos , hasta el punto de que sus elementos suelen denominarse "reales". Se denota N ^N , ^ω ω, mediante el símbolo o también ω ^ω , no confundir con el ordinal contable obtenido por exponenciación ordinal . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

El espacio de Baire se define como el producto cartesiano de infinitas copias contables del conjunto de números naturales, y se le da la topología del producto (donde a cada copia del conjunto de números naturales se le da la topología discreta ). El espacio de Baire suele representarse mediante el árbol de sucesiones finitas de números naturales.

El espacio de Baire puede contrastarse con el espacio de Cantor , el conjunto de secuencias infinitas de dígitos binarios .

Topología y árboles

La topología del producto utilizada para definir el espacio de Baire se puede describir de dos maneras equivalentes: en términos de una base que consta de conjuntos de cilindros o de una base de árboles.

Base del juego de cilindros

Los conjuntos abiertos básicos de la topología del producto son conjuntos de cilindros . Estos se pueden caracterizar como:

Si se selecciona cualquier conjunto finito de coordenadas de números naturales I={ i }, y para cada i se selecciona un valor de número natural particular v _i , entonces el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales que tienen valor v _i en la posición i es un conjunto abierto básico. Todo conjunto abierto es una unión contable de un conjunto de éstos.

Usando una notación más formal, se pueden definir los cilindros individuales como

${\displaystyle C_{n}[v]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}}$

para una ubicación entera fija n y un valor entero v . Los cilindros son entonces los generadores de los juegos de cilindros: los juegos de cilindros se componen entonces de todas las intersecciones de un número finito de cilindros. Es decir, dado cualquier conjunto finito de coordenadas de números naturales y los valores de números naturales correspondientes para cada uno , se considera la intersección finita de cilindros ${\displaystyle I\subseteq \omega }$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}]}$

Esta intersección se denomina conjunto de cilindros y el conjunto de todos esos conjuntos de cilindros proporciona una base para la topología del producto . Cada conjunto abierto es una unión contable de dichos conjuntos de cilindros.

Base de árbol

Se puede dar una base alternativa para la topología del producto en términos de árboles. Los conjuntos abiertos básicos se pueden caracterizar como:

Si se selecciona una secuencia finita de números naturales { w _i  : i < n }, entonces el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales que tienen valor w _i en la posición i para todo i < n es un conjunto abierto básico. Todo conjunto abierto es una unión contable de un conjunto de éstos.

Así, un conjunto abierto básico en el espacio de Baire es el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales que extienden un segmento inicial finito común σ . Esto lleva a una representación del espacio de Baire como el conjunto de todos los caminos infinitos que pasan por el árbol completo ω ^<ω de secuencias finitas de números naturales ordenados por extensión . Cada segmento inicial finito σ es un nodo del árbol de secuencias finitas. Cada conjunto abierto está determinado por una unión contable S de nodos de ese árbol. Un punto en el espacio de Baire está en un conjunto abierto si y sólo si su camino pasa por uno de los nodos en su unión determinante. Por el contrario, cada conjunto abierto corresponde a un subárbol S del árbol completo ω ^<ω , que consta como máximo de un número contable de nodos.

La representación del espacio de Baire como caminos a través de un árbol también da una caracterización de conjuntos cerrados como complementos de subárboles que definen los conjuntos abiertos. Cada punto en el espacio de Baire pasa por una secuencia de nodos de ω ^<ω . Los conjuntos cerrados son complementos de los conjuntos abiertos. Esto define un subárbol T del árbol completo ω ^<ω , en el que faltan los nodos de S que definen el conjunto abierto. El subárbol T consta de todos los nodos en ω < ^ω que no están en S. Este subárbol T define un subconjunto cerrado C del espacio de Baire tal que cualquier punto x está en C si y sólo si x es un camino a través de T. Por el contrario, para cualquier subconjunto cerrado C del espacio de Baire hay un subárbol T que consta de todos ω ^<ω con como máximo un número contable de nodos eliminados.

Dado que el árbol completo ω ^<ω es contable en sí mismo, esto implica que los conjuntos cerrados corresponden a cualquier subárbol del árbol completo, incluidos los subárboles finitos. Por tanto, la topología consta de conjuntos abiertos . Esto implica que el espacio de Baire es de dimensión cero con respecto a la pequeña dimensión inductiva (como lo son todos los espacios cuya base consta de conjuntos abiertos).

Las definiciones anteriores de conjuntos abiertos y cerrados proporcionan los dos primeros conjuntos y la jerarquía de Borel en negrita . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}}$

Topología de caja

Los productos cartesianos también tienen una topología alternativa, la topología de caja . Esta topología es mucho más fina que la topología del producto, ya que no limita el conjunto de indicadores a ser finito. Convencionalmente, el espacio de Baire no hace referencia a esta topología; solo se refiere a la topología del producto. ${\displaystyle I=\{i\in \omega \}}$

Peso

La definición anterior del espacio de Baire se generaliza a una en la que los elementos de la secuencia infinita contable se eligen de un conjunto de cardinalidades . Tal espacio se llama espacio de peso de Baire y puede denotarse como . ^[1] Con esta definición, los espacios de Baire de peso finito corresponderían al espacio de Cantor . El primer espacio de Baire de peso infinito es entonces ; es homeomorfo a lo definido anteriormente. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle D(\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle B(\kappa )}$ ${\displaystyle B(\aleph _{0})}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

Métrico

Dadas dos secuencias y , una métrica se puede definir como donde está el menor número entero tal que Con esta métrica, los conjuntos abiertos básicos de la base del árbol son bolas de radio . ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$ ${\displaystyle \rho (x,y)=1/k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}.}$ ${\displaystyle 1/k}$

Un espacio métrico se incrusta en el espacio de Baire si y sólo si plantea una base de conjuntos abiertos, donde la cardinalidad de es menor o igual a . ^{[2] [3]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(\kappa )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Propiedades

El espacio de Baire tiene las siguientes propiedades:

1. Es un espacio polaco perfecto , lo que significa que es un segundo espacio contable completamente metrizable sin puntos aislados . Como tal, tiene la misma cardinalidad que la recta real y es un espacio de Baire en el sentido topológico del término.
2. Es de dimensión cero y totalmente desconectado .
3. No es localmente compacto .
4. Es universal para los espacios polacos en el sentido de que se puede mapear continuamente en cualquier espacio polaco que no esté vacío. Además, cualquier espacio polaco tiene un subespacio G δ denso homeomorfo a un subespacio G _δ del espacio de Baire.
5. El espacio de Baire es homeomorfo al producto de cualquier número finito o contable de copias de sí mismo.
6. Es el grupo de automorfismos de un modelo saturado contablemente infinito de alguna teoría completa . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

Relación con la línea real

El espacio de Baire es homeomorfo al conjunto de números irracionales cuando se les da la topología subespacial heredada de la recta real. Se puede construir un homeomorfismo entre el espacio de Baire y los irracionales utilizando fracciones continuas . Es decir, dada una secuencia de números naturales , podemos asignarle un número irracional correspondiente mayor que 1 ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }}$

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\cdots }}}}}$

Usando obtenemos otro homeomorfismo de a los irracionales en el intervalo unitario abierto y podemos hacer lo mismo con los irracionales negativos. Vemos que los irracionales son la suma topológica de cuatro espacios homeomorfos al espacio de Baire y por tanto también homeomorfos al espacio de Baire. ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Desde el punto de vista de la teoría descriptiva de conjuntos , el hecho de que la línea real esté conexa provoca dificultades técnicas. Por este motivo, es más común estudiar el espacio de Baire. Debido a que cada espacio polaco es la imagen continua del espacio de Baire, a menudo es posible probar resultados sobre espacios polacos arbitrarios demostrando que estas propiedades son válidas para el espacio de Baire y se conservan mediante funciones continuas .

ω ^ω también es de interés independiente, pero menor, en el análisis real , donde se considera como un espacio uniforme . Sin embargo, las estructuras uniformes de ω ^ω e Ir (los irracionales) son diferentes: ω ^ω es completo en su métrica habitual mientras que Ir no lo es (aunque estos espacios son homeomórficos).

El operador de turno

El operador de desplazamiento en el espacio de Baire, cuando se asigna al intervalo unitario de los reales , se convierte en el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing . Es decir, dada una secuencia , el operador de desplazamiento T devuelve . Asimismo, dada la fracción continua , el mapa de Gauss devuelve . El operador correspondiente para funciones desde el espacio de Baire hasta el plano complejo es el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing ; es el operador de transferencia del mapa de Gauss. ^[4] Es decir, se consideran mapas desde el espacio de Baire hasta el plano complejo . Este espacio de mapas hereda una topología de la topología del producto en el espacio de Baire; por ejemplo, se pueden considerar funciones que tienen convergencia uniforme . El mapa de desplazamiento que actúa sobre este espacio de funciones es entonces el operador GKW. ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle T(a_{1},a_{2},\cdots )=(a_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle x=[a_{1},a_{2},\cdots ]}$ ${\displaystyle h(x)=[a_{2},\cdots ]}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La medida de Haar del operador de turno, es decir, una función que es invariante bajo turnos, viene dada por la medida de Minkowski . Es decir, se tiene eso , donde T es el desplazamiento ^[5] y E cualquier subconjunto medible de ω ^ω . ${\displaystyle (...)'}$ ${\displaystyle (TE)'=E'}$

Ver también

• Espacio de Baire  – Concepto en topología
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

1. Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología general . vol. I. Berlín, DE: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4. Ver capítulo uno.
2. R. Engelking (1977). Topología general . PWN, Varsovia.
3. Aleksándrov, PS (1977). Introducción a la teoría de conjuntos y topología general . Moscú: Nauka.
4. Linas Vepstas, "El operador Gauss-Kuzmin-Wirsing" (2004)
5. Linas Vepstas, "Sobre la medida Minkowski", (2008) arXiv:0810.1265

• Kechris, Alexander S. (1994). Teoría descriptiva clásica de conjuntos . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda del Norte. ISBN 0-444-70199-0.