Campo ordenado

Objeto algebraico con estructura ordenada.

En matemáticas , un campo ordenado es un campo junto con un ordenamiento total de sus elementos que es compatible con las operaciones de campo. Ejemplos básicos de campos ordenados son los números racionales y los números reales , ambos con su ordenamiento estándar.

Cada subcampo de un campo ordenado también es un campo ordenado en el orden heredado. Cada campo ordenado contiene un subcampo ordenado que es isomorfo a los números racionales . Todo campo ordenado completo de Dedekind es isomorfo a los reales. Los cuadrados son necesariamente no negativos en un campo ordenado. Esto implica que los números complejos no se pueden ordenar ya que el cuadrado de la unidad imaginaria i es −1 (que es negativo en cualquier campo ordenado). No se pueden ordenar campos finitos .

Históricamente, la axiomatización de un campo ordenado fue abstraída gradualmente de los números reales por matemáticos como David Hilbert , Otto Hölder y Hans Hahn . Esto eventualmente se convirtió en la teoría de Artin-Schreier de campos ordenados y campos formalmente reales .

Definiciones

Hay dos definiciones comunes equivalentes de un campo ordenado. La definición de orden total apareció por primera vez históricamente y es una axiomatización de primer orden del ordenamiento como predicado binario . Artin y Schreier dieron la definición en términos de cono positivo en 1926, que axiomatiza la subcolección de elementos no negativos. Aunque este último es de orden superior, ver los conos positivos como conos prepositivos máximos proporciona un contexto más amplio en el que los ordenamientos de campos son ordenamientos parciales extremos . ${\displaystyle \leq }$

Orden total

Un campo junto con un pedido total es un ${\displaystyle (F,+,\cdot \,)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle F}$campo ordenado si el pedido satisface las siguientes propiedades para todos ${\displaystyle a,b,c\in F:}$

• si entonces y ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c,}$
• si y entonces ${\displaystyle 0\leq a}$ ${\displaystyle 0\leq b}$ ${\displaystyle 0\leq a\cdot b.}$

Como de costumbre, escribimos para y . Las notaciones y representan y , respectivamente. Los elementos con se llaman positivos. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle b>a}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle a>0}$

Cono positivo

AEl cono prepositivo opreordenamientode un campoes unsubconjuntoque tiene las siguientes propiedades:^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P\subseteq F}$

• Para y en ambos y están en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x\cdot y}$ ${\displaystyle P.}$
• Si entonces en particular, y ${\displaystyle x\in F,}$ ${\displaystyle x^{2}\in P.}$ ${\displaystyle 0=0^{2}\in P}$ ${\displaystyle 1=1^{2}\in P.}$
• El elemento no está en ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle P.}$

Acampo preordenado es un campo equipado con un preordenado. Sus elementos distintos de ceroforman unsubgrupodel grupo multiplicativo de ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle P^{*}}$ ${\displaystyle F.}$

Si además el conjunto es la unión de y llamamos cono positivo de Los elementos distintos de cero de se llaman elementos positivos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$

Un campo ordenado es un campo junto con un cono positivo. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P.}$

Los preordenamientos en son precisamente las intersecciones de familias de conos positivos en Los conos positivos son los preordenamientos máximos. ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Equivalencia de las dos definiciones

Sea un campo. Hay una biyección entre los ordenamientos de campo de y los conos positivos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Dado un ordenamiento de campo ≤ como en la primera definición, el conjunto de elementos que forma un cono positivo de Por el contrario, dado un cono positivo de como en la segunda definición, se puede asociar un ordenamiento total estableciendo la media Este ordenamiento total satisface las propiedades de la primera definición. ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\leq _{P}y}$ ${\displaystyle y-x\in P.}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$

Ejemplos de campos ordenados

Ejemplos de campos ordenados son:

• el campo de los números racionales con su ordenamiento estándar (que es también su único ordenamiento); ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• el campo de los números reales con su ordenamiento estándar (que es también su único ordenamiento); ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subcampo de un campo ordenado, como los números algebraicos reales o los números computables , se convierte en un campo ordenado restringiendo el ordenamiento al subcampo;
• el campo de funciones racionales , donde y son polinomios con coeficientes racionales y , puede convertirse en un campo ordenado fijando un número trascendental real y definiendo si y sólo si . Esto equivale a incrustar en via y restringir el orden de a un orden de la imagen de . De esta manera, obtenemos muchos pedidos diferentes de . ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$
• el campo de funciones racionales , donde y son polinomios con coeficientes reales y , se puede convertir en un campo ordenado definiéndolo como que , donde y son los coeficientes principales de y , respectivamente. De manera equivalente: para funciones racionales tenemos si y solo si para todos suficientemente grande . En este campo ordenado el polinomio es mayor que cualquier polinomio constante y el campo ordenado no es de Arquímedes . ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$ ${\displaystyle p_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle q_{m}\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$ ${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$ ${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle f(x)<g(x)}$ ${\displaystyle f(t)<g(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x)=x}$
• El campo de la serie formal de Laurent con coeficientes reales, donde x se considera infinitesimal y positiva ${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$
• la transserie
• campos cerrados reales
• los números superreales
• los números hiperreales

Los números surrealistas forman una clase propia en lugar de un conjunto , pero por lo demás obedecen a los axiomas de un campo ordenado. Cada campo ordenado se puede incrustar en los números surrealistas.

Propiedades de campos ordenados

La propiedad ${\displaystyle a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay}$

La propiedad ${\displaystyle x<y\Rightarrow a+x<a+y}$

Para cada a , b , c , d en F :

• Ya sea − a ≤ 0 ≤ a o a ≤ 0 ≤ − a .
• Se pueden "agregar desigualdades": si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b + d .
• Se pueden "multiplicar desigualdades con elementos positivos": si a ≤ b y 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc .
• "Multiplicar con negativos invierte una desigualdad": si a ≤ byc ≤ 0, entonces ac ≥ bc .
• Si a < b y a , b > 0, entonces 1/ b < 1/ a .
• Los cuadrados no son negativos: 0 ≤ a ² para todo a en F . En particular, dado que 1=1 ² , se deduce que 0 ≤ 1. Dado que 0 ≠ 1, concluimos que 0 < 1.
• Un campo ordenado tiene la característica 0. (Dado que 1 > 0, entonces 1 + 1 > 0, y 1 + 1 + 1 > 0, etc., y ninguna suma finita de unos puede ser igual a cero). En particular, los campos finitos no pueden ser ordenado.
• Toda suma de cuadrados no trivial es distinta de cero. Equivalentemente: ^{[2] [3]} ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$

Cada subcampo de un campo ordenado es también un campo ordenado (heredando el orden inducido). El subcampo más pequeño es isomorfo a los racionales (como para cualquier otro campo de característica 0), y el orden en este subcampo racional es el mismo que el orden de los racionales mismos.

Si cada elemento de un campo ordenado se encuentra entre dos elementos de su subcampo racional, entonces se dice que el campo es de Arquímedes . De lo contrario, dicho campo es un campo ordenado no de Arquímedes y contiene infinitesimales . Por ejemplo, los números reales forman un campo de Arquímedes, pero los números hiperreales forman un campo no de Arquímedes, porque extiende los números reales con elementos mayores que cualquier número natural estándar . ^[4]

Un campo ordenado F es isomorfo al campo de números reales R si y sólo si cada subconjunto no vacío de F con un límite superior en F tiene un límite superior mínimo en  F. Esta propiedad implica que el campo es de Arquímedes.

Espacios vectoriales sobre un campo ordenado

Los espacios vectoriales (particularmente, n -espacios ) sobre un campo ordenado exhiben algunas propiedades especiales y tienen algunas estructuras específicas, a saber: orientación , convexidad y producto interno definido positivamente . Consulte Espacio de coordenadas reales#Propiedades y usos geométricos para analizar aquellas propiedades de R ⁿ , que se pueden generalizar a espacios vectoriales sobre otros campos ordenados.

Ordenabilidad de los campos

Todo campo ordenado es un campo formalmente real , es decir, 0 no se puede escribir como una suma de cuadrados distintos de cero. ^{[2] [3]}

Por el contrario, todo campo formalmente real puede equiparse con un orden total compatible, que lo convertirá en un campo ordenado. (No es necesario determinar este orden de forma única). La prueba utiliza el lema de Zorn . ^[5]

Los campos finitos y, más generalmente, los campos de características positivas no se pueden convertir en campos ordenados, como se muestra arriba. Los números complejos tampoco se pueden convertir en un campo ordenado, ya que −1 es un cuadrado de la unidad imaginaria i . Además, los números p -ádicos no se pueden ordenar, ya que según el lema de Hensel Q ₂ contiene una raíz cuadrada de −7, por lo tanto 1 ²  + 1 ²  + 1 ²  + 2 ²  +  √ −7 ) ²  = 0, y Q _p ( p  > 2) contiene una raíz cuadrada de 1 −  p , por lo tanto ( p  − 1)⋅1 ²  + ( √ 1 −  p ) ²  = 0. ^[6]

Topología inducida por el orden.

Si F está equipado con la topología de orden que surge del orden total ≤, entonces los axiomas garantizan que las operaciones + y × son continuas , de modo que F es un campo topológico .

Topología de Harrison

La topología de Harrison es una topología del conjunto de ordenamientos X _F de un campo formalmente real F . Cada orden puede considerarse como un homomorfismo de grupo multiplicativo de F ^∗ a ±1. Dando ±1 la topología discreta y ±1 F ^la topología del producto induce la topología subespacial en X _F. Los conjuntos de Harrison forman una subbase para la topología de Harrison. El producto es un espacio booleano ( compacto , de Hausdorff y totalmente desconectado ), y X _F es un subconjunto cerrado, por lo tanto nuevamente booleano. ^{[7] [8]} ${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$

Fans y campos superordenados

Un abanico en F es un T preordenado con la propiedad de que si S es un subgrupo del índice 2 en F ^∗ que contiene T  − {0} y no contiene −1 entonces S es un ordenamiento (es decir, S está cerrado bajo suma). ^[9] Un campo superordenado es un campo totalmente real en el que el conjunto de sumas de cuadrados forma un abanico. ^[10]

Ver también

• Grupo linealmente ordenado  : grupo con orden total traslacionalmente invariante; es decir, si a ≤ b, entonces ca ≤ cb
• Grupo ordenado  – Grupo con un pedido parcial compatiblePages displaying short descriptions of redirect targets
• Anillo pedido  – anillo con un pedido total compatiblePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial
• Anillo parcialmente pedido  – Anillo con pedido parcial compatible
• Espacio parcialmente ordenado  - Espacio topológico parcialmente ordenado
• Campo de preorden  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de Riesz  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red

Notas

1. Lam (2005) pág. 289
2. Lam (2005) pág. 41
3. Lam (2005) pág. 232
4. Bair, Jacques; Henry, Valerie. «Diferenciación implícita con microscopios» (PDF) . Universidad de Lieja . Consultado el 4 de mayo de 2013 .
5. Lam (2005) pág. 236
6. Los cuadrados de las raíces cuadradas √ −7 y √ 1 −  p están en Q , pero son < 0, por lo que estas raíces no pueden estar en Q , lo que significa que sus expansiones p -ádicas no son periódicas.
7. Lam (2005) pág. 271
8. Lam (1983) págs. 1-2
9. Lam (1983) pág. 39
10. Lam (1983) pág. 45

Referencias

• Lam, TY (1983), Ordenamientos, valoraciones y formas cuadráticas , Serie de conferencias regionales de matemáticas del CBMS, vol. 52, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl  0516.12001
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001