Operación Suslin

En matemáticas , la operación de Suslin 𝓐 es una operación que construye un conjunto a partir de una colección de conjuntos indexados por secuencias finitas de números enteros positivos . La operación de Suslin fue introducida por Alexandrov  (1916) y Suslin  (1917). En Rusia a veces se la llama operación A en honor a Alexandrov. Generalmente se denota con el símbolo 𝓐 (una letra A mayúscula caligráfica).

Definiciones

Un esquema de Suslin es una familia de subconjuntos de un conjunto indexados por secuencias finitas de números enteros no negativos. La operación de Suslin aplicada a este esquema produce el conjunto ${\displaystyle P=\{P_{s}:s\in \omega ^{<\omega }\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}P=\bigcup _{x\in {\omega ^{\omega }}}\bigcap _{n\in \omega }P_{x\upharpoonright n}}$

Alternativamente, supongamos que tenemos un esquema de Suslin , es decir, una función de secuencias finitas de números enteros positivos a conjuntos . El resultado de la operación de Suslin es el conjunto ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k}}$ ${\displaystyle M_{n_{1},...,n_{k}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)=\bigcup \left(M_{n_{1}}\cap M_{n_{1},n_{2}}\cap M_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cap \dots \right)}$

donde la unión se realiza sobre todas las secuencias infinitas ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},\dots }$

Si es una familia de subconjuntos de un conjunto , entonces es la familia de subconjuntos de obtenida al aplicar la operación Suslin a todas las colecciones como se indicó anteriormente donde todos los conjuntos están en . La operación Suslin sobre colecciones de subconjuntos de tiene la propiedad de que . La familia está cerrada tomando uniones o intersecciones contables, pero no está cerrada en general tomando complementos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle M_{n_{1},...,n_{k}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}({\mathcal {A}}(M))={\mathcal {A}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$

Si es la familia de subconjuntos cerrados de un espacio topológico , entonces los elementos de se denominan conjuntos de Suslin , o conjuntos analíticos si el espacio es un espacio polaco . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$

Ejemplo

Para cada sucesión finita , sean las sucesiones infinitas que extienden . Este es un subconjunto cerrado y abierto de . Si es un espacio polaco y es una función continua , sea . Entonces es un esquema de Suslin que consta de subconjuntos cerrados de y . ${\displaystyle s\in \omega ^{n}}$ ${\displaystyle N_{s}=\{x\in \omega ^{\omega }:x\upharpoonright n=s\}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\omega ^{\omega }\to X}$ ${\displaystyle P_{s}={\overline {f[N_{s}]}}}$ ${\displaystyle P=\{P_{s}:s\in \omega ^{<\omega }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}P=f[\omega ^{\omega }]}$

Referencias

• Aleksandrov, PS (1916), "Sur la puissance des ensembles mensurables B ", CR Acad. Ciencia. París , 162 : 323–325
• "Operación A", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Suslin, M. Ya. (1917), "Sur un définition des ensembles measurables B sans nombres transfinis", CR Acad. Ciencia. París , 164 : 88–91