Morfismo no ramificado

En geometría algebraica, un morfismo no ramificado es un morfismo de esquemas tal que (a) es localmente de presentación finita y (b) para cada y , tenemos que ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

1. El campo de residuos es una extensión algebraica separable de . ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle k(y)}$
2. ${\displaystyle f^{\#}({\mathfrak {m}}_{y}){\mathcal {O}}_{x,X}={\mathfrak {m}}_{x},}$donde y son ideales máximos de los anillos locales. ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{y,Y}\to {\mathcal {O}}_{x,X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{y},{\mathfrak {m}}_{x}}$

Un morfismo plano no ramificado se denomina morfismo étale . Con menor fuerza, si satisface las condiciones cuando se restringe a vecindarios suficientemente pequeños de y , entonces se dice que no está ramificado cerca de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Algunos autores prefieren utilizar condiciones más débiles, en cuyo caso denominan morfismo G-no ramificado a un morfismo que satisface lo anterior .

Ejemplo sencillo

Sea un anillo y B el anillo obtenido al agregar un elemento entero a A ; es decir, para algún polinomio mónico F . Entonces es no ramificado si y solo si el polinomio F es separable (es decir, él y su derivada generan el ideal unitario de ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A[t]/(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle A[t]}$

Caso de curva

Sea un morfismo finito entre curvas suaves y conexas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, P un punto cerrado de X y . Entonces tenemos el homomorfismo de anillo local donde y son los anillos locales en Q y P de Y y X . Como es un anillo de valoración discreto , existe un entero único tal que . El entero se llama índice de ramificación de sobre . ^[1] Como como el cuerpo base es algebraicamente cerrado, está desramificado en (de hecho, étale ) si y solo si . De lo contrario, se dice que está ramificado en P y Q se llama punto de ramificación . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Q=f(P)}$ ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{Q}\to {\mathcal {O}}_{P}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{Q},{\mathfrak {m}}_{Q})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{P},{\mathfrak {m}}_{P})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$ ${\displaystyle e_{P}>0}$ ${\displaystyle f^{\#}({\mathfrak {m}}_{Q}){\mathcal {O}}_{P}={{\mathfrak {m}}_{P}}^{e_{P}}}$ ${\displaystyle e_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k(P)=k(Q)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e_{P}=1}$ ${\displaystyle f}$

Caracterización

Dado un morfismo que es localmente de presentación finita, los siguientes son equivalentes: ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$

1. f no está ramificada.
2. El mapa diagonal es una inmersión abierta. ${\displaystyle \delta _{f}:X\to X\times _{Y}X}$
3. El haz cotangente relativo es cero. ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$

Véase también

• Extensiones finitas de campos locales
• Ramificación (matemáticas)

Referencias

1. Hartshorne 1977, Cap. IV, § 2.
2. Grothendieck y Dieudonné 1967, Corolario 17.4.2.

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157