Espacio Gδ

En matemáticas, particularmente en topología , un espacio G _δ es un espacio topológico en el que los conjuntos cerrados están de alguna manera 'separados' de sus complementos utilizando solo un número contable de conjuntos abiertos . Por lo tanto, el espacio G _δ puede considerarse como un espacio que satisface un tipo diferente de axioma de separación . De hecho, los espacios G _δnormales se denominan espacios perfectamente normales y satisfacen el axioma de separación más fuerte .

Los espacios G _δ también se denominan espacios perfectos . ^[1] El término perfecto también se utiliza, incompatiblemente, para referirse a un espacio sin puntos aislados ; véase Conjunto perfecto .

Definición

Una intersección contable de conjuntos abiertos en un espacio topológico se denomina conjunto G δ . Trivialmente, todo conjunto abierto es un conjunto G _δ . Dualmente, una unión contable de conjuntos cerrados se denomina conjunto F σ . Trivialmente, todo conjunto cerrado es un conjunto F _σ .

Un espacio topológico X se denomina espacio G _δ^[2] si todo subconjunto cerrado de X es un conjunto G _δ . Dualmente y de manera equivalente, un espacio G _δ es un espacio en el que todo conjunto abierto es un conjunto F _σ .

Propiedades y ejemplos

Cada subespacio de un espacio G _δ es un espacio G _{δ .}
Todo espacio metrizable es un espacio G _δ . Lo mismo se aplica a los espacios pseudometrizables .
Todo segundo espacio regular numerable es un espacio G _δ . Esto se desprende del teorema de metrización de Urysohn en el caso de Hausdorff, pero se puede demostrar de forma directa y sencilla. ^[3]
Todo espacio regular contable es un espacio G _{δ .}
Todo espacio regular de Lindelöf hereditario es un espacio G _δ . ^[4] De hecho, tales espacios son perfectamente normales . Esto generaliza los dos puntos anteriores sobre los segundos espacios numerables y los espacios regulares numerables.
El espacio AG _δ no necesita ser normal, como lo demuestra R dotado de la K-topología . Ese ejemplo no es un espacio regular. Ejemplos de espacios G _δde Tychonoff que no son normales son el plano de Sorgenfrey ^[5] y el plano de Niemytzki ^[6] .
En un primer espacio numerable T 1 , cada singleton es un conjunto G _δ . Esto no es suficiente para que el espacio sea un espacio G _δ , como lo demuestra, por ejemplo, la topología de orden lexicográfico en el cuadrado unitario . ^[7]
La línea de Sorgenfrey es un ejemplo de un espacio perfectamente normal (es decir, normal G _δ ) que no es metrizable.
La suma topológica de una familia de espacios topológicos disjuntos es un espacio G _δ si y solo si cada uno es un espacio G _{δ .} $X={\coprod}_{i}X_{i}$ $Estilo de visualización X_{i}}$

Notas

^ Engelking, 1.5.H(a), pág. 48
^ Steen y Seebach, pág. 162
^ "Topología general - Todo espacio regular y segundo contable es un espacio $G_\delta$, sin asumir el teorema de metrización de Urysohn".
^ https://arxiv.org/pdf/math/0412558.pdf, lema 6.1
^ "El avión de Sorgenfrey es subnormal". 8 de mayo de 2014.
^ "Topología general - Plano de Moore / plano de Niemytzki y los subespacios $G_\delta$ cerrados".
^ "El orden lexicográfico y el espacio de doble flecha". 8 de octubre de 2009.

Referencias

Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología (reimpresión de Dover Publications de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, Sr. 0507446
Roy A. Johnson (1970). "Un espacio compacto no metrizable tal que cada subconjunto cerrado es un G-Delta". The American Mathematical Monthly , vol. 77, n.º 2, págs. 172-176. en JStor