Serie Puiseux

Expansiones de Puiseux truncadas para la curva cúbica en el punto doble . Los colores más oscuros indican más términos. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ ${\displaystyle x=y=0}$

Series de potencias con exponentes racionales

En matemáticas , las series de Puiseux son una generalización de las series de potencias que permiten exponentes negativos y fraccionarios de lo indeterminado . Por ejemplo, la serie

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{-2}&+2x^{-1/2}+x^{1/3}+2x^{11/6}+x^{8/3}+x^{5}+\cdots \\&=x^{-12/6}+2x^{-3/6}+x^{2/6}+2x^{11/6}+x^{16/6}+x^{30/6}+\cdots \end{aligned}}}$

es una serie de Puiseux en la indeterminada  x . Las series de Puiseux fueron introducidas por primera vez por Isaac Newton en 1676 ^[1] y redescubiertas por Victor Puiseux en 1850. ^[2]

La definición de una serie de Puiseux incluye que los denominadores de los exponentes deben estar acotados. Por lo tanto, al reducir los exponentes a un denominador común n , una serie de Puiseux se convierte en una serie de Laurent en una raíz n ésima de la indeterminada. Por ejemplo, el ejemplo anterior es una serie de Laurent en Debido a que un número complejo tiene n raíces n ésimas, una serie de Puiseux convergente generalmente define n funciones en un entorno de 0 . ${\displaystyle x^{1/6}.}$

El teorema de Puiseux , a veces también llamado teorema de Newton-Puiseux , afirma que, dada una ecuación polinómica con coeficientes complejos, sus soluciones en y , vistas como funciones de x , pueden expandirse como series de Puiseux en x que son convergentes en algún entorno de 0 . En otras palabras, cada rama de una curva algebraica puede describirse localmente por una serie de Puiseux en x (o en x − x ₀ cuando se consideran ramas por encima de un entorno de x ₀ ≠ 0 ). ${\displaystyle P(x,y)=0}$

Utilizando la terminología moderna, el teorema de Puiseux afirma que el conjunto de series de Puiseux sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 es en sí mismo un cuerpo algebraicamente cerrado, llamado cuerpo de series de Puiseux . Es la clausura algebraica del cuerpo de series formales de Laurent , que a su vez es el cuerpo de fracciones del anillo de series formales de potencias .

Definición

Si K es un cuerpo (como los números complejos ), una serie de Puiseux con coeficientes en K es una expresión de la forma

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

donde es un entero positivo y es un entero. En otras palabras, las series de Puiseux difieren de las series de Laurent en que permiten exponentes fraccionarios de lo indeterminado, siempre que estos exponentes fraccionarios tengan denominador acotado (aquí n ). Al igual que con las series de Laurent, las series de Puiseux permiten exponentes negativos de lo indeterminado siempre que estos exponentes negativos estén acotados por debajo (aquí por ). La suma y la multiplicación son como se esperaba: por ejemplo, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )+(T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-5/4}+T^{-1}+T^{-1/2}+2+\cdots }$

y

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )\cdot (T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-9/4}+2T^{-7/4}-T^{-3/2}+T^{-11/12}+4T^{-1/2}+\cdots .}$

Se podrían definir primero "actualizando" el denominador de los exponentes a algún denominador común N y luego realizando la operación en el campo correspondiente de la serie formal de Laurent de . ${\displaystyle T^{1/N}}$

La serie de Puiseux con coeficientes en K forma un cuerpo, que es la unión

${\displaystyle \bigcup _{n>0}K(\!(T^{1/n})\!)}$

de campos de series formales de Laurent en (considerada como indeterminada). ${\displaystyle T^{1/n}}$

Esto produce una definición alternativa del cuerpo de la serie de Puiseux en términos de un límite directo . Para cada entero positivo n , sea un indeterminado (que se supone que representa ), y sea el cuerpo de la serie formal de Laurent en Si m divide a n , la aplicación induce un homomorfismo de cuerpo y estos homomorfismos forman un sistema directo que tiene el cuerpo de la serie de Puiseux como límite directo. El hecho de que cada homomorfismo de cuerpo sea inyectivo muestra que este límite directo se puede identificar con la unión anterior, y que las dos definiciones son equivalentes ( hasta un isomorfismo). ${\displaystyle T_{n}}$ ${\textstyle T^{1/n}}$ ${\displaystyle K(\!(T_{n})\!)}$ ${\displaystyle T_{n}.}$ ${\displaystyle T_{m}\mapsto (T_{n})^{n/m}}$ ${\displaystyle K(\!(T_{m})\!)\to K(\!(T_{n})\!),}$

Valuación

Una serie de Puiseux distinta de cero se puede escribir de forma única como ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

Con la valoración ${\displaystyle c_{k_{0}}\neq 0.}$

${\displaystyle v(f)={\frac {k_{0}}{n}}}$

de es el exponente más pequeño para el orden natural de los números racionales, y el coeficiente correspondiente se llama coeficiente inicial o coeficiente de valoración de  . La valoración de la serie cero es ${\displaystyle f}$ ${\textstyle c_{k_{0}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle +\infty .}$

La función v es una valoración y hace de la serie de Puiseux un cuerpo valorado , con el grupo aditivo de los números racionales como su grupo de valoración . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Como para todos los campos valorados, la valoración define una distancia ultramétrica por la fórmula Para esta distancia, el campo de la serie de Puiseux es un espacio métrico . La notación ${\displaystyle d(f,g)=\exp(-v(f-g)).}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

expresa que un Puiseux es el límite de sus sumas parciales. Sin embargo, el cuerpo de la serie de Puiseux no es completo ; véase más abajo el § Cuerpo de Levi–Civita.

Serie convergente de Puiseux

Las series de Puiseux proporcionadas por el teorema de Newton-Puiseux son convergentes en el sentido de que hay un entorno de cero en el que son convergentes (0 excluido si la valoración es negativa). Más precisamente, sea

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

Sea una serie de Puiseux con coeficientes complejos . Existe un número real r , llamado radio de convergencia , tal que la serie converge si T se sustituye por un número complejo t distinto de cero de valor absoluto menor que r , y r es el número más grande con esta propiedad. Una serie de Puiseux es convergente si tiene un radio de convergencia distinto de cero.

Como un número complejo distinto de cero tiene n raíces n -ésimas , se debe tener cuidado con la sustitución: se debe elegir una raíz n -ésima específica de t , digamos x . Luego, la sustitución consiste en reemplazar por para cada k . ${\displaystyle T^{k/n}}$ ${\displaystyle x^{k}}$

La existencia del radio de convergencia resulta de la existencia similar para una serie de potencias , aplicada a considerada como una serie de potencias en ${\textstyle T^{-k_{0}/n}f,}$ ${\displaystyle T^{1/n}.}$

Una parte del teorema de Newton-Puiseux es que las series de Puiseux proporcionadas tienen un radio de convergencia positivo y, por lo tanto, definen una función analítica ( multivaluada ) en algún vecindario del cero (posiblemente excluido el propio cero).

Valoración y ordenación sobre coeficientes

Si el cuerpo base está ordenado , entonces el cuerpo de la serie de Puiseux sobre también está ordenado naturalmente (“ lexicográficamente ”) de la siguiente manera: una serie de Puiseux distinta de cero con 0 se declara positiva siempre que su coeficiente de valoración lo sea. Esencialmente, esto significa que cualquier potencia racional positiva de lo indeterminado se hace positiva, pero menor que cualquier elemento positivo en el cuerpo base . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Si el campo base está dotado de una valoración , entonces podemos construir una valoración diferente en el campo de la serie de Puiseux sobre dejando que la valoración sea donde es la valoración previamente definida ( es el primer coeficiente distinto de cero) y es infinitamente grande (en otras palabras, el grupo de valores de está ordenado lexicográficamente, donde es el grupo de valores de ). Esencialmente, esto significa que la valoración previamente definida se corrige por una cantidad infinitesimal para tener en cuenta la valoración dada en el campo base. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {w}}(f)}$ ${\displaystyle \omega \cdot v+w(c_{k}),}$ ${\displaystyle v=k/n}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\hat {w}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \times \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Teorema de Newton-Puiseux

Ya en 1671, ^[3] Isaac Newton utilizó implícitamente la serie de Puiseux y demostró el siguiente teorema para aproximar con series las raíces de ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son funciones que se aproximan a su vez con series o polinomios . Para este propósito, introdujo el polígono de Newton , que sigue siendo una herramienta fundamental en este contexto. Newton trabajó con series truncadas, y recién en 1850 Victor Puiseux ^[2] introdujo el concepto de serie de Puiseux (no truncada) y demostró el teorema que ahora se conoce como teorema de Puiseux o teorema de Newton-Puiseux . ^[4] El teorema afirma que, dada una ecuación algebraica cuyos coeficientes son polinomios o, más generalmente, series de Puiseux sobre un cuerpo de característica cero , cada solución de la ecuación puede expresarse como una serie de Puiseux. Además, la prueba proporciona un algoritmo para calcular estas series de Puiseux y, al trabajar con los números complejos , las series resultantes son convergentes.

En terminología moderna, el teorema puede reformularse así: el campo de la serie de Puiseux sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, y el campo de la serie de Puiseux convergente sobre los números complejos, son ambos algebraicamente cerrados .

Polígono de Newton

Dejar

${\displaystyle P(y)=\sum _{a_{i}\neq 0}a_{i}(x)y^{i}}$

sea ​​un polinomio cuyos coeficientes distintos de cero sean polinomios, series de potencias o incluso series de Puiseux en x . En esta sección, la valoración de es el exponente más bajo de x en (La mayor parte de lo que sigue se aplica de manera más general a los coeficientes en cualquier anillo valorado ). ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle v(a_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}.}$

Para calcular las series de Puiseux que son raíces de P (es decir, soluciones de la ecuación funcional ), lo primero que hay que hacer es calcular el valor de las raíces. Esta es la función del polígono de Newton. ${\displaystyle P(y)=0}$

Consideremos, en un plano cartesiano , los puntos de coordenadas El polígono de Newton de P es la envoltura convexa inferior de estos puntos. Es decir, las aristas del polígono de Newton son los segmentos de recta que unen dos de estos puntos, de modo que todos estos puntos no estén por debajo de la recta que soporta el segmento (por debajo es, como es habitual, relativo al valor de la segunda coordenada). ${\displaystyle (i,v(a_{i})).}$

Dada una serie de Puiseux de valoración , la valoración de es al menos el mínimo de los números y es igual a este mínimo si este mínimo se alcanza para un solo i . Por lo tanto, para ser una raíz de P , el mínimo debe alcanzarse al menos dos veces. Es decir, deben existir dos valores y de i tales que y para cada i . ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle P(y_{0})}$ ${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i}),}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})=i_{2}v_{0}+v(a_{i_{2}}),}$ ${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i})\geq i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})}$

Es decir, y debe pertenecer a una arista del polígono de Newton, y debe ser el opuesto de la pendiente de esta arista. Este es un número racional ya que todas las valoraciones son números racionales, y esta es la razón para introducir exponentes racionales en las series de Puiseux. ${\displaystyle (i_{1},v(a_{i_{1}}))}$ ${\displaystyle (i_{2},v(a_{i_{2}}))}$ $${\displaystyle v_{0}=-{\frac {v(a_{i_{1}})-v(a_{i_{2}})}{i_{1}-i_{2}}}}$$ ${\displaystyle v(a_{i})}$

En resumen, la valoración de una raíz de P debe ser la opuesta de la pendiente de una arista del polinomio de Newton.

El coeficiente inicial de una solución en serie de Puiseux de se puede deducir fácilmente. Sea el coeficiente inicial de es decir, el coeficiente de en Sea una pendiente del polígono de Newton, y sea el término inicial de una solución en serie de Puiseux correspondiente de Si no se produjera ninguna cancelación, entonces el coeficiente inicial de sería donde I es el conjunto de los índices i tales que pertenece al borde de la pendiente del polígono de Newton. Por lo tanto, para tener una raíz, el coeficiente inicial debe ser una raíz distinta de cero del polinomio (esta notación se utilizará en la siguiente sección). ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}(x),}$ ${\displaystyle x^{v(a_{i})}}$ ${\displaystyle a_{i}(x).}$ ${\displaystyle -v_{0}}$ ${\displaystyle \gamma x_{0}^{v_{0}}}$ ${\displaystyle P(y)=0.}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}c_{i}\gamma ^{i},}$ ${\displaystyle (i,v(a_{i}))}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \chi (x)=\sum _{i\in I}c_{i}x^{i}}$$

En resumen, el polinomio de Newton permite un cálculo fácil de todos los términos iniciales posibles de la serie de Puiseux que son soluciones de ${\displaystyle P(y)=0.}$

La demostración del teorema de Newton-Puiseux consistirá en partir de estos términos iniciales para calcular recursivamente los siguientes términos de las soluciones de la serie de Puiseux.

Prueba constructiva

Supongamos que el primer término de una solución de la serie de Puiseux de se ha calculado mediante el método de la sección anterior. Queda por calcular Para ello, fijamos y escribimos la expansión de Taylor de P en ${\displaystyle \gamma x^{v_{0}}}$ ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle z=y-\gamma x^{v_{0}}.}$ ${\displaystyle y_{0}=\gamma x^{v_{0}},}$ ${\displaystyle z=y-y_{0}:}$

${\displaystyle Q(z)=P(y_{0}+z)=P(y_{0})+zP'(y_{0})+\cdots +z^{j}{\frac {P^{(j)}(y_{0})}{j!}}+\cdots }$

Este es un polinomio en z cuyos coeficientes son series de Puiseux en x . Se le puede aplicar el método del polígono de Newton e iterar para obtener los términos de la serie de Puiseux, uno tras otro. Pero se requiere cierto cuidado para asegurar y demostrar que se obtiene una serie de Puiseux, es decir, que los denominadores de los exponentes de x permanecen acotados. ${\displaystyle v(z)>v_{0},}$

La derivación con respecto a y no cambia la valoración en x de los coeficientes; es decir,

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0}),}$

y la igualdad ocurre si y sólo si donde es el polinomio de la sección precedente. Si m es la multiplicidad de como raíz de resulta que la desigualdad es una igualdad para Los términos tales que pueden olvidarse en lo que respecta a las valoraciones, ya que y implican ${\displaystyle \chi ^{(j)}(\gamma )\neq 0,}$ ${\displaystyle \chi (x)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \chi ,}$ ${\displaystyle j=m.}$ ${\displaystyle j>m}$ ${\displaystyle v(z)>v_{0}}$ ${\displaystyle j>m}$

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0})>v\left(P^{(m)}(y_{0})z^{m}\right).}$

Esto significa que, para iterar el método del polígono de Newton, se puede y se debe considerar sólo la parte del polígono de Newton cuyas primeras coordenadas pertenecen al intervalo Dos casos deben considerarse por separado y serán objeto de las siguientes subsecciones, el llamado caso ramificado , donde m > 1 , y el caso regular donde m = 1 . ${\displaystyle [0,m].}$

Caso ramificado

La forma de aplicar recursivamente el método del polígono de Newton se ha descrito anteriormente. Como cada aplicación del método puede aumentar, en el caso ramificado, los denominadores de los exponentes (valoraciones), queda por demostrar que se llega al caso regular después de un número finito de iteraciones (de lo contrario, los denominadores de los exponentes de la serie resultante no estarían acotados, y esta serie no sería una serie de Puiseux). De paso, también se demostrará que se obtienen exactamente tantas soluciones de serie de Puiseux como se esperaba, es decir, el grado de en y . ${\displaystyle P(y)}$

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que es decir, de hecho, cada factor y de proporciona una solución que es la serie de Puiseux cero, y tales factores pueden factorizarse. ${\displaystyle P(0)\neq 0,}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ ${\displaystyle P(y)}$

Como se supone que la característica es cero, también se puede suponer que es un polinomio sin cuadrados , es decir, que las soluciones de son todas diferentes. De hecho, la factorización sin cuadrados utiliza solo las operaciones del cuerpo de coeficientes para factorizar en factores sin cuadrados que se pueden resolver por separado. (La hipótesis de característica cero es necesaria, ya que, en la característica p , la descomposición sin cuadrados puede proporcionar factores irreducibles, como los que tienen raíces múltiples sobre una extensión algebraica). ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle y^{p}-x,}$

En este contexto, se define la longitud de una arista de un polígono de Newton como la diferencia de las abscisas de sus puntos extremos. La longitud de un polígono es la suma de las longitudes de sus aristas. Con la hipótesis de que la longitud del polígono de Newton de P es su grado en y , es decir, el número de sus raíces. La longitud de una arista del polígono de Newton es el número de raíces de una valuación dada. Este número es igual al grado del polinomio previamente definido. ${\displaystyle P(0)\neq 0,}$ ${\displaystyle \chi (x).}$

El caso ramificado corresponde entonces a dos (o más) soluciones que tienen el mismo término inicial. Como estas soluciones deben ser distintas (hipótesis de ausencia de cuadrados), deben distinguirse después de un número finito de iteraciones. Es decir, se obtiene finalmente un polinomio que no tiene cuadrados y el cálculo puede continuar como en el caso regular para cada raíz de ${\displaystyle \chi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x).}$

Como la iteración del caso regular no aumenta los denominadores de los exponentes, esto demuestra que el método proporciona todas las soluciones como series de Puiseux, es decir, que el campo de series de Puiseux sobre los números complejos es un campo algebraicamente cerrado que contiene el anillo polinomial univariado con coeficientes complejos.

Fallo en característica positiva

El teorema de Newton-Puiseux no es válido para cuerpos de característica positiva. Por ejemplo, la ecuación tiene soluciones ${\displaystyle X^{2}-X=T^{-1}}$

${\displaystyle X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

y

${\displaystyle X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

(se comprueba fácilmente en los primeros términos que la suma y el producto de estas dos series son 1 y 1 respectivamente; esto es válido siempre que el campo base K tenga característica diferente de 2). ${\displaystyle -T^{-1}}$

Como las potencias de 2 en los denominadores de los coeficientes del ejemplo anterior podrían hacernos creer, el enunciado del teorema no es cierto en característica positiva. El ejemplo de la ecuación de Artin-Schreier lo demuestra: razonando con valoraciones se ve que X debería tener valoración , y si lo reescribimos como entonces ${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{p}}}$ ${\displaystyle X=T^{-1/p}+X_{1}}$

${\displaystyle X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}}$

y se demuestra de manera similar que debe tener valoración , y procediendo de esa manera se obtiene la serie ${\displaystyle X_{1}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$

${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots ;}$

Como esta serie no tiene sentido como serie de Puiseux (porque los exponentes tienen denominadores ilimitados), la ecuación original no tiene solución. Sin embargo, estas ecuaciones de Eisenstein son esencialmente las únicas que no tienen solución, porque, si es algebraicamente cerrada de característica , entonces el cuerpo de la serie de Puiseux sobre es la clausura perfecta de la extensión máxima dócilmente ramificada de . ^[4] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(\!(T)\!)}$

De manera similar al caso del cierre algebraico, existe un teorema análogo para el cierre real : si es un cuerpo real cerrado, entonces el cuerpo de la serie de Puiseux sobre es el cierre real del cuerpo de la serie formal de Laurent sobre . ^[5] (Esto implica el teorema anterior ya que cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero es la única extensión cuadrática de algún cuerpo real cerrado). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

También hay un resultado análogo para el cierre p-ádico : si es un campo -ádicamente cerrado con respecto a una valoración , entonces el campo de la serie de Puiseux sobre también es -ádicamente cerrado. ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$

Expansión de Puiseux de curvas y funciones algebraicas

Curvas algebraicas

Sea una curva algebraica ^[7] dada por una ecuación afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, y consideremos un punto en el que podemos suponer que es . También suponemos que no es el eje de coordenadas . Entonces una expansión de Puiseux de (la coordenada de) en es una serie de Puiseux que tiene valoración positiva tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$

Más precisamente, definamos las ramas de at como los puntos de la normalización de cuyo mapa a . Para cada uno de estos , hay una coordenada local de at (que es un punto suave) tal que las coordenadas y pueden expresarse como series de potencias formales de , digamos (ya que es algebraicamente cerrado, podemos suponer que el coeficiente de valoración es 1) y : entonces hay una serie de Puiseux única de la forma (una serie de potencias en ), tal que (la última expresión es significativa ya que es una serie de potencias bien definida en ). Esta es una expansión de Puiseux de at que se dice que está asociada a la rama dada por (o simplemente, la expansión de Puiseux de esa rama de ), y cada expansión de Puiseux de at se da de esta manera para una rama única de at . ^{[8] [9]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=t^{n}+\cdots }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle y=ct^{k}+\cdots }$ ${\displaystyle f=cT^{k/n}+\cdots }$ ${\displaystyle T^{1/n}}$ ${\displaystyle y(t)=f(x(t))}$ ${\displaystyle x(t)^{1/n}=t+\cdots }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$

Esta existencia de una parametrización formal de las ramas de una curva o función algebraica también se conoce como teorema de Puiseux : podría decirse que tiene el mismo contenido matemático que el hecho de que el campo de la serie de Puiseux está algebraicamente cerrado y es una descripción históricamente más precisa de la declaración del autor original. ^[10]

Por ejemplo, la curva (cuya normalización es una línea con coordenadas y función ) tiene dos ramas en el punto doble (0,0), correspondientes a los puntos y en la normalización, cuyos desarrollos de Puiseux son y respectivamente (aquí, ambas son series de potencias porque la coordenada es étale en los puntos correspondientes en la normalización). En el punto suave (que está en la normalización), tiene una sola rama, dada por el desarrollo de Puiseux (la coordenada se ramifica en este punto, por lo que no es una serie de potencias). ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$ ${\displaystyle t=+1}$ ${\displaystyle t=-1}$ ${\textstyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ ${\textstyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}}$ ${\displaystyle x}$

La curva (cuya normalización es nuevamente una línea con coordenadas y mapa ), por otra parte, tiene una sola rama en el punto cúspide , cuya expansión de Puiseux es . ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto (t^{2},t^{3})}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=x^{3/2}}$

Convergencia analítica

Cuando es el campo de números complejos, la expansión de Puiseux de una curva algebraica (como se definió anteriormente) es convergente en el sentido de que para una elección dada de la raíz -ésima de , convergen para suficientemente pequeño , por lo tanto, definen una parametrización analítica de cada rama de en la vecindad de (más precisamente, la parametrización es por la raíz -ésima de ). ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Generalizaciones

Campo Levi-Civita

El cuerpo de la serie de Puiseux no es completo como un espacio métrico . Su completitud, llamada cuerpo de Levi-Civita , puede describirse como sigue: es el cuerpo de expresiones formales de la forma donde el soporte de los coeficientes (esto es, el conjunto de e tal que ) es el rango de una secuencia creciente de números racionales que es finita o tiende a . En otras palabras, tales series admiten exponentes de denominadores no acotados, siempre que haya un número finito de términos de exponente menor que para cualquier límite dado . Por ejemplo, no es una serie de Puiseux, pero es el límite de una secuencia de Cauchy de series de Puiseux; en particular, es el límite de como . Sin embargo, incluso esta completitud todavía no es "máximamente completa" en el sentido de que admite extensiones no triviales que son cuerpos valuados que tienen el mismo grupo de valores y cuerpo de residuos, ^{[11] [12]} de ahí la oportunidad de completarla aún más. ${\textstyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$ ${\displaystyle c_{e}\neq 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ ${\displaystyle N\to +\infty }$

Serie Hahn

Las series de Hahn son una generalización adicional (más amplia) de las series de Puiseux, introducidas por Hans Hahn en el curso de la prueba de su teorema de incrustación en 1907 y luego estudiadas por él en su aproximación al decimoséptimo problema de Hilbert . En una serie de Hahn, en lugar de requerir que los exponentes tengan denominador acotado, se requiere que formen un subconjunto bien ordenado del grupo de valores (generalmente o ). Estas fueron generalizadas posteriormente por Anatoly Maltsev y Bernhard Neumann a un entorno no conmutativo (por lo tanto, a veces se las conoce como series de Hahn-Mal'cev-Neumann ). Usando las series de Hahn, es posible dar una descripción del cierre algebraico del campo de series de potencias en característica positiva que es algo análogo al campo de las series de Puiseux. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Notas

1. Newton (1960)
2. Puiseux (1850, 1851)
3. Newton (1736)
4. Véase también Kedlaya (2001), introducción.
5. Basu &al (2006), capítulo 2 ("Campos cerrados reales"), teorema 2.91 (p. 75)
6. Cherlin (1976), capítulo 2 ("El principio de transferencia de Ax-Kochen-Ershof"), §7 ("Campos de la serie de Puiseux")
7. Suponemos que es irreducible o, al menos, que es reducido y que no contiene el eje de coordenadas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$
8. Shafarevich (1994), II.5, págs. 133-135
9. Cutkosky (2004), capítulo 2, págs. 3-11
10. Puiseux (1850), pág. 397
11. Poonen, Bjorn (1993). "Campos máximamente completos". Enseign. Math . 39 : 87–106.
12. Kaplansky, Irving (1942). "Campos máximos con valoraciones". Duke Math. J. 9 ( 2): 303–321. doi :10.1215/s0012-7094-42-00922-0.
13. Kedlaya (2001)

Véase también

• Serie Laurent
• Serie Madhava
• Interpolación de diferencias divididas de Newton
• Padé aproximado

Referencias

• Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2006). Algoritmos en geometría algebraica real. Algoritmos y cálculos en matemáticas 10 (2.ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/3-540-33099-2. ISBN 978-3-540-33098-1.
• Cherlin, Greg (1976). Álgebra teórica de modelos: temas seleccionados . Apuntes de clase de matemáticas 521. Vol. 521. Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0079565. ISBN. 978-3-540-07696-4.
• Cutkosky, Steven Dale (2004). Resolución de singularidades . Estudios de posgrado en matemáticas 63. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3555-6.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas 150. Springer-Verlag . ISBN 3-540-94269-6.
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001). "El cierre algebraico del campo de series de potencias en característica positiva". Proc. Amer. Math. Soc . 129 (12): 3461–3470. doi : 10.1090/S0002-9939-01-06001-4 .
• Newton, Isaac (1736) [1671]. El método de fluxiones y series infinitas; con su aplicación a la geometría de líneas curvas. Traducido por Colson, John . Londres: Henry Woodfall. pág. 378.(Traducido del latín)
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• Shafarevich, Igor Rostislavovich (1994). Geometría algebraica básica (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54812-2.
• Walker, RJ (1978). Curvas algebraicas (PDF) (edición reimpresa). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90361-5.Libro en línea

Enlaces externos

• "Punto de ramificación". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Serie Puiseux en MathWorld
• Teorema de Puiseux en MathWorld
• Serie Puiseux en PlanetMath