En matemáticas , un cubo de Cantor es un grupo topológico de la forma {0, 1} A para algún conjunto de índices A. Sus estructuras algebraicas y topológicas son el producto directo del grupo y la topología del producto sobre el grupo cíclico de orden 2 (al que a su vez se le da la topología discreta ).
Si A es un conjunto infinito numerable , el cubo de Cantor correspondiente es un espacio de Cantor . Los cubos de Cantor son especiales entre los grupos compactos porque cada grupo compacto es una imagen continua de uno, aunque normalmente no es una imagen homomórfica. (La literatura puede no ser clara, por lo que, por seguridad, suponga que todos los espacios son Hausdorff ).
Topológicamente, cualquier cubo de Cantor es:
Según un teorema de Schepin, estas cuatro propiedades caracterizan a los cubos de Cantor; cualquier espacio que satisfaga las propiedades es homeomorfo a un cubo de Cantor.
De hecho, cada espacio AE(0) es la imagen continua de un cubo de Cantor, y con un poco de esfuerzo se puede demostrar que todo grupo compacto es AE(0). De ello se deduce que cada grupo compacto de dimensión cero es homeomorfo a un cubo de Cantor, y cada grupo compacto es una imagen continua de un cubo de Cantor.