Álgebra de Super Virasoro

Extensión supersimétrica del álgebra de Virasoro

En física matemática , una superálgebra de Virasoro es una extensión del álgebra de Virasoro (llamada así por Miguel Ángel Virasoro ) a una superálgebra de Lie . Hay dos extensiones con particular importancia en la teoría de supercuerdas : el álgebra de Ramond (llamada así por Pierre Ramond ) ^[1] y el álgebra de Neveu-Schwarz (llamada así por André Neveu y John Henry Schwarz ). ^[2] Ambas álgebras tienen supersimetría N = 1 y una parte par dada por el álgebra de Virasoro. Describen las simetrías de una supercuerda en dos sectores diferentes, llamados sector de Ramond y sector de Neveu-Schwarz .

Elnorte= 1 superálgebra de Virasoro

Existen dos extensiones mínimas del álgebra de Virasoro con supersimetría N = 1: el álgebra de Ramond y el álgebra de Neveu-Schwarz. Ambas son superálgebras de Lie cuya parte par es el álgebra de Virasoro: esta álgebra de Lie tiene una base que consiste en un elemento central C y generadores L _m (para el entero m ) que satisfacen

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{i,j}}$

La parte impar del álgebra tiene base , donde es un entero (el caso de Ramond) o la mitad de un entero impar (el caso de Neveu-Schwarz). En ambos casos, es central en la superálgebra, y los corchetes graduados adicionales se dan por ${\displaystyle G_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}]=\left({\frac {m}{2}}-r\right)G_{m+r}}$

${\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}\left(r^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\delta _{r+s,0}}$

Nótese que este último soporte es un anticonmutador , no un conmutador, porque ambos generadores son impares.

El álgebra de Ramond tiene una presentación en términos de 2 generadores y 5 condiciones; y el álgebra de Neveu-Schwarz tiene una presentación en términos de 2 generadores y 9 condiciones. ^[3]

Representaciones

Las representaciones unitarias de mayor peso de estas álgebras tienen una clasificación análoga a la del álgebra de Virasoro, con un continuo de representaciones junto con una serie discreta infinita. La existencia de estas series discretas fue conjeturada por Daniel Friedan , Zongan Qiu y Stephen Shenker (1984). Fue probada por Peter Goddard , Adrian Kent y David Olive (1986), utilizando una generalización supersimétrica de la construcción de clases laterales o construcción GKO.

Aplicación a la teoría de supercuerdas

En la teoría de supercuerdas, los campos fermiónicos en la cuerda cerrada pueden ser periódicos o antiperiódicos en el círculo que rodea la cuerda. Los estados en el "sector de Ramond" admiten una opción (las condiciones periódicas se denominan condiciones de contorno de Ramond ), descritas por el álgebra de Ramond, mientras que los del "sector de Neveu-Schwarz" admiten la otra (las condiciones antiperiódicas se denominan condiciones de contorno de Neveu-Schwarz ), descritas por el álgebra de Neveu-Schwarz.

Para un campo fermiónico , la periodicidad depende de la elección de las coordenadas en la hoja del mundo . En el marco w , en el que la hoja del mundo de un solo estado de cuerda se describe como un cilindro largo, los estados en el sector de Neveu–Schwarz son antiperiódicos y los estados en el sector de Ramond son periódicos. En el marco z , en el que la hoja del mundo de un solo estado de cuerda se describe como un plano perforado infinito, sucede lo contrario.

El sector Neveu-Schwarz y el sector Ramond también se definen en la cuerda abierta y dependen de las condiciones de contorno del campo fermiónico en los bordes de la cuerda abierta.

Véase también

• Álgebra superconforme N = 2
• Sector NS-NS
• Sector Ramond-Ramond
• Álgebra superconforme

Notas

1. Ramond, P. (15 de mayo de 1971). "Teoría dual para fermiones libres". Physical Review D . 3 (10). American Physical Society (APS): 2415–2418. Bibcode :1971PhRvD...3.2415R. doi :10.1103/physrevd.3.2415. ISSN  0556-2821.
2. Neveu, A.; Schwarz, JH (1971). "Modelo dual sin taquiones con una trayectoria de intersección positiva". Physics Letters B . 34 (6). Elsevier BV: 517–518. Bibcode :1971PhLB...34..517N. doi :10.1016/0370-2693(71)90669-1. ISSN  0370-2693.
3. Fairlie, DB; Nuyts, J.; Zachos, CK (1988). "Una presentación para las álgebras de Virasoro y super-Virasoro". Communications in Mathematical Physics . 117 (4): 595. Bibcode :1988CMaPh.117..595F. doi :10.1007/BF01218387. S2CID  119811901.

Referencias

• Becker, K.; Becker, M.; Schwarz, JH (2007), Teoría de cuerdas y teoría M: una introducción moderna , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86069-7
• Goddard, P .; Kent, A.; Olive, D. (1986), "Representaciones unitarias de las álgebras de Virasoro y super-Virasoro", Comm. Math. Phys. , 103 (1): 105–119, Bibcode :1986CMaPh.103..105G, doi :10.1007/bf01464283, S2CID  91181508, archivado desde el original el 2012-12-09
• Green, Michael B. ; Schwarz, John H. ; Witten, Edward (1988a), Teoría de supercuerdas, Volumen 1: Introducción , Cambridge University Press, ISBN 0521357527
• Kac, Victor G.; Todorov, Ivan T. (1985), "Álgebras de corriente superconformes y sus representaciones unitarias", Comm. Math. Phys. , 102 (2): 337–347, Bibcode :1985CMaPh.102..337K, doi :10.1007/bf01229384, S2CID  189831973
• Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "Nuevas  teorías de campos superconformes N = 2 y compactificación de supercuerdas", Nuclear Physics B , 321 (1): 232–268, Bibcode :1989NuPhB.321..232K, doi :10.1016/0550-3213(89)90250-2
• Mezincescu, L.; Nepomechie, I.; Zachos, CK (1989). "Álgebra (super)conforme en el (super)toro". Física nuclear B . 315 (1): 43. Bibcode :1989NuPhB.315...43M. doi :10.1016/0550-3213(89)90448-3.