Espacio completamente uniformizable

En matemáticas , un espacio topológico ( X , T ) se denomina completamente uniformizable ^[1] (o completo de Dieudonné ^[2] ) si existe al menos una uniformidad completa que induce la topología T. Algunos autores ^[3] requieren además que X sea Hausdorff . Algunos autores han denominado a estos espacios topológicamente completos [ ^4], aunque ese término también se ha utilizado con otros significados como completamente metrizable , que es una propiedad más fuerte que completamente uniformizable .

Propiedades

• Todo espacio completamente uniformizable es uniformizable y por tanto completamente regular .
• Un espacio completamente regular X es completamente uniformizable si y sólo si la uniformidad fina en X es completa. ^[5]
• Todo espacio paracompacto regular (en particular, todo espacio paracompacto de Hausdorff) es completamente uniformizable. ^{[6] [7]}
• (Teorema de Shirota) Un espacio de Hausdorff completamente regular es realcompacto si y sólo si es completamente uniformizable y no contiene ningún subespacio discreto cerrado de cardinalidad medible . ^[8]

Todo espacio metrizable es paracompacto, por lo tanto completamente uniformizable. Como existen espacios metrizables que no lo son completamente , la uniformizabilidad completa es una condición estrictamente más débil que la metrizabilidad completa.

Véase también

• Espacio completamente metrizable  – espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Espacio uniforme  – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes

Notas

1. por ejemplo Willard
2. Enciclopedia de Matemáticas
3. por ejemplo Arkhangel'skii (en Enciclopedia de Matemáticas), que utiliza el término Dieudonné completo
4. Kelley
5. Willard, pág. 265, Anexo 39B
6. Kelley, p. 208, Problema 6.L(d). Nótese que Kelley utiliza la palabra paracompacto para espacios paracompactos regulares (ver la definición en la p. 156). Como se menciona en la nota al pie de la página 156, esto incluye los espacios paracompactos de Hausdorff.
7. Nótese que no se puede descartar el supuesto de que el espacio sea regular o de Hausdorff, ya que todo espacio uniforme es regular y es fácil construir espacios finitos (y por lo tanto paracompactos) que no sean regulares.
8. Beckenstein y otros, página 44

Referencias

• AV Arkhangel'skii (creador). «Espacio completo». Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 5 de marzo de 2013 .
• Beckenstein, Edward; Narici, Lawrence; Suffel, Charles (1977). Álgebras topológicas . Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0724-9.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-08707-9.