En matemáticas , un espacio de Cantor , llamado así por Georg Cantor , es una abstracción topológica del conjunto de Cantor clásico : un espacio topológico es un espacio de Cantor si es homeomorfo al conjunto de Cantor. En teoría de conjuntos , el espacio topológico 2 ω se denomina "el" espacio de Cantor.
El conjunto de Cantor en sí es un espacio de Cantor. Pero el ejemplo canónico de un espacio de Cantor es el producto topológico contablemente infinito del espacio discreto de 2 puntos {0, 1}. Esto generalmente se escribe como o 2 ω (donde 2 denota el conjunto de 2 elementos {0,1} con la topología discreta ). Un punto en 2 ω es una secuencia binaria infinita, es decir, una secuencia que asume sólo los valores 0 o 1. Dada dicha secuencia a 0 , a 1 , a 2 ,..., se puede asignar al número real.
Este mapeo proporciona un homeomorfismo de 2 ω al conjunto de Cantor, lo que demuestra que 2 ω es de hecho un espacio de Cantor.
Los espacios de Cantor aparecen abundantemente en el análisis real . Por ejemplo, existen como subespacios en todo espacio métrico perfecto y completo . (Para ver esto, tenga en cuenta que en tal espacio, cualquier conjunto perfecto no vacío contiene dos subconjuntos perfectos no vacíos disjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño, por lo que se puede imitar la construcción del conjunto de Cantor habitual .) Además, cada incontable , El espacio separable y completamente metrizable contiene espacios de Cantor como subespacios. Esto incluye la mayoría de los espacios comunes en el análisis real.
El teorema de Brouwer proporciona una caracterización topológica de los espacios de Cantor : [1]
La propiedad topológica de tener una base formada por conjuntos abiertos se conoce a veces como " dimensionalidad cero ". El teorema de Brouwer se puede reformular como:
Este teorema también es equivalente (a través del teorema de representación de Stone para álgebras de Boole ) al hecho de que dos álgebras de Boole sin átomos contables son isomorfas .
Como puede esperarse del teorema de Brouwer, los espacios de Cantor aparecen en varias formas. Pero muchas propiedades de los espacios de Cantor pueden establecerse utilizando 2 ω , porque su construcción como producto lo hace susceptible de análisis.
Los espacios de Cantor tienen las siguientes propiedades:
Sea C ( X ) el espacio de todas las funciones continuas acotadas y con valores reales en un espacio topológico X . Sea K un espacio métrico compacto y Δ el conjunto de Cantor. Entonces el conjunto de Cantor tiene la siguiente propiedad:
En general, esta isometría no es única y, por tanto, no es propiamente una propiedad universal en el sentido categórico .
