campo p-ádicamente cerrado

Tipo de campo en matemáticas

En matemáticas , un cuerpo p -ádicamente cerrado es un cuerpo que disfruta de una propiedad de clausura que es análoga para los cuerpos p -ádicos a lo que la clausura real es para el cuerpo real . Fueron introducidos por James Ax y Simon B. Kochen en 1965. ^[1]

Definición

Sea el cuerpo de los números racionales y su valoración -ádica usual (con ). Si es un cuerpo de extensión (no necesariamente algebraico) de , equipado a su vez con una valoración , decimos que es formalmente p -ádico cuando se satisfacen las siguientes condiciones: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v(p)=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (F,w)}$

• ${\displaystyle w}$se extiende (es decir, para todos ), ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w(x)=v(x)}$ ${\displaystyle x\in K}$
• el campo de residuos de coincide con el campo de residuos de (siendo el campo de residuos el cociente del anillo de valoración por su ideal máximo ), ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{x\in F:w(x)\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{x\in F:w(x)>0\}}$
• el valor positivo más pequeño de coincide con el valor positivo más pequeño de (es decir, 1, ya que se asumió que v estaba normalizado): en otras palabras, un uniformizador para sigue siendo un uniformizador para . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$

(Tenga en cuenta que el grupo de valores de K puede ser mayor que el de F, ya que puede contener elementos infinitamente grandes además de este último).

Los campos formalmente p -ádicos pueden verse como un análogo de los campos formalmente reales.

Por ejemplo, el campo (i) de racionales gaussianos , si está equipado con la valoración w dada por (y ) es formalmente 5-ádico (el lugar v = 5 de los racionales se divide en dos lugares de los racionales gaussianos ya que se factoriza sobre el campo de residuos con 5 elementos, y w es uno de estos lugares). El campo de números 5-ádicos (que contiene tanto los racionales como los racionales gaussianos incrustados según el lugar w ) también es formalmente 5-ádico. Por otro lado, el campo de racionales gaussianos no es formalmente 3-ádico para ninguna valoración, porque la única valoración w en él que extiende la valoración 3-ádica está dada por y su campo de residuos tiene 9 elementos. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle w(2+i)=1}$ ${\displaystyle w(2-i)=0}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle w(3)=1}$

Cuando F es formalmente p -ádico pero no existe ninguna extensión formalmente p -ádica algebraica propia de F , entonces se dice que F es p -ádicamente cerrado . Por ejemplo, el cuerpo de números p -ádicos es p -ádicamente cerrado, y también lo es la clausura algebraica de los racionales dentro de él (el cuerpo de números algebraicos p -ádicos).

Si F es p -ádicamente cerrado, entonces: ^[2]

• hay una valoración única w en F que hace que F sea p -ádicamente cerrado (por lo que es legítimo decir que F , en lugar del par , es p -ádicamente cerrado), ${\displaystyle (F,w)}$
• F es henseliano con respecto a este lugar (es decir, su anillo de valoración es así),
• El anillo de valoración de F es exactamente la imagen del operador de Kochen (ver más abajo),
• El grupo de valores de F es una extensión de (el grupo de valores de K ) de un grupo divisible, con el orden lexicográfico . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La primera afirmación es análoga al hecho de que el orden de un campo real cerrado está determinado únicamente por la estructura algebraica.

Las definiciones dadas anteriormente se pueden copiar a un contexto más general: si K es un campo equipado con una valoración v tal que

• el campo de residuos de K es finito (llamemos q su cardinal y p su característica),
• el grupo de valores de v admite un elemento positivo más pequeño (llamémoslo 1, y digamos que π es un uniformizador, es decir ), ${\displaystyle v(\pi )=1}$
• K tiene una ramificación absoluta finita, es decir, es finito (es decir, un múltiplo finito de ), ${\displaystyle v(p)}$ ${\displaystyle v(\pi )=1}$

(estas hipótesis se satisfacen para el cuerpo de los racionales, siendo q =π= p el número primo de valoración 1) entonces podemos hablar de cuerpos formalmente v -ádicos (o -ádicos si es el ideal correspondiente a v ) y cuerpos v -ádicamente completos. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

El operador de Kochen

Si K es un cuerpo dotado de una valoración v que satisface la hipótesis y con las notaciones introducidas en el párrafo anterior, defina el operador de Kochen mediante:

${\displaystyle \gamma (z)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {z^{q}-z}{(z^{q}-z)^{2}-1}}}$

(cuando ). Es fácil comprobar que siempre tiene valoración no negativa. El operador de Kochen puede considerarse como un análogo p -ádico (o v -ádico) de la función cuadrada en el caso real. ${\displaystyle z^{q}-z\neq \pm 1}$ ${\displaystyle \gamma (z)}$

Un cuerpo de extensión F de K es formalmente v -ádico si y solo si no pertenece al subanillo generado sobre el anillo de valores de K por la imagen del operador de Kochen en F . Esto es un análogo de la afirmación (o definición) de que un cuerpo es formalmente real cuando no es una suma de cuadrados. ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}$ ${\displaystyle -1}$

Teoría de primer orden

La teoría de primer orden de los cuerpos p -ádicamente cerrados (aquí nos limitamos al caso p -ádico, es decir, K es el cuerpo de los racionales y v es la valoración p -ádica) es completa y modelo-completa , y si enriquecemos ligeramente el lenguaje admite la eliminación de cuantificadores . Así, se pueden definir cuerpos p -ádicamente cerrados como aquellos cuya teoría de primer orden es elementalmente equivalente a la de . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Notas

1. Hacha y Cocinero (1965)
2. Jarden y Roquette (1980), lema 4.1

Referencias

• Ax, James; Kochen, Simon (1965). "Problemas diofánticos sobre cuerpos locales. II. Un conjunto completo de axiomas para la teoría de números 𝑝-ádicos". Amer. J. Math . 87 (3). The Johns Hopkins University Press: 631–648. doi :10.2307/2373066. JSTOR  2373066.
• Kochen, Simon (1969). "Funciones racionales con valores enteros sobre los números 𝑝-ádicos: un análogo 𝑝-ádico de la teoría de cuerpos reales". Teoría de números (Proc. Sympos. Pure Math., vol. XII, Houston, Texas, 1967) . American Mathematical Society. págs. 57–73.
• Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "campo p-ádicamente cerrado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , consultado el 3 de febrero de 2009
• Jarden, Moshé; Roqueta, Peter (1980). "El Nullstellensatz sobre campos 𝔭-adicamente cerrados". J. Matemáticas. Soc. Japón . 32 (3): 425–460. doi : 10.2969/jmsj/03230425 .