Transserie

En matemáticas, el campo de las transseries logarítmico-exponenciales es un campo diferencial ordenado no arquimediano que extiende la comparabilidad de tasas de crecimiento asintóticas de funciones elementales no trigonométricas a una clase mucho más amplia de objetos. Cada transserie log-exp representa un comportamiento asintótico formal, y puede manipularse formalmente, y cuando converge (o en todos los casos si se usa una semántica especial, como a través de infinitos números surrealistas ), corresponde al comportamiento real. Las transseries también pueden resultar convenientes para representar funciones. A través de su inclusión de exponenciación y logaritmos, las transseries son una fuerte generalización de la serie de potencias en el infinito ( ) y otras expansiones asintóticas similares . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{x^{n}}}}$

El campo fue introducido de forma independiente por Dahn-Göring ^[1] y Ecalle ^[2] en los contextos respectivos de la teoría de modelos o campos exponenciales y del estudio de la singularidad analítica y la prueba de Ecalle de las conjeturas de Dulac. Constituye un objeto formal, ampliando el campo de funciones exp-log de Hardy y el campo de series acelerando-sumables de Ecalle. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

El campo disfruta de una rica estructura: un campo ordenado con una noción de series y sumas generalizadas, con una derivación compatible con antiderivación distinguida, funciones exponenciales y logarítmicas compatibles y una noción de composición formal de series. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Ejemplos y contraejemplos

Hablando informalmente, las transseries exp-log son series formales de Hahn bien basadas (es decir, bien ordenadas) de potencias reales del infinito positivo indeterminado , exponenciales, logaritmos y sus composiciones, con coeficientes reales. Dos condiciones adicionales importantes son que la profundidad exponencial y logarítmica de una transserie exp-log, es decir, el número máximo de iteraciones de exp y log que ocurren, debe ser finita. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f,}$

Las siguientes series formales son transseries log-exp:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{x^{\frac {1}{n}}}}{n!}}+x^{3}+\log x+\log \log x+\sum _{n=0}^{\infty }x^{-n}+\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\sum _{j=1}^{\infty }e^{ix^{2}-jx}}.}$

${\displaystyle \sum _{m,n\in \mathbb {N} }x^{\frac {1}{m+1}}e^{-(\log x)^{n}}.}$

Las siguientes series formales no son transseries log-exp:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}}$— esta serie no está bien basada.

${\displaystyle \log x+\log \log x+\log \log \log x+\cdots }$— la profundidad logarítmica de esta serie es infinita

${\displaystyle {\frac {1}{2}}x+e^{{\frac {1}{2}}\log x}+e^{e^{{\frac {1}{2}}\log \log x}}+\cdots }$— las profundidades exponenciales y logarítmicas de esta serie son infinitas

Es posible definir campos diferenciales de transseries que contengan las dos últimas series; pertenecen respectivamente a y (consulte el párrafo Uso de números surrealistas a continuación). ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

Introducción

Un hecho notable es que las tasas de crecimiento asintóticas de funciones elementales no trigonométricas e incluso de todas las funciones definibles en la estructura teórica del modelo del campo exponencial ordenado de números reales son todas comparables: para todos los tales y , tenemos o , donde significa . La clase de equivalencia de bajo la relación es el comportamiento asintótico de , también llamado germen de (o germen de en el infinito). ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,<,\exp )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$ ${\displaystyle g\leq _{\infty }f}$ ${\displaystyle f\leq _{\infty }g}$ ${\displaystyle \exists x.\forall y>x.f(y)\leq g(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\leq _{\infty }g\wedge g\leq _{\infty }f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

El campo de las transseries puede verse intuitivamente como una generalización formal de estas tasas de crecimiento: además de las operaciones elementales, las transseries están cerradas bajo "límites" para secuencias apropiadas con profundidad exponencial y logarítmica limitada. Sin embargo, una complicación es que las tasas de crecimiento no son de Arquímedes y, por tanto, no tienen la propiedad de límite superior mínimo . Podemos abordar esto asociando una secuencia con el límite superior mínimo de complejidad mínima, de manera análoga a la construcción de números surrealistas. Por ejemplo, se asocia más con que porque decae demasiado rápido, y si identificamos el decaimiento rápido con la complejidad, tiene mayor complejidad de la necesaria (además, como sólo nos preocupamos por el comportamiento asintótico, la convergencia puntual no es dispositiva). ${\textstyle (\sum _{k=0}^{n}x^{-k})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}-e^{-x}}$ ${\displaystyle e^{-x}}$

Debido a la comparabilidad, las transseries no incluyen tasas de crecimiento oscilatorio (como ). Por otro lado, existen transseries como las que no se corresponden directamente con series convergentes o funciones de valor real. Otra limitación de las transseries es que cada una de ellas está limitada por una torre de exponenciales, es decir, una iteración finita de , excluyendo así la tetración y otras funciones transexponenciales, es decir, funciones que crecen más rápido que cualquier torre de exponenciales. Hay formas de construir campos de transseries generalizadas que incluyen términos transexponenciales formales, por ejemplo, soluciones formales de la ecuación de Abel . ^[3] ${\displaystyle \sin x}$ ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }k!e^{x^{-{\frac {k}{k+1}}}}}$ ${\displaystyle e^{e^{.^{.^{.^{e^{x}}}}}}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e_{\omega }}$ ${\displaystyle e^{e_{\omega }(x)}=e_{\omega }(x+1)}$

Construcción formal

Las transseries se pueden definir como expresiones formales (potencialmente infinitas), con reglas que definen qué expresiones son válidas, comparación de transseries, operaciones aritméticas e incluso diferenciación. Luego se pueden asignar transseries apropiadas a funciones o gérmenes correspondientes, pero existen sutilezas relacionadas con la convergencia. Incluso a las transseries que divergen a menudo se les pueden asignar de manera significativa (y única) tasas de crecimiento reales (que concuerdan con las operaciones formales en transseries) utilizando la suma de aceleración, que es una generalización de la suma de Borel .

Las transseries se pueden formalizar de varias formas equivalentes; Usamos uno de los más simples aquí.

Una transserie es una suma bien basada,

${\displaystyle \sum a_{i}m_{i},}$

con profundidad exponencial finita, donde cada uno es un número real distinto de cero y es un transmonomio mónico ( es un transmonomio pero no es mónico a menos que el coeficiente ; cada uno es diferente; el orden de los sumandos es irrelevante). ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=1}$ ${\displaystyle m_{i}}$

La suma puede ser infinita o transfinita; generalmente se escribe en orden decreciente . ${\displaystyle m_{i}}$

Aquí, bien basado significa que no hay una secuencia ascendente infinita (ver buen ordenamiento ). ${\displaystyle m_{i_{1}}<m_{i_{2}}<m_{i_{3}}<\cdots }$

Un transmonomio mónico es uno de 1, x , log x , log log x , ..., y ^{purely_large_transseries} .

Nota: Porque no lo incluimos como primitivo, pero muchos autores sí lo hacen; Las transseries sin registros no se incluyen pero están permitidas. Además, se evita la circularidad en la definición porque purely_large_transseries (arriba) tendrá una profundidad exponencial más baja; la definición funciona por recursividad en la profundidad exponencial. Consulte "Transseries Log-exp como serie iterada de Hahn" (a continuación) para ver una construcción que utiliza y separa explícitamente diferentes etapas. ${\displaystyle x^{n}=e^{n\log x}}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle x^{n}e^{\cdots }}$ ${\displaystyle x^{a}e^{\cdots }}$

Una transserie puramente grande es una transserie no vacía con cada . ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}>1}$

Las transseries tienen una profundidad exponencial finita , donde cada nivel de anidamiento de e o log aumenta la profundidad en 1 (por lo que no podemos tener x + log x + log log x + ...).

La suma de transseries se realiza por términos: (la ausencia de un término se equipara con un coeficiente cero). ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}+\sum b_{i}m_{i}=\sum (a_{i}+b_{i})m_{i}}$

Comparación:

El término más significativo de es para el más grande (debido a que la suma está bien basada, esto existe para transseries distintas de cero). es positivo si y sólo si el coeficiente del término más significativo es positivo (es por eso que usamos "puramente grande" arriba). X > Y si X  −  Y es positivo. ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$

Comparación de transmonomios mónicos:

${\displaystyle x=e^{\log x},\log x=e^{\log \log x},\ldots }$– estas son las únicas igualdades en nuestra construcción.

${\displaystyle x>\log x>\log \log x>\cdots >1>0.}$

${\displaystyle e^{a}<e^{b}}$si (también ). ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$

Multiplicación:

${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}$

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)\left(\sum b_{j}y_{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j\,:\,z_{k}=x_{i}y_{j}}a_{i}b_{j}\right)z_{k}.}$

Esto esencialmente aplica la ley distributiva al producto; Como la serie está bien basada, la suma interna siempre es finita.

Diferenciación:

${\displaystyle \left(\sum a_{i}x_{i}\right)'=\sum a_{i}x_{i}'}$

${\displaystyle 1'=0,x'=1}$

${\displaystyle (e^{y})'=y'e^{y}}$

${\displaystyle (\log y)'=y'/y}$(La división se define mediante la multiplicación).

Con estas definiciones, la transserie es un campo diferencial ordenado. Transseries también es un campo valorado , con la valoración dada por el transmonomio mónico principal y la relación asintótica correspondiente definida por if ( donde está el valor absoluto). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 0\neq f,g\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle f\prec g}$ ${\displaystyle \forall 0<r\in \mathbb {R} ,|f|<r|g|}$ ${\displaystyle |f|=\max(f,-f)}$

Otras construcciones

Transseries log-exp como serie iterada de Hahn

Transseries sin registros

Primero definimos el subcampo de las llamadas transseries sin registros . Esas son transseries que excluyen cualquier término logarítmico. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Definición inductiva:

Porque definiremos un grupo multiplicativo de monomios linealmente ordenado . Luego denotaremos el campo de series bien basadas . Este es el conjunto de mapas con soporte bien basado (es decir, bien ordenado inverso), equipado con suma puntual y producto de Cauchy (ver serie Hahn ). En , distinguimos el subanillo (no unitario) de transseries puramente grandes , que son series cuyo soporte contiene sólo monomios que se encuentran estrictamente por encima . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{n}]]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle 1}$

Empezamos equipados con el producto y el pedido . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}=x^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x^{a}x^{b}:=x^{a+b}}$ ${\displaystyle x^{a}\prec x^{b}\leftrightarrow a<b}$

Si es tal que , y por tanto y están definidos, denotaremos el conjunto de expresiones formales donde y . Esto forma un grupo conmutativo ordenado linealmente bajo el producto y el orden lexicográfico si y sólo si o ( y ). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$ ${\displaystyle x^{a}e^{\theta }}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle (x^{a}e^{\theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}}$ ${\displaystyle x^{a}e^{\theta }\prec x^{a'}e^{\theta '}}$ ${\displaystyle \theta <\theta '}$ ${\displaystyle \theta =\theta '}$ ${\displaystyle a<a'}$

La inclusión natural de en dado mediante identificación e inductiva proporciona una incrustación natural de en y, por lo tanto, una incrustación natural de en . Entonces podemos definir el grupo conmutativo linealmente ordenado y el campo ordenado que es el campo de transseries libres de registros. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle x^{a}e^{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$ ${\textstyle {\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{n}}$ ${\textstyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{n}^{E}}$

El campo es un subcampo propio del campo de series bien basadas con coeficientes reales y monomios en . De hecho, cada serie tiene una profundidad exponencial acotada, es decir, el número entero menos positivo tal que , mientras que la serie ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$

${\displaystyle e^{-x}+e^{-e^{x}}+e^{-e^{e^{x}}}+\cdots \in \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$

no tiene tal límite.

Exponenciación sobre : ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$

El campo de las transseries libres de registros está equipado con una función exponencial que es un morfismo específico . Sea una transserie logarítmica y sea la profundidad exponencial de , entonces . Escribe como suma en donde , es un número real y es infinitesimal (cualquiera de ellos podría ser cero). Entonces la suma formal de Hahn ${\displaystyle \exp :(\mathbb {T} ^{E},+)\to (\mathbb {T} ^{E,>},\times )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=\theta +r+\varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E},}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle E(\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}}$

converge en , y definimos dónde está el valor de la función exponencial real en . ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$ ${\displaystyle \exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$ ${\displaystyle \exp(r)}$ ${\displaystyle r}$

Composición derecha con : ${\displaystyle e^{x}}$

Una composición correcta con la serie se puede definir por inducción en la profundidad exponencial por ${\displaystyle \circ _{e^{x}}}$ ${\displaystyle e^{x}}$

${\displaystyle \left(\sum f_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {m}}\right)\circ e^{x}:=\sum f_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {m}}\circ e^{x}),}$

con . De manera inductiva se deduce que los monomios se conservan, de modo que en cada paso inductivo las sumas están bien basadas y, por lo tanto, bien definidas. ${\displaystyle x^{r}\circ e^{x}:=e^{rx}}$ ${\displaystyle \circ _{e^{x}},}$

Transserie log-exp

Definición:

La función definida anteriormente no es on, por lo que el logaritmo solo está definido parcialmente en : por ejemplo, la serie no tiene logaritmo. Además, cada transserie infinita positiva y libre de registros es mayor que alguna potencia positiva de . Para pasar de a , uno simplemente puede "conectar" la variable de la serie de logaritmos iterados formales que se comportarán como el recíproco formal del término exponencial iterado doble denotado . ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E,>}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell _{n},n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{n}}$

Porque denotemos el conjunto de expresiones formales donde . Convertimos esto en un grupo ordenado definiendo y definiendo cuándo . Definimos . Si e incorporamos identificando un elemento con el término ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {u}}\circ \ell _{n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\prec {\mathfrak {v}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}:=\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{m,n}]]}$ ${\displaystyle n'>n}$ ${\displaystyle m'\geq m+(n'-n),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m',n'}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$

${\displaystyle \left({\mathfrak {u}}\circ \overbrace {e^{x}\circ \cdots \circ e^{x}} ^{n'-n}\right)\circ \ell _{n'}.}$

Luego obtenemos como unión dirigida ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{m,n}^{LE}.}$

A la derecha, la composición con se define naturalmente por ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$ ${\displaystyle \circ _{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}\right)\circ \ell :=\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

Exponencial y logaritmo:

La exponenciación se puede definir de manera similar a la de las transseries logarítmicas, pero aquí también tiene un recíproco . De hecho, para una serie estrictamente positiva , escriba dónde está el monomio dominante de (elemento más grande de su soporte), es el coeficiente real positivo correspondiente y es infinitesimal. La suma formal de Hahn ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>}}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{m,n}^{LE,>}}$ ${\displaystyle f={\mathfrak {m}}r(1+\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon :={\frac {f}{{\mathfrak {m}}r}}-1}$

${\displaystyle L(1+\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {(-\varepsilon )^{k}}{k+1}}}$

converge en . Escribe donde tiene la forma donde y . Definimos . Finalmente configuramos ${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}}$

${\displaystyle \log(f):=\ell ({\mathfrak {m}})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

Usando números surrealistas

Construcción directa de transseries log-exp.

También se puede definir el campo de transseries log-exp como un subcampo del campo ordenado de números surrealistas. ^[4] El campo está equipado con las funciones exponencial y logarítmica de Gonshor-Kruskal ^[5] y con su estructura natural de campo de series bien basadas bajo la forma normal de Conway. ^[6] ${\displaystyle \mathbf {No} }$ ${\displaystyle \mathbf {No} }$

Definir , el subcampo de generado por y el número surrealista infinito positivo más simple (que corresponde naturalmente al ordinal , y como transserie a la serie ). Luego, para , defina como el campo generado por , exponenciales de elementos de y logaritmos de elementos estrictamente positivos de , así como sumas (Hahn) de familias sumables en . La unión es naturalmente isomorfa a . De hecho, existe un isomorfismo único que envía y conmuta con exponenciación y sumas de familias sumables en mentir . ${\displaystyle F_{0}^{LE}=\mathbb {R} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {No} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{n+1}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{n}^{LE}}$ ${\textstyle F_{\omega }^{LE}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$ ${\displaystyle F_{\omega }}$

Otros campos de la transseries

• Continuando este proceso por inducción transfinita en más allá , tomando uniones en ordinales límite, se obtiene un campo de tamaño de clase adecuado canónicamente equipado con una derivación y una composición que extiende la de (ver Operaciones en transseries a continuación). ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$ ${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

• Si en lugar de comenzar con el subcampo generado por y todas las iteraciones finitas de at , y for es el subcampo generado por , exponenciales de elementos de y sumas de familias sumables en , entonces se obtiene una copia isomórfica del campo de transseries exponencial-logarítmicas , que es una extensión adecuada de equipado con una función exponencial total. ^[7] ${\displaystyle F_{0}^{LE}}$ ${\displaystyle F_{0}^{EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{EL}}$ ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$ ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$ ${\displaystyle F_{n}^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

La derivación de Berarducci-Mantova [ ^8] coincide con su derivación natural y es única para satisfacer relaciones de compatibilidad con la estructura de campos ordenados exponenciales y la estructura de campos en series generalizada de y ${\displaystyle \mathbf {No} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .}$

Al contrario de la derivación en y no es sobreyectiva: por ejemplo la serie ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{\omega \log \omega \log \log \omega \cdots }}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \omega +\log \log \log \omega +\cdots ))\in \mathbb {T} ^{EL}}$

no tiene una primitiva en o (esto está relacionado con el hecho de que esos campos no contienen función transexponencial). ${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$

Propiedades adicionales

Operaciones en transseries

Operaciones en el campo ordenado exponencial diferencial

Las transseries tienen propiedades de cierre muy fuertes y se pueden definir muchas operaciones en transseries:

• Las transseries log-exp forman un campo ordenado exponencialmente cerrado : las funciones exponencial y logarítmica son totales. Por ejemplo:

${\displaystyle \exp(x^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\quad {\text{and}}\quad \log(x+\ell )=\ell +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{-1}\ell )^{n}}{n+1}}.}$

• El logaritmo se define para argumentos positivos.
• Las transseries log-exp son realmente cerradas .
• Integración: cada transserie log-exp tiene una antiderivada única con término constante cero y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle F'=f}$ ${\displaystyle F_{1}=0}$
• Antiderivada logarítmica: para , hay con . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle f'=fh'}$

Nota 1. Las dos últimas propiedades significan que Liouville está cerrada . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Nota 2. Al igual que una función no trigonométrica elemental, cada transserie infinita positiva tiene exponencialidad integral, incluso en este sentido fuerte: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \exists k,n\in \mathbb {N} :\quad \ell _{n-k}-1\leq \ell _{n}\circ f\leq \ell _{n-k}+1.}$

El número es único, se llama exponencialidad de . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

Composición de transseries

Una propiedad original de es que admite una composición (donde está el conjunto de transseries log-exp infinitas positivas) que nos permite ver cada transserie log-exp como una función de . De manera informal, para y , la serie se obtiene reemplazando cada aparición de la variable en por . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \circ :\mathbb {T} ^{LE}\times \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }\to \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Propiedades

• Asociatividad: para y , tenemos y . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle g,h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle g\circ h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$
• Compatibilidad de composiciones correctas: Para , la función es un automorfismo de campo que conmuta con sumas formales, envía a , a y a . También tenemos . ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle \circ _{g}:f\mapsto f\circ g}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \exp(g)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \log(g)}$ ${\displaystyle \circ _{x}=\operatorname {id} _{\mathbb {T} ^{LE}}}$
• Unicidad: la composición es única para satisfacer las dos propiedades anteriores.
• Monotonicidad: para , la función es constante o estrictamente monótona en . La monotonía depende del signo de . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle f'}$
• Regla de la cadena: para y , tenemos . ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}\times }$ ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle (f\circ g)'=g'f'\circ g}$
• Inverso funcional: para , hay una serie única con . ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle g\circ h=h\circ g=x}$
• Expansiones de Taylor: cada transserie log-exp tiene una expansión de Taylor alrededor de cada punto en el sentido de que para cada y para lo suficientemente pequeño , tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {T} ^{LE}}$

${\displaystyle f\circ (g+\varepsilon )=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(k)}\circ g}{k!}}\varepsilon ^{k}}$

donde la suma es una suma formal de Hahn de una familia sumable.

• Iteración fraccionaria: para con exponencialidad y cualquier número real , se define la iteración fraccionaria de . ^[9] ${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{a}}$ ${\displaystyle f}$

Decidibilidad y teoría de modelos.

Teoría del campo diferencial valorado ordenado diferencial

La teoría de es decidible y se puede axiomatizar de la siguiente manera (este es el Teorema 2.2 de Aschenbrenner et al.): ${\displaystyle \left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

• ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$es un campo diferencial de valores ordenados.
• ${\displaystyle f>0\wedge f\succ 1\Longrightarrow f'>0}$
• ${\displaystyle f\prec 1\Longrightarrow f'\prec 1}$
• ${\displaystyle \forall f\exists g:\quad g'=f}$
• ${\displaystyle \forall f\exists h:\quad h'=fh}$
• Propiedad de valor intermedio (IVP):

${\displaystyle P(f)<0\wedge P(g)>0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h)=0,}$

donde P es un polinomio diferencial, es decir, un polinomio en ${\displaystyle f,f',f'',\ldots ,f^{(k)}.}$

En esta teoría, la exponenciación se define esencialmente para funciones (usando diferenciación) pero no para constantes; de hecho, todo subconjunto definible de es semialgebraico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Teoría del campo exponencial ordenado.

La teoría de es la del campo exponencial ordenado real exponencial , que es modelo completo por el teorema de Wilkie . ${\displaystyle \langle +,\times ,\exp ,<\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)}$

Campos resistentes

${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$es el campo de transseries acelero-sumables, y usando acelero-suma, tenemos el campo Hardy correspondiente , que se conjetura que es el campo Hardy máximo correspondiente a un subcampo de . (Esta conjetura es informal ya que no hemos definido qué isomorfismos de campos de Hardy en subcampos diferenciales de están permitidos). Se conjetura que satisface los axiomas anteriores de . Sin definir acelerosuma, observamos que cuando las operaciones en transseries convergentes producen una divergente mientras que las mismas operaciones en los gérmenes correspondientes producen un germen válido, entonces podemos asociar la transserie divergente con ese germen. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{\mathrm {as} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Un campo Hardy se dice máximo si no está contenido adecuadamente en ningún campo Hardy. Mediante una aplicación del lema de Zorn, cada campo de Hardy está contenido en un campo de Hardy máximo. Se conjetura que todos los campos máximos de Hardy son equivalentes elementales a los campos diferenciales y, de hecho, tienen la misma teoría de primer orden que . ^[10] Las transseries logarítmicas no corresponden en sí mismas a un campo de Hardy máximo porque no todas las transseries corresponden a una función real, y los campos de Hardy máximos siempre contienen funciones transexponenciales. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$

Ver también

• Serie de potencias formales
• serie hahn
• Campo exponencialmente cerrado
• campo resistente

Referencias

1. Dahn, Bernd y Göring, Peter, Notas sobre términos logarítmicos exponenciales, Fundamenta Mathematicae, 1987
2. Ecalle, Jean, Introducción a las funciones analizables y preuve constructiva de la conjetura de Dulac , Actualités mathématiques (París), Hermann, 1992
3. Schmeling, Michael, Corps de transséries, tesis doctoral, 2001
4. Berarducci, Alessandro y Mantova, Vincenzo, Transseries como gérmenes de funciones surrealistas, Transactions of the American Mathematical Society, 2017
5. Gonshor, Harry, Introducción a la teoría de los números surrealistas , 'Cambridge University Press', 1986
6. Conway, John, Horton, Sobre números y juegos, Academic Press, Londres, 1976
7. Kuhlmann, Salma y Tressl, Marcus, Comparación de series logarítmicas exponenciales y exponenciales logarítmicas, Mathematical Logic Quarterly, 2012
8. Berarducci, Alessandro y Mantova, Vincenzo, Números surrealistas, derivaciones y transseries, Sociedad Matemática Europea, 2015
9. Edgar, GA (2010), Iteración fraccionaria de series y transseries , arXiv : 1002.2378 , Bibcode :2010arXiv1002.2378E
10. Aschenbrenner, Matthias y van den Dries, Lou y van der Hoeven, Joris, Sobre números, gérmenes y transseries, en Proc. En t. Cong. de Matemáticas. , vol. 1, págs. 1 a 24, 2018
11. Boshernitzan, Michael, Campos de Hardy y existencia de funciones transexponenciales , In aequationes mathematicae , vol. 30, número 1, págs. 258–280, 1986.

• Edgar, GA (2010), "Transseries para principiantes", Real Analysis Exchange , 35 (2): 253–310, arXiv : 0801.4877 , doi :10.14321/realanalexch.35.2.0253, S2CID  14290638.
• Aschenbrenner, Matías; Seca, Lou van den; Hoeven, Joris van der (2017), Sobre números, gérmenes y transseries , arXiv : 1711.06936 , Bibcode :2017arXiv171106936A.