Esta página enumera algunos ejemplos de espacios vectoriales . Consulte espacio vectorial para conocer las definiciones de los términos utilizados en esta página. Ver también: dimensión , base .
Notación . Sea F un campo arbitrario como los números reales R o los números complejos C.
El ejemplo más simple de un espacio vectorial es el trivial: {0}, que contiene sólo el vector cero (consulte el tercer axioma en el artículo sobre Espacio vectorial ). Tanto la suma de vectores como la multiplicación escalar son triviales. Una base para este espacio vectorial es el conjunto vacío , de modo que {0} es el espacio vectorial de 0 dimensiones sobre F. Todo espacio vectorial sobre F contiene un subespacio isomorfo a éste.
El espacio vectorial cero es conceptualmente diferente del espacio nulo de un operador lineal L , que es el núcleo de L. (Por cierto, el espacio nulo de L es un espacio cero si y sólo si L es inyectivo ).
El siguiente ejemplo más simple es el propio campo F. La suma de vectores es solo una suma de campos, y la multiplicación escalar es solo una multiplicación de campos. Esta propiedad se puede utilizar para demostrar que un campo es un espacio vectorial. Cualquier elemento distinto de cero de F sirve como base, por lo que F es un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo.
El campo es un espacio vectorial bastante especial; de hecho , es el ejemplo más simple de álgebra conmutativa sobre F. Además, F tiene solo dos subespacios : {0} y F mismo.
Un ejemplo básico de un espacio vectorial es el siguiente. Para cualquier entero positivo n , el conjunto de todas las n -tuplas de elementos de F forma un espacio vectorial de n dimensiones sobre F, a veces llamado espacio de coordenadas y denotado F n . [1] Se escribe un elemento de F n
donde cada x i es un elemento de F . Las operaciones sobre F n están definidas por
Comúnmente, F es el cuerpo de los números reales , en cuyo caso obtenemos el espacio de coordenadas reales R n . El campo de números complejos da un espacio de coordenadas complejo C n . La forma a + bi de un número complejo muestra que C en sí es un espacio vectorial real bidimensional con coordenadas ( a , b ). De manera similar, los cuaterniones y los octoniones son espacios vectoriales reales de cuatro y ocho dimensiones, respectivamente, y C n es un espacio vectorial real de 2n dimensiones.
El espacio vectorial F n tiene una base estándar :
donde 1 denota la identidad multiplicativa en F .
Sea F ∞ el espacio de secuencias infinitas de elementos de F tales que sólo un número finito de elementos son distintos de cero. Es decir, si escribimos un elemento de F ∞ como
entonces sólo un número finito de x i son distintos de cero (es decir, las coordenadas se vuelven todas cero después de cierto punto). La suma y la multiplicación escalar se dan en un espacio de coordenadas finito. La dimensionalidad de F ∞ es numerablemente infinita . Una base estándar consta de los vectores e i que contienen un 1 en la i -ésima ranura y ceros en el resto. Este espacio vectorial es el coproducto (o suma directa ) de un número contable de copias del espacio vectorial F.
Nótese el papel de la condición de finitud aquí. Se podrían considerar secuencias arbitrarias de elementos en F , que también constituyen un espacio vectorial con las mismas operaciones, a menudo denotadas por F N (ver más abajo). F N es el producto de un número contable de copias de F .
Según el lema de Zorn , FN tiene una base (no hay una base obvia) . Hay incontables elementos infinitos en la base. Como las dimensiones son diferentes, F N no es isomorfa a F ∞ . Vale la pena señalar que F N es (isomorfo a) el espacio dual de F ∞ , porque un mapa lineal T de F ∞ a F está determinado únicamente por sus valores T ( e i ) sobre los elementos base de F ∞ , y estos Los valores pueden ser arbitrarios. Así, se ve que un espacio vectorial no necesita ser isomorfo a su doble dual si es de dimensión infinita, en contraste con el caso de dimensión finita.
A partir de n espacios vectoriales, o una colección infinita y numerable de ellos, cada uno con el mismo campo, podemos definir el espacio producto como se muestra arriba.
Sea F m × n el conjunto de matrices m × n con entradas en F . Entonces F m × n es un espacio vectorial sobre F . La suma de vectores es solo una suma de matrices y la multiplicación escalar se define de la manera obvia (multiplicando cada entrada por el mismo escalar). El vector cero es simplemente la matriz cero . La dimensión de F m × n es mn . Una posible elección de base son las matrices con una única entrada igual a 1 y todas las demás entradas a 0.
Cuando m = n la matriz es cuadrada y la multiplicación de dos de esas matrices produce una tercera. Este espacio vectorial de dimensión n 2 forma un álgebra sobre un campo .
El conjunto de polinomios con coeficientes en F es un espacio vectorial sobre F , denotado F [ x ]. La suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de la manera obvia. Si el grado de los polinomios no tiene restricciones, entonces la dimensión de F [ x ] es infinita contablemente . Si, en cambio, nos restringimos a polinomios con grado menor o igual a n , entonces tenemos un espacio vectorial con dimensión n + 1.
Una posible base para F [ x ] es una base monomial : las coordenadas de un polinomio con respecto a esta base son sus coeficientes , y el mapa que envía un polinomio a la secuencia de sus coeficientes es un isomorfismo lineal de F [ x ] a la espacio de coordenadas infinito F ∞ .
El espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual a n a menudo se denota por P n .
El conjunto de polinomios en varias variables con coeficientes en F es el espacio vectorial sobre F denotado F [ x 1 , x 2 , ..., x r ]. Aquí r es el número de variables.
Sea X un conjunto arbitrario no vacío y V un espacio vectorial arbitrario sobre F. El espacio de todas las funciones de X a V es un espacio vectorial sobre F bajo suma y multiplicación puntuales . Es decir, sean f : X → V y g : X → V denotan dos funciones, y sea α en F . Definimos
donde las operaciones del lado derecho son las de V . El vector cero viene dado por la función constante que envía todo al vector cero en V. El espacio de todas las funciones de X a V se denomina comúnmente VX .
Si X es finito y V es de dimensión finita, entonces V X tiene dimensión | X |(dim V ), de lo contrario, el espacio es de dimensión infinita (incontablemente si X es infinito).
Muchos de los espacios vectoriales que surgen en matemáticas son subespacios de algún espacio funcional. Damos algunos ejemplos más.
Sea X un conjunto arbitrario. Considere el espacio de todas las funciones de X a F que desaparecen en todos menos en un número finito de puntos en X. Este espacio es un subespacio vectorial de F X , el espacio de todas las funciones posibles de X a F . Para ver esto, observe que la unión de dos conjuntos finitos es finita, de modo que la suma de dos funciones en este espacio seguirá desapareciendo fuera de un conjunto finito.
El espacio descrito anteriormente se denota comúnmente ( F X ) 0 y se llama espacio de coordenadas generalizado por la siguiente razón. Si X es el conjunto de números entre 1 y n , entonces se ve fácilmente que este espacio es equivalente al espacio de coordenadas F n . Asimismo, si X es el conjunto de los números naturales , N , entonces este espacio es simplemente F ∞ .
Una base canónica para ( F X ) 0 es el conjunto de funciones {δ x | x ∈ X } definido por
La dimensión de ( F X ) 0 es por tanto igual a la cardinalidad de X. De esta manera podemos construir un espacio vectorial de cualquier dimensión sobre cualquier campo. Además, todo espacio vectorial es isomorfo a uno de esta forma . Cualquier elección de base determina un isomorfismo al enviar la base a la canónica para ( F X ) 0 .
El espacio de coordenadas generalizado también puede entenderse como la suma directa de | X | copias de F (es decir, una para cada punto en X ):
La condición de finitud está incorporada en la definición de suma directa. Compare esto con el producto directo de | X | copias de F que darían el espacio funcional completo F X .
Un ejemplo importante que surge en el contexto del álgebra lineal es el espacio vectorial de aplicaciones lineales . Sea L ( V , W ) el conjunto de todos los mapas lineales de V a W (ambos espacios vectoriales sobre F ). Entonces L ( V , W ) es un subespacio de W V ya que es cerrado bajo suma y multiplicación escalar.
Tenga en cuenta que L( F n , F m ) se puede identificar con el espacio de matrices F m × n de forma natural. De hecho, al elegir bases apropiadas para espacios de dimensión finita V y W, L(V,W) también se puede identificar con F m × n . Esta identificación normalmente depende de la elección de la base.
Si X es algún espacio topológico , como el intervalo unitario [0,1], podemos considerar el espacio de todas las funciones continuas de X a R. Este es un subespacio vectorial de R X ya que la suma de dos funciones continuas cualesquiera es continua y la multiplicación escalar es continua.
El subconjunto del espacio de todas las funciones de R a R que consta de funciones (suficientemente diferenciables) que satisfacen una determinada ecuación diferencial es un subespacio de R R si la ecuación es lineal. Esto se debe a que la diferenciación es una operación lineal, es decir, ( a f + b g )′ = a f ′ + b g ′, donde ′ es el operador de diferenciación.
Supongamos que K es un subcampo de F (cf. extensión de campo ). Entonces F puede considerarse como un espacio vectorial sobre K restringiendo la multiplicación escalar a elementos en K (la suma vectorial se define como normal). La dimensión de este espacio vectorial, si existe, [a] se llama grado de extensión. Por ejemplo, los números complejos C forman un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales R. Asimismo, los números reales R forman un espacio vectorial sobre los números racionales Q que tiene (incontablemente) dimensión infinita, si existe una base de Hamel. [b]
Si V es un espacio vectorial sobre F , también puede considerarse como un espacio vectorial sobre K. Las dimensiones están relacionadas por la fórmula.
Por ejemplo, C n , considerado como un espacio vectorial sobre los reales, tiene dimensión 2 n .
Aparte del caso trivial de un espacio de dimensión cero sobre cualquier campo, un espacio vectorial sobre un campo F tiene un número finito de elementos si y sólo si F es un campo finito y el espacio vectorial tiene una dimensión finita. Así tenemos F q , el único campo finito (hasta el isomorfismo ) con q elementos. Aquí q debe ser una potencia de un primo ( q = p m con p primo). Entonces cualquier espacio vectorial n -dimensional V sobre F q tendrá q n elementos. Tenga en cuenta que el número de elementos en V es también la potencia de un poder primo (porque una potencia de un poder primo es nuevamente una potencia prima). El ejemplo principal de tal espacio es el espacio de coordenadas ( F q ) n .
Estos espacios vectoriales son de importancia crítica en la teoría de representación de grupos finitos , teoría de números y criptografía .
