Álgebra del operador de vértice

Álgebra utilizada en teorías de campos conformes 2D y teoría de cuerdas.

En matemáticas, un álgebra de operadores de vértice ( VOA ) es una estructura algebraica que juega un papel importante en la teoría de campos conformes bidimensionales y la teoría de cuerdas . Además de las aplicaciones físicas, las álgebras de operadores de vértices han demostrado ser útiles en contextos puramente matemáticos como la luz de la luna monstruosa y la correspondencia geométrica de Langlands .

La noción relacionada de álgebra de vértices fue introducida por Richard Borcherds en 1986, motivado por la construcción de un álgebra de Lie de dimensión infinita debida a Igor Frenkel . En el curso de esta construcción, se emplea un espacio de Fock que admite una acción de operadores de vértice adjuntos a elementos de una red . Borcherds formuló la noción de álgebra de vértices axiomatizando las relaciones entre los operadores de vértices de la red, produciendo una estructura algebraica que permite construir nuevas álgebras de Lie siguiendo el método de Frenkel.

La noción de álgebra de operadores de vértices fue introducida como una modificación de la noción de álgebra de vértices por Frenkel, James Lepowsky y Arne Meurman en 1988, como parte de su proyecto para construir el módulo moonshine . Observaron que muchas álgebras de vértices que aparecen "en la naturaleza" conllevan una acción del álgebra de Virasoro y satisfacen una propiedad acotada por debajo con respecto a un operador de energía . Motivados por esta observación, agregaron la acción de Virasoro y la propiedad acotada por debajo como axiomas.

We now have post-hoc motivation for these notions from physics, together with several interpretations of the axioms that were not initially known. Physically, the vertex operators arising from holomorphic field insertions at points in two-dimensional conformal field theory admit operator product expansions when insertions collide, and these satisfy precisely the relations specified in the definition of vertex operator algebra. Indeed, the axioms of a vertex operator algebra are a formal algebraic interpretation of what physicists call chiral algebras (not to be confused with the more precise notion with the same name in mathematics) or "algebras of chiral symmetries", where these symmetries describe the Ward identities satisfied by a given conformal field theory, including conformal invariance. Other formulations of the vertex algebra axioms include Borcherds's later work on singular commutative rings, algebras over certain operads on curves introduced by Huang, Kriz, and others, D-module-theoretic objects called chiral algebras introduced by Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld and factorization algebras, also introduced by Beilinson and Drinfeld.

Important basic examples of vertex operator algebras include the lattice VOAs (modeling lattice conformal field theories), VOAs given by representations of affine Kac–Moody algebras (from the WZW model), the Virasoro VOAs, which are VOAs corresponding to representations of the Virasoro algebra, and the moonshine module V^♮, which is distinguished by its monster symmetry. More sophisticated examples such as affine W-algebras and the chiral de Rham complex on a complex manifold arise in geometric representation theory and mathematical physics.

Formal definition

Vertex algebra

A vertex algebra is a collection of data that satisfy certain axioms.

Data

• a vector space ${\displaystyle V}$, called the space of states. The underlying field is typically taken to be the complex numbers, although Borcherds's original formulation allowed for an arbitrary commutative ring.
• an identity element ${\displaystyle 1\in V}$, sometimes written ${\displaystyle |0\rangle }$ or ${\displaystyle \Omega }$ to indicate a vacuum state.
• an endomorphism ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$, called "translation". (Borcherds's original formulation included a system of divided powers of ${\displaystyle T}$, because he did not assume the ground ring was divisible.)
• un mapa de multiplicación lineal , donde es el espacio de todas las series formales de Laurent con coeficientes en . Esta estructura tiene algunas presentaciones alternativas: ${\displaystyle Y:V\otimes V\rightarrow V((z))}$ ${\displaystyle V((z))}$ ${\displaystyle V}$
  • como una colección infinita de productos bilineales donde y , de modo que para cada uno , existe un tal que para . ${\displaystyle \cdot _{n}:u\otimes v\mapsto u_{n}v}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle u_{n}\in \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{n}v=0}$ ${\displaystyle n<N}$
  • como un mapa de multiplicación por la izquierda . Este es el mapa "estado a campo" de la llamada correspondencia estado-campo. Para cada uno , la distribución formal valorada por endomorfismo se denomina operador de vértice o campo, y el coeficiente de es el operador . En el contexto de las álgebras de vértices, un campo es más precisamente un elemento de , que puede escribirse de manera que para cualquiera sea suficientemente pequeño (lo que puede depender de ). La notación estándar para la multiplicación es ${\displaystyle V\rightarrow \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle z^{-n-1}}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle A(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }A_{n}z^{n},A_{n}\in \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle v\in V,A_{n}v=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}.}$$

Axiomas

Estos datos son necesarios para satisfacer los siguientes axiomas:

• Identidad. Para cualquiera y . ^[a] ${\displaystyle u\in V\,,\,Y(1,z)u=u}$ ${\displaystyle \,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]}$
• Traducción. , y para cualquier , ${\displaystyle T(1)=0}$ ${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle [T,Y(u,z)]v=TY(u,z)v-Y(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v}$

• Localidad (identidad Jacobi o identidad Borcherds). Para cualquiera , existe un número entero positivo N tal que: ${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle (z-x)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(z-x)^{N}Y(v,x)Y(u,z).}$

Formulaciones equivalentes del axioma de localidad.

El axioma de localidad tiene varias formulaciones equivalentes en la literatura; por ejemplo, Frenkel-Lepowsky-Meurman introdujo la identidad de Jacobi:

${\displaystyle \forall u,v,w\in V:\qquad z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y(v,y)Y(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y(Y(u,z)v,y)w,}$

donde definimos la serie delta formal por:

${\displaystyle \delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.}$

Borcherds ^[1] utilizó inicialmente las dos identidades siguientes: para cualquier vector u , v y w , y números enteros m y n tenemos

${\displaystyle (u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)}$

y

${\displaystyle u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u}$.

Más tarde dio una versión más amplia que es equivalente pero más fácil de usar: para cualquier vector u , v y w , y números enteros m , n y q tenemos

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)}$

Finalmente, existe una versión de función formal de localidad: para cualquiera , hay un elemento ${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]}$

tal que y son las expansiones correspondientes de in y . ${\displaystyle Y(u,z)Y(v,x)w}$ ${\displaystyle Y(v,x)Y(u,z)w}$ ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$ ${\displaystyle V((z))((x))}$ ${\displaystyle V((x))((z))}$

Álgebra del operador de vértice

Un álgebra de operadores de vértice es un álgebra de vértice equipada con un elemento conforme , tal que el operador de vértice es el campo de Virasoro con dos pesos : ${\displaystyle \omega \in V}$ ${\displaystyle Y(\omega ,z)}$ ${\displaystyle L(z)}$

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

y satisface las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}}$, donde es una constante llamada carga central o rango de . En particular, los coeficientes de este operador de vértice dotan de una acción del álgebra de Virasoro con carga central . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle L_{0}}$actúa de forma semisimple con valores propios enteros que están acotados a continuación. ${\displaystyle V}$
• Bajo la calificación proporcionada por los valores propios de , la multiplicación por es homogénea en el sentido de que si y son homogéneos, entonces es homogénea de grado . ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u_{n}v}$ ${\displaystyle \mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1}$
• La identidad tiene grado 0 y el elemento conforme tiene grado 2. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle L_{-1}=T}$.

Un homomorfismo de álgebras de vértices es un mapa de los espacios vectoriales subyacentes que respeta la estructura adicional de identidad, traducción y multiplicación. Los homomorfismos de las álgebras de operadores de vértices tienen formas "débiles" y "fuertes", dependiendo de si respetan los vectores conformes.

Álgebras de vértices conmutativos

Un álgebra de vértices es conmutativa si todos los operadores de vértices conmutan entre sí. Esto es equivalente a la propiedad en la que se encuentran todos los productos , o eso . Por lo tanto, una definición alternativa para un álgebra de vértice conmutativa es aquella en la que todos los operadores de vértice son regulares en . ^[2] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle Y(u,z)v}$ ${\displaystyle V[[z]]}$ ${\displaystyle Y(u,z)\in \operatorname {End} [[z]]}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle z=0}$

Dada un álgebra de vértices conmutativa, los términos constantes de la multiplicación dotan al espacio vectorial de una estructura de anillo conmutativa y asociativa, el vector de vacío es una unidad y es una derivación. Por lo tanto, el álgebra de vértices conmutativa está equipada con la estructura de un álgebra unital conmutativa con derivación. Por el contrario, cualquier anillo conmutativo con derivación tiene una estructura de álgebra de vértice canónica, donde configuramos , de modo que se restringe a un mapa que es el mapa de multiplicación con el producto de álgebra. Si la derivación desaparece, podemos obtener un álgebra de operador de vértice concentrada en grado cero. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y(u,z)v=u_{-1}vz^{0}=uv}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y:V\rightarrow \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle u\mapsto u\cdot }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega =0}$

Cualquier álgebra de vértices de dimensión finita es conmutativa.

Por tanto, incluso los ejemplos más pequeños de álgebras de vértices no conmutativas requieren una introducción significativa.

Propiedades básicas

El operador de traducción en un álgebra de vértices induce simetrías infinitesimales en la estructura del producto y satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle \,Y(u,z)1=e^{zT}u}$
• ${\displaystyle \,Tu=u_{-2}1}$, por lo que está determinado por . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \,Y(Tu,z)={\frac {\mathrm {d} Y(u,z)}{\mathrm {d} z}}}$
• ${\displaystyle \,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)}$
• (simetría sesgada) ${\displaystyle Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u}$

Para un álgebra de operadores de vértice, los otros operadores de Virasoro satisfacen propiedades similares:

• ${\displaystyle \,x^{L_{0}}Y(u,z)x^{-L_{0}}=Y(x^{L_{0}}u,xz)}$
• ${\displaystyle \,e^{xL_{1}}Y(u,z)e^{-xL_{1}}=Y(e^{x(1-xz)L_{1}}(1-xz)^{-2L_{0}}u,z(1-xz)^{-1})}$
• (cuasi-conformidad) para todos . ${\displaystyle [L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)}$ ${\displaystyle m\geq -1}$
• (Asociatividad o propiedad prima): para cualquiera , el elemento ${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

dado en la definición también se expande a en . ${\displaystyle Y(Y(u,z-x)v,x)w}$ ${\displaystyle V((x))((z-x))}$

La propiedad de asociatividad de un álgebra de vértices se deriva del hecho de que el conmutador de y es aniquilado por una potencia finita de , es decir, se puede expandir como una combinación lineal finita de derivadas de la función delta formal en , con coeficientes en . ${\displaystyle Y(u,z)}$ ${\displaystyle Y(v,z)}$ ${\displaystyle z-x}$ ${\displaystyle (z-x)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

Reconstrucción: Sea un álgebra de vértices y sea un conjunto de vectores, con sus campos correspondientes . Si está abarcado por monomios en los coeficientes de peso positivos de los campos (es decir, productos finitos de operadores aplicados a , donde es negativo), entonces podemos escribir el producto del operador de dicho monomio como un producto normalmente ordenado de derivadas de potencia dividida de campos (aquí, el orden normal significa que los términos polares de la izquierda se mueven hacia la derecha). Específicamente, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J_{a}}$ ${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J_{n}^{a}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:}$

De manera más general, si se le da un espacio vectorial con un endomorfismo y un vector , y se asigna a un conjunto de vectores un conjunto de campos que son mutuamente locales, cuyos coeficientes de peso positivos generan , y que satisfacen las condiciones de identidad y traducción, entonces el La fórmula anterior describe una estructura de álgebra de vértices. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle J^{a}}$ ${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$ ${\displaystyle V}$

Expansión del producto del operador

En la teoría del álgebra de vértices, debido a la asociatividad, podemos abusar de la notación para escribir, por ejemplo ${\displaystyle A,B,C\in V,}$

$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.}$$

expansión del producto del operador

$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.}$$

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},}$$

relación de equivalencia ${\displaystyle \sim }$

OPE de uso común

Aquí se registran algunas OPE que se encuentran con frecuencia en la teoría de campos conforme. ^[3]

Ejemplos de álgebras de Lie

Los ejemplos básicos provienen de álgebras de Lie de dimensión infinita.

Álgebra del operador de vértice de Heisenberg

Un ejemplo básico de álgebra de vértices no conmutativa es el bosón libre de rango 1, también llamado álgebra de operadores de vértices de Heisenberg. Es "generado" por un solo vector b , en el sentido de que aplicando los coeficientes del campo b ( z ) := Y ( b , z ) al vector 1 , obtenemos un conjunto generador. El espacio vectorial subyacente es el anillo polinomial de variable infinita , donde para positivo , actúa obviamente por multiplicación y actúa como . La acción de b ₀ es multiplicar por cero, produciendo la representación de Fock de "momento cero" V ₀ del álgebra de Lie de Heisenberg (generada por b _n para números enteros n , con relaciones de conmutación [ b _n , b _m ]= n δ _{n,– m} ), inducida por la representación trivial de la subálgebra abarcada por b _n , n ≥ 0. ${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{-n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle n\partial _{b_{-n}}}$

El espacio de Fock V ₀ se puede convertir en un álgebra de vértices mediante la siguiente definición del mapa de operador de estado en función de cada uno , ${\displaystyle b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}}$ ${\displaystyle j_{i}<0}$

${\displaystyle Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):}$

donde denota el orden normal de un operador . Los operadores de vértice también se pueden escribir como funcionales de una función multivariable f como: ${\displaystyle :{\mathcal {O}}:}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

si entendemos que cada término del desarrollo de f tiene un orden normal.

El bosón libre de rango n se obtiene tomando un producto tensorial n veces del bosón libre de rango 1. Para cualquier vector b en un espacio de n dimensiones, se tiene un campo b ( z ) cuyos coeficientes son elementos del álgebra de Heisenberg de rango n , cuyas relaciones de conmutación tienen un término de producto interno adicional: [ b _n , cm _] = n (b ,c) δ _n,–m .

El álgebra del operador de vértice de Heisenberg tiene una familia de vectores conformes de un parámetro con parámetro de vectores conformes dado por ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega _{\lambda }}$

${\displaystyle \omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},}$

con carga central . ^[4] ${\displaystyle c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}}$

Cuando , existe la siguiente fórmula para el personaje Virasoro : ${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

Esta es la función generadora de particiones y también se escribe como q ^1/24 veces el peso −1/2 de la forma modular 1/η (el recíproco de la función eta de Dedekind ). El bosón libre de rango n tiene entonces una familia de n parámetros de vectores de Virasoro, y cuando esos parámetros son cero, el carácter es q ^{n /24} veces el peso − n /2 de la forma modular η ^{− n} .

Álgebra del operador de vértice de Virasoro

Las álgebras de operadores de vértices de Virasoro son importantes por dos razones: primero, el elemento conforme en un álgebra de operadores de vértices canónicamente induce un homomorfismo a partir de un álgebra de operadores de vértices de Virasoro, por lo que desempeñan un papel universal en la teoría. En segundo lugar, están íntimamente conectados con la teoría de las representaciones unitarias del álgebra de Virasoro, y desempeñan un papel importante en la teoría de campos conforme . En particular, los modelos mínimos unitarios de Virasoro son cocientes simples de estas álgebras de vértices, y sus productos tensoriales proporcionan una forma de construir combinatoriamente álgebras de operadores de vértices más complicadas.

El álgebra del operador de vértice de Virasoro se define como una representación inducida del álgebra de Virasoro : si elegimos una carga central c , hay un módulo unidimensional único para la subálgebra C [z]∂ _z + K para el cual K actúa por c Id , y C [z]∂ _z actúa de manera trivial, y el módulo inducido correspondiente está abarcado por polinomios en L _–n = –z ^−n–1 ∂ _z cuando n abarca números enteros mayores que 1. El módulo entonces tiene función de partición

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$.

Este espacio tiene una estructura de álgebra de operadores de vértice, donde los operadores de vértice están definidos por:

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

y . El hecho de que el campo de Virasoro L(z) sea local respecto de sí mismo se puede deducir de la fórmula de su autoconmutador: ${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

donde c es la carga central .

Dado un homomorfismo de álgebra de vértices de un álgebra de vértices de Virasoro de carga central c a cualquier otra álgebra de vértices, el operador de vértice adjunto a la imagen de ω satisface automáticamente las relaciones de Virasoro, es decir, la imagen de ω es un vector conforme. Por el contrario, cualquier vector conforme en un álgebra de vértices induce un homomorfismo de álgebra de vértices distinguido de algún álgebra de operadores de vértices de Virasoro.

Las álgebras del operador de vértice de Virasoro son simples, excepto cuando c tiene la forma 1–6( p – q ) ² / pq para enteros coprimos p , q estrictamente mayores que 1; esto se deduce de la fórmula determinante de Kac. En estos casos excepcionales, se tiene un ideal máximo único y el cociente correspondiente se denomina modelo mínimo. Cuando p = q +1, las álgebras de vértices son representaciones unitarias de Virasoro y sus módulos se conocen como representaciones de series discretas. Desempeñan un papel importante en la teoría de campos conforme, en parte porque son inusualmente manejables y, para p pequeñas , corresponden a sistemas de mecánica estadística bien conocidos en criticidad, por ejemplo, el modelo de Ising , el modelo de Ising tricrítico, el modelo de tres modelo estatal de Potts , etc. Gracias al trabajo de Weiqang Wang ^[5] sobre las reglas de fusión , tenemos una descripción completa de las categorías tensoriales de los modelos mínimos unitarios. Por ejemplo, cuando c = 1/2 (Ising), hay tres módulos irreducibles con el peso L ₀ más bajo 0, 1/2 y 1/16, y su anillo de fusión es Z [ x , y ]/( x ² –1, y ² – x –1, xy – y ).

Álgebra de vértices afines

Reemplazando el álgebra de Lie de Heisenberg con un álgebra de Lie de Kac-Moody afín y no retorcida (es decir, la extensión central universal del álgebra de bucles en un álgebra de Lie simple de dimensión finita ), se puede construir la representación del vacío de manera muy similar a la representación libre. Se construye el álgebra de vértices de bosones. Esta álgebra surge como el álgebra actual del modelo de Wess-Zumino-Witten , que produce la anomalía que se interpreta como la extensión central.

En concreto, retirar la extensión central

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

a lo largo de la inclusión se produce una extensión dividida, y el módulo de vacío se induce a partir de la representación unidimensional de este último sobre la cual actúa un elemento de base central mediante alguna constante elegida llamada "nivel". Dado que los elementos centrales pueden identificarse con productos internos invariantes en el álgebra de Lie de tipo finito , normalmente se normaliza el nivel para que la forma Killing tenga un nivel dos veces mayor que el número dual de Coxeter . De manera equivalente, el nivel uno proporciona el producto interno para el cual la raíz más larga tiene norma 2. Esto coincide con la convención de álgebra de bucles , donde los niveles se discretizan mediante la tercera cohomología de grupos de Lie compactos simplemente conexos . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Al elegir una base J ^a del álgebra de Lie de tipo finito, se puede formar una base del álgebra de Lie afín usando J ^a _n = J ^a t ⁿ junto con un elemento central K . Por reconstrucción, podemos describir los operadores de vértice mediante productos ordenados normales de derivadas de los campos.

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

Cuando el nivel no es crítico, es decir, el producto interno no es menos la mitad de la forma Killing, la representación del vacío tiene un elemento conforme, dado por la construcción Sugawara . ^[b] Para cualquier elección de bases duales Ja , Ja con respecto al producto interno de nivel 1, el elemento _conforme ^es

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

y produce un álgebra de operador de vértice cuya carga central es . En el nivel crítico, la estructura conforme se destruye, ya que el denominador es cero, pero se pueden producir operadores L _n para n ≥ –1 tomando un límite cuando k se aproxima a la criticidad. ${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$

Módulos

Al igual que los anillos ordinarios, las álgebras de vértices admiten una noción de módulo o representación. Los módulos juegan un papel importante en la teoría de campos conforme, donde a menudo se les llama sectores. Una suposición estándar en la literatura de física es que el espacio de Hilbert completo de una teoría de campos conforme se descompone en una suma de productos tensoriales de sectores que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}}$

Es decir, una teoría de campo conforme tiene un álgebra de operador de vértice de simetrías quirales que se mueven hacia la izquierda, un álgebra de operador de vértice de simetrías quirales que se mueven hacia la derecha, y los sectores que se mueven en una dirección dada son módulos para el álgebra de operador de vértice correspondiente.

Definición

Dada un álgebra de vértices V con multiplicación Y , un módulo V es un espacio vectorial M equipado con una acción Y ^M : V ⊗ M → M (( z )), que satisface las siguientes condiciones:

(Identidad) Y ^M (1,z) = Id _M

(Asociatividad o identidad de Jacobi) Para cualquier u , v ∈ V , w ∈ M , hay un elemento

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

tal que Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) w y Y ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) w son las expansiones correspondientes de en M (( z ))(( x ) ) y M (( x ))(( z – x )). De manera equivalente, se cumple la siguiente " identidad Jacobi ": ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

Los módulos de un álgebra de vértices forman una categoría abeliana . Cuando se trabaja con álgebras de operadores de vértices, la definición anterior a veces recibe el nombre de módulo débil ${\displaystyle V}$ , y los módulos V genuinos deben respetar la estructura conforme dada por el vector conforme . Más precisamente, se requiere que satisfagan la condición adicional de que L ₀ actúa de manera semisimple con espacios propios y valores propios de dimensión finita acotados por debajo en cada clase lateral de Z. El trabajo de Huang, Lepowsky, Miyamoto y Zhang ^{[ cita requerida ]} ha demostrado en varios niveles de generalidad que los módulos de un álgebra de operador de vértice admiten una operación de producto tensorial de fusión y forman una categoría de tensor trenzado . ${\displaystyle \omega }$

Cuando la categoría de V -módulos es semisimple con un número finito de objetos irreducibles, el álgebra del operador de vértice V se llama racional. Se sabe que las álgebras de operadores de vértices racionales que satisfacen una hipótesis de finitud adicional (conocida como condición de cofinitud C ₂ de Zhu ) se comportan particularmente bien y se denominan regulares . Por ejemplo, el teorema de invariancia modular de Zhu de 1996 afirma que los caracteres de los módulos de un VOA regular forman una representación con valores vectoriales de . En particular, si un VOA es holomórfico , es decir, su categoría de representación es equivalente a la de los espacios vectoriales, entonces su función de partición es -invariante hasta una constante. Huang demostró que la categoría de módulos de un VOA regular es una categoría de tensor modular y sus reglas de fusión satisfacen la fórmula de Verlinde . ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

módulos de álgebra de heisenberg

Los módulos del álgebra de Heisenberg se pueden construir como espacios de Fock para los cuales hay representaciones inducidas del álgebra de Lie de Heisenberg , dadas por un vector de vacío que satisface para , y sobre el que actúan libremente los modos negativos para . El espacio se puede escribir como . Cada módulo de álgebra de Heisenberg irreducible y graduado con gradación limitada a continuación tiene esta forma. ${\displaystyle \pi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v_{\lambda }}$ ${\displaystyle b_{n}v_{\lambda }=0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle b_{0}v_{\lambda }=0}$ ${\displaystyle b_{-n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Estos se utilizan para construir álgebras de vértices reticulares, que como espacios vectoriales son sumas directas de módulos de Heisenberg, cuando la imagen de se extiende adecuadamente a los elementos del módulo. ${\displaystyle Y}$

La categoría del módulo no es semisimple, ya que se puede inducir una representación del álgebra de Lie abeliana donde b ₀ actúa mediante un bloque de Jordan no trivial . Para el bosón libre de rango n , se tiene un módulo irreducible V _λ para cada vector λ en un espacio complejo de n dimensiones. Cada vector b ∈ C ⁿ produce el operador b ₀ , y el espacio de Fock V _λ se distingue por la propiedad de que cada b ₀ actúa como una multiplicación escalar por el producto interno ( b , λ).

Módulos retorcidos

A diferencia de los anillos ordinarios, las álgebras de vértices admiten una noción de módulo retorcido adjunto a un automorfismo. Para un automorfismo σ de orden N , la acción tiene la forma V ⊗ M → M (( z ^1/N )), con la siguiente condición de monodromía : si u ∈ V satisface σ u = exp(2π ik / N ) u , entonces u _n = 0 a menos que n satisfaga n + k / N ∈ Z (existe cierto desacuerdo sobre los signos entre los especialistas). Geométricamente, los módulos retorcidos se pueden unir a puntos de ramificación en una curva algebraica con una cubierta de Galois ramificada . En la literatura de teoría de campos conforme, los módulos retorcidos se denominan sectores retorcidos y están íntimamente relacionados con la teoría de cuerdas en orbifolds .

Ejemplos adicionales

Álgebra del operador de vértice definida por una red par

La construcción del álgebra de vértices de celosía fue la motivación original para definir las álgebras de vértices. Se construye tomando una suma de módulos irreducibles para el álgebra de Heisenberg correspondientes a vectores reticulares y definiendo una operación de multiplicación especificando operadores entrelazados entre ellos. Es decir, si Λ es una red par (si la red no es par, la estructura obtenida es en cambio una superálgebra de vértice), el álgebra de vértice de la red V _Λ se descompone en módulos bosónicos libres como:

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

Las álgebras de vértices de celosía están canónicamente unidas a cubiertas dobles de celosías integrales pares , en lugar de a las celosías mismas. Si bien cada una de estas redes tiene un álgebra de vértice de red única hasta el isomorfismo, la construcción del álgebra de vértice no es funtorial, porque los automorfismos de red tienen una ambigüedad en el levantamiento. ^[1]

Las coberturas dobles en cuestión están determinadas únicamente hasta el isomorfismo por la siguiente regla: los elementos tienen la forma ±e _α para los vectores reticulares α ∈ Λ (es decir, hay una aplicación a Λ que envía e _α a α que olvida los signos), y la multiplicación satisface las relaciones e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _α . Otra forma de describir esto es que dada una red par Λ , hay un cociclo normalizado único (hasta el colímite) ε ( α , β ) con valores ±1 tales que (−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , donde la condición de normalización es que ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 para todo α ∈ Λ . Este ciclo induce una extensión central de Λ por un grupo de orden 2, y obtenemos un anillo de grupo torcido C _ε [Λ] con base e _α ( α ∈ Λ) , y regla de multiplicación e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β} – la condición de cociclo en ε asegura la asociatividad del anillo. ^[6]

El operador de vértice adjunto al vector de menor peso v _λ en el espacio de Fock V _λ es

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

donde z ^λ es una abreviatura del mapa lineal que lleva cualquier elemento del espacio α-Fock V _α al monomio z ^{( λ , α )} . Los operadores de vértice para otros elementos del espacio de Fock se determinan luego mediante reconstrucción.

Como en el caso del bosón libre, se puede elegir un vector conforme, dado por un elemento s del espacio vectorial Λ ⊗ C , pero la condición de que los espacios de Fock adicionales tengan valores propios enteros L ₀ limita la elección de s : para En una base ortonormal x _i , el vector 1/2 x _i,1 ² + s ₂ debe satisfacer ( s , λ ) ∈ Z para todo λ ∈ Λ, es decir, s se encuentra en la red dual.

Si la red par Λ es generada por sus "vectores raíz" (aquellos que satisfacen (α, α) = 2), y dos vectores raíz cualesquiera están unidos por una cadena de vectores raíz con productos internos consecutivos distintos de cero, entonces el álgebra del operador de vértice es el cociente simple único del módulo de vacío del álgebra afín de Kac-Moody del álgebra de Lie simple entrelazada correspondiente en el nivel uno. Esto se conoce como construcción Frenkel-Kac (o Frenkel - Kac - Segal ) y se basa en la construcción anterior de Sergio Fubini y Gabriele Veneziano del operador de vértice taquiónico en el modelo de resonancia dual . Entre otras características, los modos cero de los operadores de vértice correspondientes a los vectores raíz dan una construcción del álgebra de Lie simple subyacente, relacionada con una presentación originalmente debida a Jacques Tits . En particular, se obtiene una construcción de todos los grupos de Lie de tipo ADE directamente a partir de sus redes de raíces. Y esta se considera comúnmente la forma más sencilla de construir el grupo E ₈ de 248 dimensiones . ^{[6] [7]}

Álgebra de vértices de monstruos

El álgebra del vértice del monstruo (también llamado "módulo de luz de luna") es la clave para la prueba de Borcherds de las conjeturas de la luz de luna monstruosa . Fue construido por Frenkel, Lepowsky y Meurman en 1988. Es notable porque su carácter es el j-invariante sin término constante, y su grupo de automorfismo es el grupo de monstruos . Se construye orbitando el álgebra de vértices de la red construida a partir de la red Leech mediante el automorfismo de orden 2 inducido al reflejar la red Leech en el origen. Es decir, se forma la suma directa de la red Leech VOA con el módulo retorcido y se toman los puntos fijos bajo una involución inducida. Frenkel, Lepowsky y Meurman conjeturaron en 1988 que es el único álgebra de operador de vértice holomórfico con carga central 24 y función de partición . Esta conjetura aún está abierta. ${\displaystyle V^{\natural }}$ ${\displaystyle j(\tau )-744}$ ${\displaystyle V^{\natural }}$ ${\displaystyle j(\tau )-744}$

Complejo quiral de Rham

Malikov, Schechtman y Vaintrob demostraron que mediante un método de localización, se puede unir canónicamente un sistema bcβγ (supercampo bosón-fermión) a una variedad compleja suave. Este complejo de gavillas tiene un diferencial distinguido y la cohomología global es una superálgebra de vértice. Ben-Zvi, Heluani y Szczesny demostraron que una métrica de Riemann en la variedad induce una estructura superconformal N = 1, que se promueve a una estructura N = 2 si la métrica es Kähler y Ricci-plana , y una estructura hiperkähler induce una N =4 estructura. Borisov y Libgober demostraron que se puede obtener el género elíptico de dos variables de una variedad compleja compacta a partir de la cohomología del complejo Chiral de Rham. Si la variedad es Calabi-Yau , entonces este género es una forma débil de Jacobi . ^[8]

Álgebra de vértices asociada a un defecto superficial

Un álgebra de vértices puede surgir como un subsector de la teoría cuántica de campos de dimensiones superiores que se localiza en una subvariedad de dos dimensiones reales del espacio en el que se define la teoría de dimensiones superiores. Un ejemplo prototípico es la construcción de Beem, Leemos, Liendo, Peelaers, Rastelli y van Rees que asocia un álgebra de vértices a cualquier teoría de campos superconformal 4d N =2 . ^[9] Este álgebra de vértices tiene la propiedad de que su carácter coincide con el índice de Schur de la teoría superconformal 4d. Cuando la teoría admite un límite de acoplamiento débil, el álgebra de vértices tiene una descripción explícita como una reducción BRST de un sistema bcβγ.

Superálgebras del operador de vértice

Al permitir que el espacio vectorial subyacente sea un superespacio (es decir, un espacio vectorial graduado Z /2 Z ), se puede definir una superálgebra de vértice con los mismos datos que un álgebra de vértice, con 1 en V ₊ y T como operador par. Los axiomas son esencialmente los mismos, pero se deben incorporar signos adecuados al axioma de localidad, o una de las formulaciones equivalentes. Es decir, si a y b son homogéneos, se compara Y ( a , z ) Y ( b , w ) con ε Y ( b , w ) Y ( a , z ), donde ε es –1 si tanto a como b son impar y 1 en caso contrario. Si además hay un elemento de Virasoro ω en la parte par de V ₂ y se satisfacen las restricciones de clasificación habituales, entonces V se denomina superálgebra de operador de vértice . ${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$

Uno de los ejemplos más simples es la superálgebra del operador de vértice generada por un único fermión libre ψ. Como representación de Virasoro, tiene carga central 1/2 y se descompone como una suma directa de los módulos Ising de menor peso 0 y 1/2. También se puede describir como una representación de espín del álgebra de Clifford en el espacio cuadrático t ^1/2 C [ t , t ⁻¹ ]( dt ) ^1/2 con emparejamiento de residuos. La superálgebra del operador de vértice es holomorfa, en el sentido de que todos los módulos son sumas directas de sí mismo, es decir, la categoría del módulo es equivalente a la categoría de los espacios vectoriales.

El tensor cuadrado del fermión libre se llama fermión cargado libre y, por correspondencia bosón-fermión, es isomorfo a la superálgebra del vértice de la red adjunta a la red impar Z. ^[6] Esta correspondencia ha sido utilizada por Date–Jimbo–Kashiwara-Miwa para construir soluciones de solitones a la jerarquía KP de PDE no lineales.

Estructuras superconformes

El álgebra de Virasoro tiene algunas extensiones supersimétricas que aparecen naturalmente en la teoría de campos superconforme y la teoría de supercuerdas . Las álgebras superconformes N = 1, 2 y 4 son de particular importancia.

Las transformaciones superconformes holomorfas infinitesimales de una supercurva (con una coordenada local par z y N coordenadas locales impares θ ₁ ,..., θ _N ) se generan mediante los coeficientes de un tensor de supertensión-energía T (z, θ ₁ , . .., θ _N ).

Cuando N = 1, T tiene parte impar dada por un campo de Virasoro L ( z ), y parte par dada por un campo

${\displaystyle G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}}$

sujeto a relaciones de conmutación

• ${\displaystyle [G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}}$
• ${\displaystyle [G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c}$

Al examinar la simetría de los productos del operador, se encuentra que hay dos posibilidades para el campo G : los índices n son todos números enteros, lo que produce el álgebra de Ramond , o todos semienteros, lo que produce el álgebra de Neveu-Schwarz . Estas álgebras tienen representaciones de series discretas unitarias en carga central.

${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3}$

y representaciones unitarias para todo c mayor que 3/2, con el peso más bajo h solo restringido por h ≥ 0 para Neveu-Schwarz y h ≥ c /24 para Ramond.

Un vector superconformal N = 1 en un álgebra de operador de vértice V de carga central c es un elemento impar τ ∈ V de peso 3/2, tal que

${\displaystyle Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},}$

G _−1/2 τ = ω, y los coeficientes de G ( z ) producen una acción del álgebra N = 1 de Neveu-Schwarz en la carga central c .

Para supersimetría N = 2, se obtienen campos pares L ( z ) y J ( z ), y campos impares G ⁺ (z) y G ⁻ (z). El campo J ( z ) genera una acción de las álgebras de Heisenberg (descrita por los físicos como corriente U (1)). Existen álgebras superconformales de Ramond y Neveu-Schwarz N = 2, dependiendo de si la indexación de los campos G es integral o semiintegral. Sin embargo, la corriente U (1) da lugar a una familia de un parámetro de álgebras superconformales isomorfas que interpolan entre Ramond y Neveu-Schwartz, y esta deformación de la estructura se conoce como flujo espectral. Las representaciones unitarias están dadas por series discretas con carga central c = 3-6/ m para números enteros m al menos 3, y un continuo de pesos más bajos para c > 3.

Una estructura superconformal N = 2 en un álgebra de operadores de vértices es un par de elementos impares τ ⁺ , τ ⁻ de peso 3/2 y un elemento par μ de peso 1 tal que τ ^± genera G ^± (z), y μ genera J ( z ).

Para N = 3 y 4, las representaciones unitarias solo tienen cargas centrales en una familia discreta, con c = 3 k /2 y 6 k , respectivamente, ya que k oscila entre enteros positivos.

Construcciones adicionales

• Subálgebras de punto fijo: Dada una acción de un grupo de simetría en un álgebra de operador de vértice, la subálgebra de vectores fijos también es un álgebra de operador de vértice. En 2013, Miyamoto demostró que dos importantes propiedades de finitud, a saber, la condición C ₂ de Zhu y la regularidad, se conservan al tomar puntos fijos bajo acciones de grupo finitas con solución.
• Extensiones actuales: dada un álgebra de operador de vértice y algunos módulos de peso conforme integral, en circunstancias favorables se puede describir una estructura de álgebra de operador de vértice en la suma directa. Las álgebras de vértices de celosía son un ejemplo estándar de esto. Otra familia de ejemplos son los VOA enmarcados, que comienzan con productos tensoriales de modelos Ising y agregan módulos que corresponden a códigos adecuadamente pares.
• Orbifolds: Dado un grupo cíclico finito que actúa sobre un VOA holomórfico, se conjetura que se puede construir un segundo VOA holomórfico uniendo módulos retorcidos irreducibles y tomando puntos fijos bajo un automorfismo inducido, siempre que esos módulos retorcidos tengan un peso conforme adecuado. Se sabe que esto es cierto en casos especiales, por ejemplo, grupos de orden como máximo 3 que actúan sobre VOA reticulares.
• La construcción de clase lateral (debido a Goddard, Kent y Olive): dada un álgebra de operador de vértice V de carga central c y un conjunto S de vectores, se puede definir el conmutante C ( V , S ) como el subespacio de vectores v estrictamente conmutar con todos los campos provenientes de S , es decir, de manera que Y ( s , z ) v ∈ V[[ z ]] para todos s ∈ S . Esto resulta ser una subálgebra de vértice, con Y , T e identidad heredada de V. y si S es un VOA de carga central c _S , el conmutante es un VOA de carga central c – c _S . Por ejemplo, la incorporación de SU (2) en el nivel k +1 en el producto tensorial de dos álgebras SU (2) en los niveles k y 1 produce la serie discreta de Virasoro con p = k +2, q = k +3 y esto se utilizó para demostrar su existencia en la década de 1980. Nuevamente con SU (2), la incorporación del nivel k +2 en el producto tensorial del nivel k y el nivel 2 produce la serie discreta superconformal N =1.
• Reducción BRST: Para cualquier vector v de grado 1 que satisfaga v ₀ ² =0, la cohomología de este operador tiene una estructura de superálgebra de vértice graduado. De manera más general, se puede utilizar cualquier campo de peso 1 cuyo residuo tenga un cuadrado cero. El método habitual es tensor con fermiones, ya que entonces se tiene un diferencial canónico. Un caso especial importante es la reducción cuántica de Drinfeld-Sokolov aplicada a álgebras afines de Kac-Moody para obtener W -álgebras afines como cohomología de grado 0. Estas álgebras de W también admiten construcciones como subálgebras de vértices de bosones libres dadas por núcleos de operadores de cribado.

Estructuras algebraicas relacionadas

• Si se considera solo la parte singular del OPE en un álgebra de vértices, se llega a la definición de un álgebra conforme de Lie . Dado que a menudo sólo nos preocupamos por la parte singular del OPE, esto hace que las álgebras conformes de Lie sean un objeto natural de estudio. Hay un functor desde las álgebras de vértices hasta las álgebras conformes de Lie que olvida la parte regular de los OPE y tiene un adjunto izquierdo, llamado functor de "álgebra de vértices universal". Los módulos de vacío de las álgebras afines de Kac-Moody y las álgebras de vértices de Virasoro son álgebras de vértices universales y, en particular, se pueden describir de manera muy concisa una vez que se desarrolla la teoría básica.
• Existen varias generalizaciones de la noción de álgebra de vértices en la literatura. Algunas generalizaciones leves implican un debilitamiento del axioma de localidad para permitir la monodromía, por ejemplo, las álgebras abelianas entrelazadas de Dong y Lepowsky. Uno puede verlos aproximadamente como objetos de álgebra de vértices en una categoría tensorial trenzada de espacios vectoriales graduados, de la misma manera que una superálgebra de vértices es un objeto de este tipo en la categoría de superespacios vectoriales. Generalizaciones más complicadas se relacionan con q -deformaciones y representaciones de grupos cuánticos, como en el trabajo de Frenkel-Reshetikhin, Etingof-Kazhdan y Li.
• Beilinson y Drinfeld introdujeron una noción de álgebra quiral basada en la teoría de la gavilla que está estrechamente relacionada con la noción de álgebra de vértices, pero se define sin utilizar ninguna serie de potencias visible . Dada una curva algebraica X , un álgebra quiral en X es un módulo D _X A equipado con una operación de multiplicación en X × X que satisface una condición de asociatividad. También introdujeron una noción equivalente de álgebra de factorización , que es un sistema de haces cuasicoherentes en todos los productos finitos de la curva, junto con una condición de compatibilidad que implica retrocesos al complemento de varias diagonales. Cualquier álgebra quiral equivalente a la traducción en la línea afín se puede identificar con un álgebra de vértice tomando la fibra en un punto, y existe una forma natural de adjuntar un álgebra quiral en una curva algebraica suave a cualquier álgebra de operador de vértice. ${\displaystyle j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A}$

Ver también

• Álgebra de operadores

Notas

1. Este último axioma se puede utilizar para proporcionar un mapa de "campo a estado" para la correspondencia entre el estado y el campo.
2. La historia de la construcción de Sugawara es complicada y se requieren varios intentos para lograr que la fórmula sea correcta.[1]

Citas

1. Borcherds 1986.
2. Frenkel y Ben-Zvi 2001.
3. Kac 1998, pág. 38.
4. Ben-Zvi, David; Frenkel, Eduardo (2004). Álgebras de vértices y curvas algebraicas (Segunda ed.). [Providencia, Rhode Island]. pag. 45.ISBN​ 9781470413156.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Wang 1993.
6. Kac 1998.
7. Frenkel, Lepowsky y Meurman 1988.
8. Borisov y Libgober (2000).
9. Beem; Leemos; Liendo; Peladores; Rastelli; van Rees (2015). "Simetría quiral infinita en cuatro dimensiones". Comunicaciones en Física Matemática . 336 (3): 1359-1433. arXiv : 1312.5344 . Código Bib : 2015CMaPh.336.1359B. doi :10.1007/s00220-014-2272-x. S2CID  253752439.

Fuentes

• Borcherds, Richard (1986), "Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 83 (10): 3068–3071, Bibcode :1986PNAS... 83.3068B, doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 , PMC  323452 , PMID  16593694
• Borisov, Lev A.; Libgober, Anatoly (2000), "Géneros elípticos de variedades tóricas y aplicaciones a la simetría especular", Inventiones Mathematicae , 140 (2): 453–485, arXiv : math/9904126 , Bibcode :2000InMat.140..453B, doi :10.1007 /s002220000058, SEÑOR  1757003, S2CID  8427026
• Frenkel, Eduardo ; Ben-Zvi, David (2001), Álgebras de vértices y curvas algebraicas , monografías y estudios matemáticos, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-2894-0
• Frenkel, Igor ; Lepowsky, James ; Meurman, Arne (1988), Álgebras de operadores de vértices y el monstruo , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 134, Prensa académica, ISBN 0-12-267065-5
• Kac, Victor (1998), Álgebras de vértices para principiantes , University Lecture Series, vol. 10 (2ª ed.), Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-1396-X
• Wang, Weiqiang (1993), "Rationality of Virasoro vertex operator álgebras", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 1993 (7): 197, doi : 10.1155/S1073792893000212
• Xu, Xiaoping (1998), Introducción a las superálgebras de operadores de vértices y sus módulos , Springer, ISBN 079235242-4