conjunto perfecto

Subconjunto que es cerrado y no tiene puntos aislados.

En topología general , un subconjunto de un espacio topológico es perfecto si es cerrado y no tiene puntos aislados . De manera equivalente: el conjunto es perfecto si , donde denota el conjunto de todos los puntos límite de , también conocido como conjunto derivado de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

En un conjunto perfecto, cada punto puede ser aproximado arbitrariamente por otros puntos del conjunto: dado cualquier punto de y cualquier vecindad del punto, hay otro punto de que se encuentra dentro de la vecindad. Además, cualquier punto del espacio que pueda aproximarse mediante puntos de pertenece a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Tenga en cuenta que el término espacio perfecto también se utiliza, de manera incompatible, para referirse a otras propiedades de un espacio topológico, como ser un espacio G δ . Como otra posible fuente de confusión, tenga en cuenta también que tener la propiedad del conjunto perfecto no es lo mismo que ser un conjunto perfecto.

Ejemplos

Ejemplos de subconjuntos perfectos de la recta real son el conjunto vacío , todos los intervalos cerrados , la recta real misma y el conjunto de Cantor . Este último destaca por estar totalmente desconectado . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Que un conjunto sea perfecto o no (y que sea cerrado o no) depende del espacio que lo rodea. Por ejemplo, el conjunto es perfecto como subconjunto del espacio pero no perfecto como subconjunto del espacio . ${\displaystyle S=[0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Conexión con otras propiedades topológicas.

Todo espacio topológico puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto disperso . ^{[1] [2]}

Cantor demostró que cada subconjunto cerrado de la recta real puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto contable . Esto también es cierto de manera más general para todos los subconjuntos cerrados de espacios polacos , en cuyo caso el teorema se conoce como teorema de Cantor-Bendixson .

Cantor también demostró que todo subconjunto perfecto no vacío de la recta real tiene cardinalidad , la cardinalidad del continuo . Estos resultados se amplían en la teoría descriptiva de conjuntos de la siguiente manera: ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

• Si X es un espacio métrico completo sin puntos aislados, entonces el espacio de Cantor 2 ^ω se puede incrustar continuamente en X. Por tanto, X tiene al menos cardinalidad . Si X es un espacio métrico completo y separable sin puntos aislados, la cardinalidad de X es exactamente . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto sin puntos aislados, hay una función inyectiva (no necesariamente continua) desde el espacio de Cantor hasta X , por lo que X tiene al menos cardinalidad . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Ver también

• Denso en sí mismo
• Propiedad de intersección finita
• Topología subespacial

Notas

1. Engelking, problema 1.7.10, p. 59
2. "Singularidad de la descomposición en conjunto perfecto y conjunto disperso - Intercambio de pila de matemáticas".

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Berlín: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
• Kechris, AS (1995), Teoría de conjuntos descriptiva clásica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
• Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Perla, Elliott, ed. (2007), Problemas abiertos en topología. II , Elsevier , ISBN 978-0-444-52208-5, señor  2367385