En matemáticas , un cuerpo de Hardy es un cuerpo que consiste en gérmenes de funciones de valor real en el infinito que están cerradas bajo diferenciación . Su nombre se debe al matemático inglés GH Hardy .
Inicialmente, al menos, los campos de Hardy se definieron en términos de gérmenes de funciones reales en el infinito. Específicamente, consideramos una colección H de funciones que están definidas para todos los números reales grandes, es decir, funciones f que asignan ( u ,∞) a los números reales R , para algún número real u que depende de f . Aquí y en el resto del artículo decimos que una función tiene una propiedad " eventualmente " si tiene la propiedad para todo x suficientemente grande , así que, por ejemplo, decimos que una función f en H es eventualmente cero si hay algún número real U tal que f ( x ) = 0 para todo x ≥ U . Podemos formar una relación de equivalencia en H diciendo que f es equivalente a g si y solo si f − g es eventualmente cero. Las clases de equivalencia de esta relación se llaman gérmenes en el infinito.
Si H forma un campo bajo la suma y multiplicación usual de funciones, entonces H también lo hará módulo esta relación de equivalencia bajo las operaciones de suma y multiplicación inducidas. Además, si cada función en H es eventualmente diferenciable y la derivada de cualquier función en H también está en H , entonces H módulo la relación de equivalencia anterior se llama campo de Hardy. [1]
Los elementos de un cuerpo de Hardy son, por lo tanto, clases de equivalencia y deberían denotarse, por ejemplo, [ f ] ∞ para denotar la clase de funciones que son eventualmente iguales a la función representativa f . Sin embargo, en la práctica, los elementos normalmente se denotan simplemente por los representantes mismos, por lo que en lugar de [ f ] ∞ uno simplemente escribiría f .
Si F es un subcuerpo de R , entonces podemos considerarlo como un cuerpo de Hardy considerando los elementos de F como funciones constantes, es decir, considerando el número α en F como la función constante f α que mapea cada x en R a α. Este es un cuerpo ya que F lo es, y como la derivada de cada función en este cuerpo es 0, que debe estar en F, es un cuerpo de Hardy.
Un ejemplo menos trivial de un campo de Hardy es el campo de funciones racionales en R , denotado R ( x ). Este es el conjunto de funciones de la forma P ( x )/ Q ( x ) donde P y Q son polinomios con coeficientes reales. Dado que el polinomio Q solo puede tener un número finito de ceros por el teorema fundamental del álgebra , dicha función racional se definirá para todos los x suficientemente grandes , específicamente para todos los x mayores que la raíz real más grande de Q . Sumar y multiplicar funciones racionales da más funciones racionales, y la regla del cociente muestra que la derivada de la función racional es nuevamente una función racional, por lo que R ( x ) forma un campo de Hardy.
Otro ejemplo es el campo de funciones que se pueden expresar utilizando las operaciones aritméticas estándar, exponentes y logaritmos, y están bien definidas en algún intervalo de la forma . [2] Estas funciones a veces se denominan funciones L de Hardy . Se pueden definir campos Hardy mucho más grandes (que contienen funciones L de Hardy como un subcampo) utilizando transseries .
Cada elemento de un campo Hardy es, en última instancia, estrictamente positivo, estrictamente negativo o cero. Esto se deduce de manera bastante inmediata del hecho de que los elementos de un campo Hardy son, en última instancia, diferenciables y, por lo tanto, continuos y, en última instancia, tienen un inverso multiplicativo o son cero. Esto significa que las funciones periódicas, como las funciones seno y coseno, no pueden existir en los campos Hardy.
Esta evitación de funciones periódicas también significa que cada elemento en un campo de Hardy tiene un límite (posiblemente infinito) en el infinito, por lo que si f es un elemento de H , entonces
existe en R ∪ {−∞,+∞}. [3]
Esto también significa que podemos ordenar H diciendo que f < g si g − f es eventualmente estrictamente positivo. Nótese que esto no es lo mismo que decir que f < g si el límite de f es menor que el límite de g . Por ejemplo, si consideramos los gérmenes de la función identidad f ( x ) = x y la función exponencial g ( x ) = e x entonces como g ( x ) − f ( x ) > 0 para todo x tenemos que g > f . Pero ambas tienden al infinito. En este sentido, el orden nos dice cuán rápido todas las funciones no acotadas divergen al infinito. Incluso los límites finitos que son iguales no son suficientes: considere f ( x ) = 1/ x y g ( x ) = 0.
La teoría moderna de los campos de Hardy no se limita a las funciones reales, sino a aquellas definidas en ciertas estructuras que expanden campos reales cerrados . De hecho, si R es una expansión o-minimal de un campo, entonces el conjunto de funciones definibles unarias en R que están definidas para todos los elementos suficientemente grandes forma un campo de Hardy denotado H ( R ). [4] Las propiedades de los campos de Hardy en el entorno real todavía se mantienen en este entorno más general.
