Ramificación (matemáticas)

Ramificación de una estructura matemática

Representación esquemática de la ramificación: las fibras de casi todos los puntos de Y que se muestran a continuación constan de tres puntos, excepto dos puntos de Y marcados con puntos, donde las fibras constan de uno y dos puntos (marcados en negro), respectivamente . Se dice que la función f está ramificada en estos puntos de Y.

En geometría , la ramificación es "ramificarse", de la misma manera que la función raíz cuadrada , para números complejos , puede verse como si tuviera dos ramas que difieren en signo. El término también se utiliza desde la perspectiva opuesta (ramas que se unen) como cuando una función de recubrimiento se degenera en un punto de un espacio, con algún colapso de las fibras de la función.

En análisis complejo

Utilizando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada

En el análisis complejo , el modelo básico puede tomarse como la función z  →  z ⁿ en el plano complejo, cerca de  z  = 0. Esta es la imagen local estándar en la teoría de superficies de Riemann , de ramificación de orden  n . Se presenta, por ejemplo, en la fórmula de Riemann-Hurwitz para el efecto de las funciones en el género .

En topología algebraica

En una función de recubrimiento, la característica de Euler-Poincaré debería multiplicarse por el número de láminas; por lo tanto, la ramificación puede detectarse si se eliminan algunas de ellas. La función z →  z ⁿ muestra esto como un patrón local: si excluimos 0, considerando 0 < | z | < 1, por ejemplo, tenemos (desde el punto de vista de la homotopía ) el círculo mapeado a sí mismo por la función de potencia n (característica de Euler-Poincaré 0), pero con todo el disco, la característica de Euler-Poincaré es 1, siendo n  – 1 los puntos 'perdidos' a medida que las n láminas se juntan en  z  = 0.

En términos geométricos, la ramificación es algo que sucede en la codimensión dos (como la teoría de nudos y la monodromía ); dado que la codimensión dos real es la codimensión uno compleja , el ejemplo complejo local establece el patrón para las variedades complejas de dimensiones superiores . En el análisis complejo, las láminas no pueden simplemente plegarse a lo largo de una línea (una variable), o un subespacio de codimensión uno en el caso general. El conjunto de ramificación (lugar geométrico de ramificación en la base, conjunto de puntos dobles arriba) será dos dimensiones reales más bajo que la variedad ambiental , y por lo tanto no lo separará en dos 'lados', localmente―habrá caminos que tracen alrededor del lugar geométrico de ramificación, tal como en el ejemplo. En geometría algebraica sobre cualquier cuerpo , por analogía, también sucede en la codimensión uno algebraica.

En la teoría de números algebraicos

En extensiones algebraicas de los números racionales

En teoría de números algebraicos, la ramificación significa que un ideal primo se factoriza en una extensión de modo que se obtengan algunos factores ideales primos repetidos. Es decir, sea el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos , y un ideal primo de . Para una extensión de cuerpo podemos considerar el anillo de números enteros (que es la clausura integral de en ), y el ideal de . Este ideal puede ser primo o no, pero para un número finito , tiene una factorización en ideales primos: ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle [L:K]}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

donde los son ideales primos distintos de . Entonces se dice que se ramifica en si para algún ; de lo contrario es ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}>1}$ ${\displaystyle i}$no ramificado . En otras palabras,se ramifica ensi elíndice de ramificaciónes mayor que uno para algún. Una condición equivalente es quenilpotentedistinto de cero: no es un producto decuerpos finitos. La analogía con el caso de superficie de Riemann ya fue señalada porRichard DedekindyHeinrich M. Weberen el siglo XIX. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$

La ramificación está codificada en por el discriminante relativo y en por el diferente relativo . El primero es un ideal de y es divisible por si y solo si algún ideal de división se ramifica. El último es un ideal de y es divisible por el ideal primo de precisamente cuando se ramifica. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

La ramificación es moderada cuando todos los índices de ramificación son primos entre sí respecto de la característica de residuo p de , de lo contrario . Esta condición es importante en la teoría de módulos de Galois . Una extensión genéricamente étale finita de los dominios de Dedekind es moderada si y solo si la traza es sobreyectiva. ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B/A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$

En campos locales

El análisis más detallado de la ramificación en cuerpos numéricos se puede llevar a cabo utilizando extensiones de los números p-ádicos , porque es una cuestión local . En ese caso, se define una medida cuantitativa de la ramificación para las extensiones de Galois , básicamente preguntando hasta qué punto el grupo de Galois mueve los elementos del cuerpo con respecto a la métrica. Se define una secuencia de grupos de ramificación , que materializan (entre otras cosas) la ramificación salvaje (no domesticada). Esto va más allá del análogo geométrico.

En álgebra

En la teoría de la valoración , la teoría de la ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración de un campo K a un campo de extensión de K. Esto generaliza las nociones de la teoría de números algebraicos, los campos locales y los dominios de Dedekind.

En geometría algebraica

Existe también una noción correspondiente de morfismo no ramificado en geometría algebraica, que sirve para definir morfismos étales .

Sea un morfismo de esquemas. El soporte del haz cuasicoherente se llama lugar de ramificación de y la imagen del lugar de ramificación, , se llama lugar de ramificación de . Si decimos que es formalmente no ramificado y si es también de presentación localmente finita decimos que es no ramificado (véase Vakil 2017). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Polinomio de Eisenstein
• Polígono de Newton
• Expansión de Puiseux
• Cobertura ramificada

Referencias

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Vakil, Ravi (18 de noviembre de 2017). The Rising Sea: Foundations of algebraic geometry (PDF) . Consultado el 5 de junio de 2019 .

Enlaces externos

• "División y ramificación en cuerpos numéricos y extensiones de Galois". PlanetMath .