Topología K

En matemáticas , particularmente en el campo de la topología , la K-topología ^[1], también llamada topología de secuencia eliminada de Smirnov , ^[2] es una topología en el conjunto R de números reales que tiene algunas propiedades interesantes. En relación con la topología estándar en R , el conjunto no es cerrado ya que no contiene su punto límite 0. Sin embargo, en relación con la K-topología, el conjunto K se declara cerrado agregando más conjuntos abiertos a la topología estándar en R. Por lo tanto, la K-topología en R es estrictamente más fina que la topología estándar en R. Es principalmente útil para contraejemplos en topología básica. En particular, proporciona un ejemplo de un espacio de Hausdorff que no es regular . ${\displaystyle K=\{1/n:n=1,2,\dots \}}$

Definición formal

Sea R el conjunto de los números reales y sea La K-topología sobre R es la topología obtenida tomando como base la colección de todos los intervalos abiertos junto con todos los conjuntos de la forma ^[1] Los entornos de un punto son los mismos que en la topología euclidiana habitual. Los entornos de son de la forma , donde es un entorno de en la topología habitual. ^[3] Los conjuntos abiertos en la K-topología son precisamente los conjuntos de la forma con abierto en la topología euclidiana habitual y ^[2] ${\displaystyle K=\{1/n:n=1,2,\dots \}.}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)\setminus K.}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V\setminus K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B\subseteq K.}$

Propiedades

A lo largo de esta sección, T denotará la K-topología y ( R , T ) denotará el conjunto de todos los números reales con la K-topología como espacio topológico .

1. La topología K es estrictamente más fina que la topología estándar en R. Por lo tanto, es Hausdorff , pero no compacta .

2. La K-topología no es regular , porque K es un conjunto cerrado que no contiene a , pero el conjunto y el punto no tienen vecindarios disjuntos. Y como consecuencia adicional, el espacio cociente de la K-topología obtenido al colapsar K a un punto no es Hausdorff. Esto ilustra que un cociente de un espacio de Hausdorff no necesita ser Hausdorff. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$

3. La topología K está conexa . Sin embargo, no está conexa por trayectorias ; tiene precisamente dos componentes de trayectoria : y ${\displaystyle (-\infty ,0]}$ ${\displaystyle (0,+\infty ).}$

4. La topología K no está conectada localmente por trayectorias en ni por trayectorias en . Pero sí está conectada localmente por trayectorias y por trayectorias en todos los demás lugares. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

5. El intervalo cerrado [0,1] no es compacto como subespacio de ( R , T ) ya que ni siquiera es compacto en su punto límite ( K es un subespacio discreto cerrado infinito de ( R , T ), por lo tanto no tiene punto límite en [0,1]). De manera más general, ningún subespacio A de ( R , T ) que contenga a K es compacto.

Véase también

• Lista de topologías

Notas

1. Munkres 2000, pág. 82.
2. Steen & Seebach 1995, Contraejemplo 64.
3. Willard 2004, Ejemplo 14.2.

Referencias

• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .