En álgebra (en particular en geometría algebraica o teoría algebraica de números ), una valoración es una función en un campo que proporciona una medida del tamaño o multiplicidad de elementos del campo. Generaliza al álgebra conmutativa la noción de tamaño inherente a la consideración del grado de un polo o multiplicidad de un cero en el análisis complejo , el grado de divisibilidad de un número por un número primo en la teoría de números y el concepto geométrico de contacto entre dos variedades algebraicas o analíticas en geometría algebraica. Un campo con una valoración se denomina campo valorado .
Se comienza con los siguientes objetos:
La ley de ordenamiento y grupo en Γ se extiende al conjunto Γ ∪ {∞ } [a] mediante las reglas
Entonces una valoración de K es cualquier aplicación
que satisface las siguientes propiedades para todo a , b en K :
Una valoración v es trivial si v ( a ) = 0 para todo a en K × , en caso contrario no es trivial .
La segunda propiedad afirma que cualquier valoración es un homomorfismo de grupo en K × . La tercera propiedad es una versión de la desigualdad triangular en espacios métricos adaptada a un Γ arbitrario (ver Notación multiplicativa a continuación). Para valoraciones utilizadas en aplicaciones geométricas , la primera propiedad implica que cualquier germen no vacío de una variedad analítica cerca de un punto contiene ese punto.
La valoración se puede interpretar como el orden del término de orden principal . [b] La tercera propiedad corresponde entonces a que el orden de una suma sea el orden del término mayor, [c] a menos que los dos términos tengan el mismo orden, en cuyo caso pueden cancelarse y la suma puede tener un orden mayor.
Para muchas aplicaciones, Γ es un subgrupo aditivo de los números reales [d] en cuyo caso ∞ puede interpretarse como +∞ en los números reales extendidos ; tenga en cuenta que para cualquier número real a , y por lo tanto +∞ es la unidad bajo la operación binaria de mínimo. Los números reales (extendidos por +∞) con las operaciones de mínimo y suma forman un semianillo , llamado semianillo tropical mínimo , [e] y una valoración v es casi un homomorfismo de semianillo de K al semianillo tropical, excepto que la propiedad del homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valoración.
El concepto fue desarrollado por Emil Artin en su libro Álgebra geométrica escribiendo el grupo en notación multiplicativa como (Γ, ·, ≥) : [1]
En lugar de ∞, adjuntamos un símbolo formal O a Γ, con la ley de ordenamiento y grupo extendida por las reglas
Entonces una valoración de K es cualquier aplicación
satisfaciendo las siguientes propiedades para todo a , b ∈ K :
(Obsérvese que las direcciones de las desigualdades son inversas a las de la notación aditiva).
Si Γ es un subgrupo de números reales positivos bajo multiplicación, la última condición es la desigualdad ultramétrica , una forma más fuerte de la desigualdad triangular |a+b| v ≤ |a| v + |b| v , y | ⋅ | v es un valor absoluto . En este caso, podemos pasar a la notación aditiva con grupo de valores tomando v + ( a ) = −log |a| v .
Cada valoración de K define un preorden lineal correspondiente : a ≼ b ⇔ |a| v ≤ |b| v . Por el contrario, dada una " ≼ " que satisface las propiedades requeridas, podemos definir la valoración |a| v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }, con multiplicación y ordenamiento basado en K y ≼ .
En este artículo utilizamos los términos definidos anteriormente, en notación aditiva. Sin embargo, algunos autores utilizan términos alternativos:
Hay varios objetos definidos a partir de una valoración dada v : K → Γ ∪ {∞} ;
Se dice que dos valoraciones v 1 y v 2 de K con grupo de valoración Γ 1 y Γ 2 , respectivamente, son equivalentes si existe un isomorfismo de grupo φ que preserva el orden : Γ 1 → Γ 2 tal que v 2 ( a ) = φ ( v 1 ( a ) ) para todo a en K × . Esta es una relación de equivalencia .
Dos valoraciones de K son equivalentes si y sólo si tienen el mismo anillo de valoración.
Una clase de equivalencia de valoraciones de un campo se denomina lugar . El teorema de Ostrowski ofrece una clasificación completa de los lugares del campo de los números racionales ; estas son precisamente las clases de equivalencia de valoraciones para las terminaciones p -ádicas de
Sea v una valoración de K y sea L una extensión de campo de K. Una extensión de v (a L ) es una valoración w de L tal que la restricción de w a K es v . El conjunto de todas esas extensiones se estudia en la teoría de la ramificación de las valoraciones .
Sea L / K una extensión finita y sea w una extensión de v a L. El índice de Γ v en Γ w , e( w / v ) = [Γ w : Γ v ], se denomina índice de ramificación reducido de w sobre v . Satisface e( w / v ) ≤ [ L : K ] (el grado de la extensión L / K ). El grado relativo de w sobre v se define como f ( w / v ) = [ R w / m w : R v / m v ] (el grado de extensión de los campos residuales). También es menor o igual que el grado de L / K . Cuando L / K es separable , el índice de ramificación de w sobre v se define como e( w / v ) p i , donde p i es el grado inseparable de la extensión R w / m w sobre R v / m v .
Cuando el grupo abeliano ordenado Γ es el grupo aditivo de los números enteros , la valoración asociada es equivalente a un valor absoluto y, por tanto, induce una métrica en el campo K. Si K está completo con respecto a esta métrica, entonces se denomina campo valorado completo . Si K no está completo, se puede utilizar la valoración para construir su finalización , como en los ejemplos siguientes, y diferentes valoraciones pueden definir diferentes campos de finalización.
En general, una valoración induce una estructura uniforme en K , y K se denomina campo valorado completo si es completo como un espacio uniforme. Existe una propiedad relacionada conocida como completitud esférica : es equivalente a la completitud pero más fuerte en general.
El ejemplo más básico es la valoración p -ádica ν p asociada a un entero primo p , sobre los números racionales con anillo de valoración donde es la localización de en el ideal primo . El grupo de valoración son los enteros aditivos. Para un número entero, la valoración ν p ( a ) mide la divisibilidad de a por potencias de p :
y para una fracción, ν p ( a / b ) = ν p ( a ) − ν p ( b ).
Al escribir esto multiplicativamente se obtiene el valor absoluto p -ádico , que convencionalmente tiene como base , entonces .
La compleción de con respecto a ν p es el cuerpo de los números p-ádicos .
Sean K = F (x), las funciones racionales en la recta afín X = F 1 , y tomemos un punto a ∈ X. Para un polinomio con , defina v a ( f ) = k, el orden de desaparición en x = a ; y v a ( f / g ) = v a ( f ) − v a ( g ). Entonces, el anillo de valoración R consta de funciones racionales sin polo en x = a , y la finalización es el anillo formal de la serie Laurent F (( x − a )). Esto se puede generalizar al campo de la serie de Puiseux K {{ t }} (potencias fraccionarias), al campo de Levi-Civita (su terminación de Cauchy) y al campo de la serie de Hahn , y la valoración en todos los casos devuelve el exponente más pequeño de t. apareciendo en la serie.
Generalizando los ejemplos anteriores, sea R un dominio ideal principal , K su campo de fracciones y π un elemento irreducible de R. Dado que cada dominio ideal principal es un dominio de factorización único , cada elemento a distinto de cero de R puede escribirse (esencialmente) de forma única como
donde los e's son enteros no negativos y los p i son elementos irreducibles de R que no son asociados de π . En particular, el número entero e a está determinado únicamente por a .
La valoración π-ádica de K viene dada por
Si π' es otro elemento irreducible de R tal que (π') = (π) (es decir, generan el mismo ideal en R ), entonces la valoración π-ádica y la valoración π'-ádica son iguales. Por tanto, la valoración π-ádica puede denominarse valoración P -ádica, donde P = (π).
El ejemplo anterior se puede generalizar a los dominios de Dedekind . Sea R un dominio de Dedekind, K su campo de fracciones y sea P un ideal primo distinto de cero de R. Entonces, la localización de R en P , denotada como R P , es un dominio ideal principal cuyo campo de fracciones es K. La construcción de la sección anterior aplicada al ideal primo PR P de R P produce la valoración P -ádica de K .
Supongamos que Γ ∪ {0} es el conjunto de números reales no negativos bajo multiplicación. Entonces decimos que la valoración es no discreta si su rango (el grupo de valoración) es infinito (y por tanto tiene un punto de acumulación en 0).
Supongamos que X es un espacio vectorial sobre K y que A y B son subconjuntos de X. Entonces decimos que A absorbe B si existe un α ∈ K tal que λ ∈ K y |λ| ≥ |α| implica que B ⊆ λ A . A se llama radial o absorbente si A absorbe cada subconjunto finito de X. Los subconjuntos radiales de X son invariantes en intersecciones finitas. Además, A se llama encerrada en un círculo si λ en K y |λ| ≥ |α| implica λ A ⊆ A . El conjunto de subconjuntos de L encerrados en un círculo es invariante en intersecciones arbitrarias. El casco circular de A es la intersección de todos los subconjuntos circulares de X que contienen A.
Supongamos que X e Y son espacios vectoriales sobre un campo de valoración no discreto K , sea A ⊆ X , B ⊆ Y , y sea f : X → Y un mapa lineal. Si B es un círculo o es radial, entonces también lo es . Si A está rodeado por un círculo, también lo está f(A) , pero si A es radial, entonces f(A) será radial bajo la condición adicional de que f sea sobreyectiva.
