En matemáticas , un álgebra sobre un campo (a menudo llamada simplemente álgebra ) es un espacio vectorial equipado con un producto bilineal . Así, un álgebra es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con operaciones de multiplicación y suma y multiplicación escalar por elementos de un campo y que satisface los axiomas implicados por "espacio vectorial" y "bilineal". [1]
La operación de multiplicación en un álgebra puede ser asociativa o no , lo que lleva a las nociones de álgebras asociativas y álgebras no asociativas . Dado un número entero n , el anillo de matrices cuadradas reales de orden n es un ejemplo de álgebra asociativa sobre el campo de números reales bajo suma y multiplicación de matrices , ya que la multiplicación de matrices es asociativa. El espacio euclidiano tridimensional con multiplicación dada por el producto vectorial es un ejemplo de álgebra no asociativa sobre el campo de números reales, ya que el producto vectorial no es asociativo y satisface la identidad de Jacobi .
Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento identidad respecto de la multiplicación. El anillo de matrices cuadradas reales de orden n forma un álgebra unital ya que la matriz identidad de orden n es el elemento identidad con respecto a la multiplicación de matrices. Es un ejemplo de álgebra asociativa unital, un anillo (unital) que también es un espacio vectorial.
Muchos autores utilizan el término álgebra para referirse a álgebra asociativa , o álgebra asociativa unital , o en algunas materias como geometría algebraica , álgebra conmutativa asociativa unital .
Reemplazar el campo de escalares por un anillo conmutativo conduce a la noción más general de álgebra sobre un anillo. Las álgebras no deben confundirse con espacios vectoriales equipados con una forma bilineal , como los espacios de productos internos , ya que, para tal espacio, el resultado de un producto no está en el espacio, sino en el campo de coeficientes.
Let K be a field, and let A be a vector space over K equipped with an additional binary operation from A × A to A, denoted here by · (that is, if x and y are any two elements of A, then x · y is an element of A that is called the product of x and y). Then A is an algebra over K if the following identities hold for all elements x, y, z in A , and all elements (often called scalars) a and b in K:
These three axioms are another way of saying that the binary operation is bilinear. An algebra over K is sometimes also called a K-algebra, and K is called the base field of A. The binary operation is often referred to as multiplication in A. The convention adopted in this article is that multiplication of elements of an algebra is not necessarily associative, although some authors use the term algebra to refer to an associative algebra.
Cuando una operación binaria en un espacio vectorial es conmutativa , la distributividad izquierda y la distributividad derecha son equivalentes y, en este caso, solo una distributividad requiere una prueba. En general, para operaciones no conmutativas, la distributividad por la izquierda y la distributividad por la derecha no son equivalentes y requieren pruebas separadas.
Dadas las K -álgebras A y B , un homomorfismo de K -álgebra es un mapa K - lineal f : A → B tal que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) para todo x , y en A . El espacio de todos los homomorfismos de K -álgebra entre A y B se escribe frecuentemente como
Un isomorfismo de K -álgebra es un homomorfismo de K -álgebra biyectivo . A todos los efectos prácticos, las álgebras isomorfas se diferencian sólo por la notación.
Una subálgebra de un álgebra sobre un campo K es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que el producto de dos de sus elementos cualesquiera está nuevamente en el subespacio. En otras palabras, una subálgebra de un álgebra es un subconjunto no vacío de elementos que está cerrado bajo suma, multiplicación y multiplicación escalar. En símbolos, decimos que un subconjunto L de una K -álgebra A es una subálgebra si para cada x , y en L y c en K , tenemos que x · y , x + y y cx están todos en L.
En el ejemplo anterior de los números complejos vistos como un álgebra bidimensional sobre los números reales, la recta real unidimensional es una subálgebra.
Un ideal izquierdo de un K -álgebra es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que cualquier elemento del subespacio multiplicado a la izquierda por cualquier elemento del álgebra produce un elemento del subespacio. En símbolos, decimos que un subconjunto L de una K -álgebra A es un ideal izquierdo si para cada x e y en L , z en A y c en K , tenemos las siguientes tres afirmaciones.
Si (3) fuera reemplazado por x · z está en L , entonces esto definiría un ideal correcto . Un ideal bilateral es un subconjunto que es a la vez ideal de izquierda y de derecha. El término ideal por sí solo suele entenderse como un ideal bilateral. Por supuesto, cuando el álgebra es conmutativa, entonces todas estas nociones de ideal son equivalentes. Las condiciones (1) y ( 2) juntas son equivalentes a que L sea un subespacio lineal de A. De la condición (3) se deduce que todo ideal de izquierda o de derecha es una subálgebra.
Esta definición es diferente de la definición de un ideal de anillo , en que aquí requerimos la condición (2). Por supuesto, si el álgebra es unital, entonces la condición (3) implica la condición (2).
Si tenemos una extensión de campo F / K , es decir, un campo más grande F que contiene K , entonces existe una forma natural de construir un álgebra sobre F a partir de cualquier álgebra sobre K. Es la misma construcción que se usa para crear un espacio vectorial sobre un campo más grande, es decir, el producto tensorial . Entonces, si A es un álgebra sobre K , entonces es un álgebra sobre F.
Las álgebras sobre campos son de muchos tipos diferentes. Estos tipos se especifican insistiendo en algunos axiomas adicionales, como la conmutatividad o la asociatividad de la operación de multiplicación, que no son necesarios en la definición amplia de álgebra. Las teorías correspondientes a los diferentes tipos de álgebras suelen ser muy diferentes.
Un álgebra es unital o unitaria si tiene una unidad o elemento identidad I con Ix = x = xI para todo x en el álgebra.
Un álgebra se llama álgebra cero si uv = 0 para todos u , v en el álgebra, [2] no debe confundirse con el álgebra con un elemento. Es inherentemente no unitario (excepto en el caso de un solo elemento), asociativo y conmutativo.
Se puede definir un álgebra unital cero tomando la suma directa de los módulos de un campo (o más generalmente un anillo) K y un espacio vectorial K (o módulo) V , y definiendo el producto de cada par de elementos de V como cero. Es decir, si λ , μ ∈ K y u , v ∈ V , entonces ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Si e 1 , ... e d es una base de V , el álgebra cero unital es el cociente del anillo polinómico K [ E 1 , ..., En ] por el ideal generado por E i E j para cada par ( i , j ) .
Un ejemplo de álgebra de cero unital es el álgebra de números duales , el álgebra R de cero unital construida a partir de un espacio vectorial real unidimensional.
Estas álgebras de ceros unitales pueden ser más útiles en general, ya que permiten traducir cualquier propiedad general de las álgebras a propiedades de espacios vectoriales o módulos . Por ejemplo, Bruno Buchberger introdujo la teoría de las bases de Gröbner para ideales en un anillo polinomial R = K [ x 1 , ..., x n ] sobre un campo. La construcción del álgebra unital cero sobre un módulo R libre permite extender esta teoría como una teoría básica de Gröbner para submódulos de un módulo libre. Esta extensión permite, para calcular una base de Gröbner de un submódulo, utilizar, sin ninguna modificación, cualquier algoritmo y cualquier software para calcular bases de ideales de Gröbner.
Ejemplos de álgebras asociativas incluyen
Un álgebra no asociativa [3] (o álgebra distributiva ) sobre un campo K es un K -espacio vectorial A equipado con un mapa K - bilineal . El uso de "no asociativo" aquí pretende transmitir que no se asume la asociatividad, pero no significa que esté prohibida, es decir, significa "no necesariamente asociativo".
Los ejemplos detallados en el artículo principal incluyen:
La definición de un K -álgebra asociativa con unidad también se da frecuentemente de forma alternativa. En este caso, un álgebra sobre un campo K es un anillo A junto con un homomorfismo de anillo
donde Z ( A ) es el centro de A. Dado que η es un homomorfismo de anillo, entonces se debe tener que A es el anillo cero o que η es inyectivo . Esta definición es equivalente a la anterior, con multiplicación escalar
dada por
Dadas dos K -álgebras unitales asociativas A y B , un homomorfismo de K -álgebra unital f : A → B es un homomorfismo de anillo que conmuta con la multiplicación escalar definida por η , que se puede escribir como
para todos y . En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta:
Para álgebras sobre un campo, la multiplicación bilineal de A × A a A está completamente determinada por la multiplicación de los elementos básicos de A. A la inversa, una vez que se ha elegido una base para A , los productos de los elementos de la base se pueden establecer arbitrariamente y luego extenderse de una manera única a un operador bilineal en A , es decir, de modo que la multiplicación resultante satisfaga las leyes del álgebra.
Por lo tanto , dado el campo K , cualquier álgebra de dimensión finita se puede especificar hasta el isomorfismo dando su dimensión (digamos n ) y especificando n 3 coeficientes de estructura ci , j , k , que son escalares . Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en A mediante la siguiente regla:
donde e 1 ,..., en forman una base de A .
Sin embargo, tenga en cuenta que varios conjuntos diferentes de coeficientes estructurales pueden dar lugar a álgebras isomorfas.
En física matemática , los coeficientes de estructura generalmente se escriben con índices superior e inferior, para distinguir sus propiedades de transformación bajo transformaciones de coordenadas. Específicamente, los índices inferiores son índices covariantes y se transforman mediante retrocesos , mientras que los índices superiores son contravariantes y se transforman mediante retrocesos . Por lo tanto, los coeficientes de estructura a menudo se escriben c i , j k , y su regla definitoria se escribe usando la notación de Einstein como
Si aplica esto a vectores escritos en notación de índice , entonces esto se convierte en
Si K es sólo un anillo conmutativo y no un campo, entonces el mismo proceso funciona si A es un módulo libre sobre K. Si no es así, entonces la multiplicación todavía está completamente determinada por su acción sobre un conjunto que abarca A ; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y conocer sólo las constantes de estructura no especifica el álgebra hasta el isomorfismo.
Las álgebras asociativas unitales bidimensionales, tridimensionales y cuatridimensionales sobre el campo de los números complejos fueron clasificadas completamente hasta el isomorfismo por Eduard Study . [4]
Existen dos álgebras bidimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales (con coeficientes complejos) de dos elementos básicos, 1 (el elemento identidad) y a . Según la definición de elemento de identidad,
Falta especificar
Existen cinco álgebras tridimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales de tres elementos básicos, 1 (el elemento identidad), a y b . Teniendo en cuenta la definición de elemento de identidad, basta con especificar
La cuarta de estas álgebras no es conmutativa y las demás son conmutativas.
En algunas áreas de las matemáticas, como el álgebra conmutativa , es común considerar el concepto más general de álgebra sobre un anillo , donde un anillo conmutativo R reemplaza al campo K. La única parte de la definición que cambia es que se supone que A es un módulo R (en lugar de un espacio vectorial K ).
Un anillo A es siempre un álgebra asociativa sobre su centro y sobre los números enteros . Un ejemplo clásico de álgebra sobre su centro es el álgebra de bicuaterniones divididos , que es isomorfa al producto directo de dos álgebras de cuaterniones . El centro de ese anillo es y por tanto tiene la estructura de un álgebra sobre su centro, que no es un campo. Tenga en cuenta que el álgebra de bicuaternión dividido también es, naturalmente, un álgebra de 8 dimensiones .
En álgebra conmutativa, si A es un anillo conmutativo , entonces cualquier homomorfismo de anillo unital define una estructura de módulo R en A , y esto es lo que se conoce como estructura de álgebra R. [5] Entonces, un anillo viene con una estructura de módulo natural, ya que se puede tomar el homomorfismo único . [6] Por otro lado, no a todos los anillos se les puede dar la estructura de un álgebra sobre un campo (por ejemplo, los números enteros). Consulte Campo con un elemento para obtener una descripción de un intento de darle a cada anillo una estructura que se comporte como un álgebra sobre un campo.
