Espacio completamente metrizable

En matemáticas , un espacio completamente metrizable ^[1] ( espacio métricamente topológicamente completo ^[2] ) es un espacio topológico ( X , T ) para el cual existe al menos una métrica d en X tal que ( X , d ) es una métrica completa espacio y d induce la topología T . Algunos autores emplean el término espacio topológicamente completo como sinónimo de espacio completamente metrizable , ^[3] pero a veces también se usa para otras clases de espacios topológicos, como espacios completamente uniformizables ^[4] o espacios Čech-completos.

Diferencia entre espacio métrico completo y espacio completamente metrizable

La distinción entre un espacio completamente metrizable y un espacio métrico completo radica en que existe al menos una métrica en la definición de espacio completamente metrizable, que no es lo mismo que se dé una métrica (esta última daría la definición de espacio completamente metrizable). espacio métrico). Una vez que elegimos la métrica en un espacio completamente metrizable (de todas las métricas completas compatibles con la topología), obtenemos un espacio métrico completo. En otras palabras, la categoría de espacios completamente metrizables es una subcategoría de la de espacios topológicos, mientras que la categoría de espacios métricos completos no lo es (en cambio, es una subcategoría de la categoría de espacios métricos). La metrizabilidad completa es una propiedad topológica, mientras que la integridad es una propiedad de la métrica. ^[5]

Ejemplos

• El espacio (0,1) ⊂ R , el intervalo unitario abierto, no es un espacio métrico completo con su métrica habitual heredada de R , pero es completamente metrizable ya que es homeomorfo a R . ^[6]
• El espacio Q de números racionales con la topología subespacial heredada de R es metrizable pero no completamente metrizable. ^[7]

Propiedades

• Un espacio topológico X es completamente metrizable si y sólo si X es metrizable y un G δ en su compactificación de Stone-Čech β X . ^[8]
• Un subespacio de un espacio X completamente metrizable es completamente metrizable si y sólo si es G δ en X . ^[9]
• Un producto contable de espacios metrizables no vacíos es completamente metrizable en la topología del producto si y sólo si cada factor es completamente metrizable. ^[10] Por lo tanto, un producto de espacios metrizables no vacíos es completamente metrizable si y sólo si, como mucho, muchos factores tienen más de un punto y cada factor es completamente metrizable. ^[11]
• Para cada espacio metrizable existe un espacio completamente metrizable que lo contiene como un subespacio denso, ya que todo espacio métrico tiene una terminación . ^[12] En general, existen muchos espacios completamente metrizables, ya que las terminaciones de un espacio topológico con respecto a diferentes métricas compatibles con su topología pueden dar terminaciones topológicamente diferentes.

Grupos topológicos abelianos completamente metrizables.

Cuando se habla de espacios con más estructura que solo topología, como grupos topológicos , el significado natural de las palabras “completamente metrizable” sería posiblemente la existencia de una métrica completa que también sea compatible con esa estructura extra, además de inducir su topología. Para grupos topológicos abelianos y espacios vectoriales topológicos , "compatible con la estructura adicional" podría significar que la métrica es invariante bajo traslaciones.

Sin embargo, no puede surgir ninguna confusión cuando se habla de un grupo topológico abeliano o de un espacio vectorial topológico completamente metrizable: se puede demostrar que todo grupo topológico abeliano (y por tanto también todo espacio vectorial topológico) que sea completamente metrizable como espacio topológico (es decir, , admite una métrica completa que induce su topología) también admite una métrica completa invariante que induce su topología. ^[13]

Esto implica, por ejemplo, que todo espacio vectorial topológico completamente metrizable está completo. De hecho, un espacio vectorial topológico se llama completo si su uniformidad (inducida por su topología y operación de suma) es completa; la uniformidad inducida por una métrica invariante de traducción que induce la topología coincide con la uniformidad original.

Ver también

• Espacio métrico completo
• Espacio completamente uniformable
• Espacio metrizable

Notas

1. Willard, Definición 24.2
2. Kelley, Problema 6.K, pág. 207
3. por ejemplo, Steen y Seebach, I §5: espacios métricos completos
4. Kelley, Problema 6.L, pág. 208
5. Willard 1970 Sección 24.
6. Willard, Capítulo 24
7. Willard, ejercicio 25A
8. Willard, teorema 24.13
9. Willard, Capítulo 24
10. Willard, Capítulo 24
11. Porque un producto de espacios metrizables no vacíos es metrizable si y sólo si, como máximo, muchos factores contables tienen más de un punto (Willard, Capítulo 22).
12. Willard, Capítulo 24
13. Klee, VL (1952). «Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)» (PDF) . Proc. América. Matemáticas. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .

Referencias

• Kelley, John L. (1975). Topología general . Saltador. ISBN 0-387-90125-6.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1970). Contraejemplos en topología . Holt, Rinehart y Winston, Inc. ISBN 978-0-03-079485-8.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Compañía editorial Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9.