Lema de Hensel

Resultado en aritmética modular

En matemáticas , el lema de Hensel , también conocido como lema de elevación de Hensel , llamado así en honor a Kurt Hensel , es un resultado de la aritmética modular , que establece que si un polinomio univariado tiene una raíz simple módulo de un número primo p , entonces esta raíz se puede elevar a un único módulo raíz cualquier potencia superior de p . De manera más general, si un polinomio factoriza el módulo p en dos polinomios coprimos , esta factorización se puede elevar a un módulo de factorización de cualquier potencia mayor de p (el caso de raíces corresponde al caso de grado 1 para uno de los factores).

Al pasar al "límite" (de hecho, se trata de un límite inverso ) cuando la potencia de p tiende a infinito, se deduce que una raíz o un módulo de factorización p se puede elevar a una raíz o una factorización sobre los p enteros ádicos. .

Estos resultados se han generalizado ampliamente, bajo el mismo nombre, al caso de polinomios sobre un anillo conmutativo arbitrario , donde p se reemplaza por un ideal , y "polinomios coprimos" significa "polinomios que generan un ideal que contiene 1 ".

El lema de Hensel es fundamental en el análisis p -ádico , una rama de la teoría analítica de números .

La prueba del lema de Hensel es constructiva y conduce a un algoritmo eficiente para el levantamiento de Hensel , que es fundamental para factorizar polinomios y proporciona el algoritmo más eficiente conocido para álgebra lineal exacta sobre números racionales .

Reducción y elevación modulares

El lema original de Hensel se refiere a la relación entre la factorización polinomial sobre los números enteros y sobre los números enteros módulo un número primo p y sus potencias. Se puede extender directamente al caso en el que los números enteros se reemplazan por cualquier anillo conmutativo y p se reemplaza por cualquier ideal máximo (de hecho, los ideales máximos de tienen la forma donde p es un número primo). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} ,}$

Para precisar esto se requiere una generalización de la aritmética modular habitual , por lo que es útil definir con precisión la terminología que se utiliza comúnmente en este contexto.

Sea R un anillo conmutativo y I un ideal de R. El módulo de reducción I se refiere al reemplazo de cada elemento de R por su imagen bajo el mapa canónico. Por ejemplo, si es un polinomio con coeficientes en R , su módulo de reducción I , denotado es el polinomio obtenido al reemplazar los coeficientes de f por sus imagen en Dos polinomios f y g in son congruentes módulo I , denotado si tienen los mismos coeficientes módulo I , es decir, si Si una factorización de h módulo I consta de dos (o más) polinomios f, g in tal que ${\displaystyle R\to R/I.}$ ${\displaystyle f\in R[X]}$ ${\displaystyle f{\bmod {I}},}$ ${\displaystyle (R/I)[X]=R[X]/IR[X]}$ ${\displaystyle R/I.}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}}$ ${\displaystyle f-g\in IR[X].}$ ${\displaystyle h\in R[X],}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}.}$

El proceso de elevación es el inverso de la reducción. Es decir, los objetos dados que dependen de elementos del proceso de elevación reemplazan estos elementos por elementos de (o de para algunos k > 1 ) que se asignan a ellos de una manera que mantiene las propiedades de los objetos. ${\displaystyle R/I,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I^{k}}$

Por ejemplo, dado un polinomio y un módulo de factorización I expresado como elevación, este módulo de factorización consiste en encontrar polinomios tales que y el lema de Hensel afirma que tal elevación siempre es posible en condiciones suaves; ver la siguiente sección. ${\displaystyle h\in R[X]}$ ${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}},}$ ${\displaystyle I^{k}}$ ${\displaystyle f',g'\in R[X]}$ ${\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}},}$ ${\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}},}$ ${\textstyle h\equiv f'g'{\pmod {I^{k}}}.}$

Declaración

Originalmente, el lema de Hensel se planteó (y demostró) para elevar un módulo de factorización de un número primo p de un polinomio sobre los números enteros a un módulo de factorización de cualquier potencia de p y a una factorización sobre los enteros p -ádicos . Esto se puede generalizar fácilmente, con la misma prueba para el caso en el que los números enteros se reemplazan por cualquier anillo conmutativo , el número primo se reemplaza por un ideal máximo y los enteros p -ádicos se reemplazan por la terminación con respecto al ideal máximo. . Es esta generalización, que también se utiliza ampliamente, la que se presenta aquí.

Sea un ideal máximo de un anillo conmutativo R , y ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}}$

ser un polinomio con un coeficiente principal que no esté en ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Dado que es un ideal máximo, el anillo cociente es un campo y es un dominio ideal principal y, en particular, un dominio de factorización único , lo que significa que cada polinomio distinto de cero se puede factorizar de una manera única como el producto de un polinomio distinto de cero. elemento de y polinomios irreducibles que son mónicos (es decir, sus coeficientes principales son 1). ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}$ ${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}$ ${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})}$

El lema de Hensel afirma que cada factorización de h módulo en polinomios coprimos puede elevarse de forma única a un módulo de factorización para cada k . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}}$

Más precisamente, con las hipótesis anteriores, si donde f y g son módulos mónicos y coprimos , entonces, para cada entero positivo k hay polinomios mónicos y tales que ${\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle g_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}},\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}},\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}},\end{aligned}}}$

y y son módulos únicos (con estas propiedades) ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle g_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}.}$

Levantando raíces simples

Un caso especial importante es cuando En este caso la hipótesis de coprimalidad significa que r es una raíz simple de Esto da el siguiente caso especial del lema de Hensel, que a menudo también se denomina lema de Hensel. ${\displaystyle f=X-r.}$ ${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}.}$

Con las hipótesis y notaciones anteriores, si r es una raíz simple de entonces r puede elevarse de una manera única a una raíz simple de para cada entero positivo n . Explícitamente, para cada entero positivo n , existe un único tal que y es una raíz simple de ${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}},}$ ${\displaystyle h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}}$ ${\displaystyle r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ ${\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}}$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}.}$

Levantando hasta la finalización ádica

El hecho de que se pueda elevar hasta para cada entero positivo n sugiere "pasar al límite" cuando n tiende al infinito. Esta fue una de las principales motivaciones para introducir los enteros p -ádicos . ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}$

Dado un ideal máximo de un anillo conmutativo R , las potencias de forman una base de vecindades abiertas para una topología en R , que se llama topología ádica . La compleción de esta topología se puede identificar con la compleción del anillo local y con el límite inverso. Esta compleción es un anillo local completo , generalmente denotado cuando R es el anillo de los números enteros, y donde p es un número primo, esta compleción es el anillo de enteros p -ádicos ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}.}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

La definición de compleción como límite inverso y la declaración anterior del lema de Hensel implican que cada factorización en polinomios coprimos por pares módulo de un polinomio puede elevarse únicamente a una factorización de la imagen de h en De manera similar, cada raíz simple de h módulo se puede elevar a una raíz simple de la imagen de h en ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle h\in R[X]}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}$

Prueba

El lema de Hensel generalmente se demuestra incrementalmente elevando una factorización a una factorización superior (levantamiento lineal) o a una factorización superior (levantamiento cuadrático). ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n+1}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{2n}}$

El ingrediente principal de la prueba es que los polinomios coprimos sobre un cuerpo satisfacen la identidad de Bézout . Es decir, si f y g son polinomios coprimos univariados sobre un cuerpo (aquí ), existen polinomios a y b tales que y ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \deg a<\deg g,}$ ${\displaystyle \deg b<\deg f,}$

${\displaystyle af+bg=1.}$

La identidad de Bézout permite definir polinomios coprimos y demostrar el lema de Hensel, incluso si el ideal no es maximal. Por lo tanto, en las siguientes pruebas, se parte de un anillo conmutativo R , un ideal I , un polinomio que tiene un coeficiente principal que es invertible módulo I (es decir, su imagen en es una unidad en ), y la factorización de h módulo I o módulo una potencia de I , tal que los factores satisfacen un módulo de identidad de Bézout I . En estas pruebas, significa ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle h\in R[X]}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}}$ ${\displaystyle A-B\in IR[X].}$

elevación lineal

Sea I un ideal de un anillo conmutativo R y un polinomio univariado con coeficientes en R que tiene un coeficiente principal que es invertible módulo I (es decir, la imagen de in es una unidad en ). ${\displaystyle h\in R[X]}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/I}$

Supongamos que para algún entero positivo k hay una factorización

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}$

tales que f y g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I , en el sentido de que existen tales que Entonces, hay polinomios tales que y ${\displaystyle a,b\in R[X],}$ ${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}.}$ ${\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}$ ${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}.}$

Bajo estas condiciones, y son módulo único. ${\displaystyle \delta _{f}}$ ${\displaystyle \delta _{g}}$ ${\displaystyle I^{k+1}R[X].}$

Además, y satisface la misma identidad de Bézout que f y g , es decir, ${\displaystyle f+\delta _{f}}$ ${\displaystyle g+\delta _{g}}$

$${\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}.}$$

k

La prueba que sigue está escrita para computación y usa solo polinomios con coeficientes en o When y esto permite manipular solo números enteros módulo p . ${\displaystyle \delta _{f}}$ ${\displaystyle \delta _{g}}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I^{k}/I^{k+1}.}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=p\mathbb {Z} ,}$

Prueba: Por hipótesis, es invertible módulo I. Esto significa que existe y tal que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta \in R}$ ${\displaystyle \gamma \in IR[X]}$ ${\displaystyle \alpha \beta =1-\gamma .}$

Sea de grado menor que tal que ${\displaystyle \delta _{h}\in I^{k}R[X],}$ ${\displaystyle \deg h,}$

${\displaystyle \delta _{h}\equiv h-\alpha fg{\pmod {I^{k+1}}}.}$

(Se puede elegir, pero otras opciones pueden conducir a cálculos más simples. Por ejemplo, si y es posible y mejor elegir dónde los coeficientes de son números enteros en el intervalo ) ${\displaystyle \delta _{h}=h-\alpha fg,}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I=p\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \delta _{h}=p^{k}\delta '_{h}}$ ${\displaystyle \delta '_{h}}$ ${\displaystyle [0,p-1].}$

Como g es mónico, la división euclidiana de por g está definida y proporciona q y c tales que y Además, tanto q como c están en De manera similar, sean con y ${\displaystyle a\delta _{h}}$ ${\displaystyle a\delta _{h}=qg+c,}$ ${\displaystyle \deg c<\deg g.}$ ${\displaystyle I^{k}R[X].}$ ${\displaystyle b\delta _{h}=q'f+d,}$ ${\displaystyle \deg d<\deg f,}$ ${\displaystyle q',d\in I^{k}R[X].}$

Uno tiene De hecho, uno tiene ${\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X].}$

${\displaystyle fc+gd=af\delta _{h}+bg\delta _{h}-fg(q+q')\equiv \delta _{h}-fg(q+q'){\pmod {I^{k+1}}}.}$

Como es mónico, el módulo de grados de puede ser menor que solo si ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle I^{k+1}}$ ${\displaystyle fg(q+q')}$ ${\displaystyle \deg fg}$ ${\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X].}$

Por lo tanto, considerando congruencias módulo se tiene ${\displaystyle I^{k+1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\beta d)&(g+\beta c)-h\\&\equiv \alpha fg-h+\alpha \beta (f(a\delta _{h}-qg)+g(b\delta _{h}-q'f))\\&\equiv \delta _{h}(-1+\alpha \beta (af+bg))-\alpha \beta fg(q+q')\\&\equiv 0{\pmod {I^{k+1}}}.\end{aligned}}}$

Entonces, la afirmación de existencia se verifica con

${\displaystyle \delta _{f}=\beta d,\qquad \delta _{g}=\beta c.}$

Unicidad

Sean R , I , h y como a en la sección anterior. Dejar ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I}}}$

ser una factorización en polinomios coprimos (en el sentido anterior), tal La aplicación del levantamiento lineal para muestra la existencia de y tal que y ${\displaystyle \deg f_{0}+\deg g_{0}=\deg h.}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n-1\ldots ,}$ ${\displaystyle \delta _{f}}$ ${\displaystyle \delta _{g}}$ ${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{n}}}.}$

Los polinomios y están definidos de forma única módulo. Esto significa que, si otro par satisface las mismas condiciones, entonces uno tiene ${\displaystyle \delta _{f}}$ ${\displaystyle \delta _{g}}$ ${\displaystyle I^{n}.}$ ${\displaystyle (\delta '_{f},\delta '_{g})}$

${\displaystyle \delta '_{f}\equiv \delta _{f}{\pmod {I^{n}}}\qquad {\text{and}}\qquad \delta '_{g}\equiv \delta _{g}{\pmod {I^{n}}}.}$

Prueba : Dado que un módulo de congruencia implica el mismo módulo de congruencia, se puede proceder por inducción y suponer que se ha demostrado la unicidad para n − 1 , siendo trivial el caso n = 0 . Es decir, se puede suponer que ${\displaystyle I^{n}}$ ${\displaystyle I^{n-1},}$

${\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}\in I^{n-1}R[X]\qquad {\text{and}}\qquad \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n-1}R[X].}$

Por hipótesis, tiene

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})\equiv \alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g}){\pmod {I^{n}}},}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})&-\alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g})\\&=\alpha (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))+\alpha (\delta _{f}(\delta _{g}-\delta '_{g})-\delta _{g}(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X].\end{aligned}}}$

Por hipótesis de inducción, el segundo término de la última suma pertenece y, por tanto, lo mismo ocurre con el primer término. Como es invertible módulo I , existen y tales que Así ${\displaystyle I^{n},}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta \in R}$ ${\displaystyle \gamma \in I}$ ${\displaystyle \alpha \beta =1+\gamma .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\delta _{g}-\delta '_{g})&+g(\delta _{f}-\delta '_{f})\\&=\alpha \beta (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))-\gamma (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X],\end{aligned}}}$

utilizando nuevamente la hipótesis de inducción.

La coprimalidad módulo I implica la existencia de tal que Usando la hipótesis de inducción una vez más, se obtiene ${\displaystyle a,b\in R[X]}$ ${\textstyle 1\equiv af+bg{\pmod {I}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{g}-\delta '_{g}&\equiv (af+bg)(\delta _{g}-\delta '_{g})\\&\equiv g(b(\delta _{g}-\delta '_{g})-a(\delta _{f}-\delta '_{f})){\pmod {I^{n}}}.\end{aligned}}}$

Así, uno tiene un polinomio de grado menor que ese es módulo congruente con el producto del polinomio mónico g y otro polinomio w . Esto sólo es posible si y implica De manera similar, también está en y esto prueba la unicidad. ${\displaystyle \deg g}$ ${\displaystyle I^{n}}$ ${\displaystyle w\in I^{n}R[X],}$ ${\displaystyle \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n}R[X].}$ ${\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}}$ ${\displaystyle I^{n}R[X],}$

elevación cuadrática

El levantamiento lineal permite elevar un módulo de factorización a un módulo de factorización. El levantamiento cuadrático permite elevar directamente a un módulo de factorización a costa de elevar también la identidad de Bézout y de calcular el módulo en lugar del módulo I (si se utiliza la descripción anterior de levantamiento lineal). ${\displaystyle I^{n}}$ ${\displaystyle I^{n+1}.}$ ${\displaystyle I^{2n},}$ ${\displaystyle I^{n}}$

Para elevar hasta módulo para N grande , se puede utilizar cualquiera de los métodos. Si, digamos, un módulo de factorización requiere N − 1 pasos de elevación lineal o solo k − 1 pasos de elevación cuadrática. Sin embargo, en el último caso, el tamaño de los coeficientes que deben manipularse aumenta durante el cálculo. Esto implica que el mejor método de elevación depende del contexto (valor de N , naturaleza de R , algoritmo de multiplicación utilizado, especificidades del hardware , etc.). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle I^{N}}$ ${\displaystyle N=2^{k},}$ ${\displaystyle I^{N}}$

El levantamiento cuadrático se basa en la siguiente propiedad.

Supongamos que para algún entero positivo k hay una factorización

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}$

tales que f y g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I , en el sentido de que existen tales que Entonces, hay polinomios tales que y ${\displaystyle a,b\in R[X],}$ ${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}.}$ ${\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}$ ${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{2k}}}.}$

Además, y satisfacer la identidad de Bézout de la forma ${\displaystyle f+\delta _{f}}$ ${\displaystyle g+\delta _{g}}$

${\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I^{2k}}}.}$

(Esto es necesario para permitir iteraciones de elevación cuadrática).

Prueba : La primera afirmación es exactamente la del levantamiento lineal aplicado con k = 1 al ideal en lugar de ${\displaystyle I^{k}}$ ${\displaystyle I.}$

dejar que uno tenga ${\displaystyle \alpha =af+bg-1\in I^{k}R[X].}$

${\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})=1+\Delta ,}$

dónde

${\displaystyle \Delta =\alpha +a\delta _{f}+b\delta _{g}\in I^{k}R[X].}$

Configuración y uno obtiene ${\displaystyle \delta _{a}=-a\Delta }$ ${\displaystyle \delta _{b}=-b\Delta ,}$

${\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})=1-\Delta ^{2}\in I^{2k}R[X],}$

lo que prueba la segunda afirmación.

Ejemplo explícito

Dejar ${\displaystyle f(X)=X^{6}-2\in \mathbb {Q} [X].}$

Módulo 2, el lema de Hensel no se puede aplicar ya que la reducción del módulo 2 es simplemente ^{[1] pg 15-16} ${\displaystyle f(X)}$

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}}$

con 6 factores que no son relativamente primos entre sí. Según el criterio de Eisenstein , sin embargo, se puede concluir que el polinomio es irreducible en Over ; por otro lado, se tiene ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X].}$
${\displaystyle k=\mathbb {F} _{7}}$

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}-{\overline {16}}=(X^{3}-{\overline {4}})\;(X^{3}+{\overline {4}})}$

¿Dónde está la raíz cuadrada de 2 pulg ? Como 4 no es un cubo, estos dos factores son irreducibles . De ahí la factorización completa de in y es ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{7},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$ ${\displaystyle X^{6}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}[X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]}$

${\displaystyle f(X)=X^{6}-2=(X^{3}-\alpha )\;(X^{3}+\alpha ),}$

donde es una raíz cuadrada de 2 in que se puede obtener elevando la factorización anterior. Finalmente, en el polinomio se divide en ${\displaystyle \alpha =\ldots 450\,454_{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$
${\displaystyle \mathbb {F} _{727}[X]}$

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=(X-{\overline {3}})\;(X-{\overline {116}})\;(X-{\overline {119}})\;(X-{\overline {608}})\;(X-{\overline {611}})\;(X-{\overline {724}})}$

con todos los factores relativamente primos entre sí, de modo que en y hay 6 factores con los números enteros (no racionales) de 727 ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{727}[X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{727}[X]}$ ${\displaystyle X-\beta }$

${\displaystyle \beta =\left\{{\begin{array}{rrr}3\;+&\!\!\!545\cdot 727\;+&\!\!\!537\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!161\cdot 727^{3}+\ldots \\116\;+&\!\!\!48\cdot 727\;+&\!\!\!130\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!498\cdot 727^{3}+\ldots \\119\;+&\!\!\!593\cdot 727\;+&\!\!\!667\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!659\cdot 727^{3}+\ldots \\608\;+&\!\!\!133\cdot 727\;+&\!\!\!59\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!67\cdot 727^{3}+\ldots \\611\;+&\!\!\!678\cdot 727\;+&\!\!\!596\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!228\cdot 727^{3}+\ldots \\724\;+&\!\!\!181\cdot 727\;+&\!\!\!189\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!565\cdot 727^{3}+\ldots \end{array}}\right.}$

Usar derivados para levantar raíces.

Sea un polinomio con coeficientes enteros (o p -entero ádico), y sean m , k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un número entero tal que ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$

entonces, para cada existe un número entero s tal que ${\displaystyle m>0}$

${\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{and}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}.}$

Además, este s es un módulo único p ^{k + m} y se puede calcular explícitamente como un número entero tal que

${\displaystyle s=r-f(r)\cdot a,}$

¿Dónde es un número entero satisfactorio? ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}.}$

Tenga en cuenta que para que se cumpla la condición. Además, si , entonces pueden existir 0, 1 o varios s (consulte Levantamiento de Hensel a continuación). ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$ ${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$ ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}}$

Derivación

Usamos la expansión de Taylor de f alrededor de r para escribir:

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(s-r)^{n},\qquad c_{n}=f^{(n)}(r)/n!.}$

A partir de aquí vemos que s − r = tp ^k para algún número entero t . Dejar ${\displaystyle r\equiv s{\bmod {p}}^{k},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\left(tp^{k}\right)^{n}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+\sum _{n=2}^{N}c_{n}t^{n}p^{kn}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&g(t)\in \mathbb {Z} [t]\\&=zp^{k}+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\\&=(z+tf'(r))p^{k}+p^{2k}t^{2}g(t)\end{aligned}}}$

Para tenemos: ${\displaystyle m\leqslant k,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}&\Longleftrightarrow (z+tf'(r))p^{k}\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\\&\Longleftrightarrow z+tf'(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow tf'(r)\equiv -z{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow t\equiv -z[f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}&&p\nmid f'(r)\end{aligned}}}$

El supuesto de que no es divisible por p asegura que tiene un mod inverso que es necesariamente único. Por lo tanto, existe una solución para t únicamente módulo y s existe únicamente módulo ${\displaystyle f'(r)}$ ${\displaystyle f'(r)}$ ${\displaystyle p^{m}}$ ${\displaystyle p^{m},}$ ${\displaystyle p^{k+m}.}$

Observaciones

Criterio para polinomios irreducibles

Usando las hipótesis anteriores, si consideramos un polinomio irreducible

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in K[X]}$

tal que entonces ${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$

${\displaystyle |f|=\max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}}$

En particular, para , encontramos en ${\displaystyle f(X)=X^{6}+10X-1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|f(X)|&=\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n}|\}\\&=\max\{0,1,0\}=1\end{aligned}}}$

pero , por tanto, el polinomio no puede ser irreducible. Mientras que en tenemos ambos valores concordantes, lo que significa que el polinomio podría ser irreducible. Para determinar la irreductibilidad se debe emplear el polígono de Newton. ^{[2] : 144} ${\displaystyle \max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]}$

Frobenius

Tenga en cuenta que dado un endomorfismo de Frobenius da un polinomio distinto de cero que tiene derivada cero ${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle y\mapsto y^{p}}$ ${\displaystyle x^{p}-a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-a)&=p\cdot x^{p-1}\\&\equiv 0\cdot x^{p-1}{\bmod {p}}\\&\equiv 0{\bmod {p}}\end{aligned}}}$

por lo tanto, las raíces p -ésimas de no existen en . Porque esto implica que no puede contener la raíz de la unidad . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$

Raíces de unidad

Aunque las raíces p -ésimas de la unidad no están contenidas en , existen soluciones de . Tenga en cuenta que ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle x^{p}-x=x(x^{p-1}-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-x)&=px^{p-1}-1\\&\equiv -1{\bmod {p}}\end{aligned}}}$

nunca es cero, por lo que si existe una solución, necesariamente se eleva a . Porque Frobenius da que todos los elementos distintos de cero son soluciones. De hecho, estas son las únicas raíces de unidad contenidas en . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a^{p}=a,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

levantamiento hensel

Usando el lema, se puede "elevar" una raíz r del polinomio f módulo p ^k a una nueva raíz s módulo p ^{k +1} tal que r ≡ s mod p ^k (tomando m = 1 ; tomando m más grande sigue por inducción ). De hecho, un módulo de raíz p ^{k +1} también es un módulo de raíz p ^k , por lo que el módulo de raíces p ^{k +1} son precisamente los levantamientos de módulo de raíces p ^k . La nueva raíz s es congruente con r módulo p , por lo que la nueva raíz también satisface. Entonces, el levantamiento se puede repetir y, a partir de una solución r _k de, podemos derivar una secuencia de soluciones r _{k +1} , r _{k +2} , . .. de la misma congruencia para potencias sucesivamente mayores de p , siempre que para la raíz inicial r _k . Esto también muestra que f tiene el mismo número de raíces mod p ^k que mod p ^{k +1} , mod p ^{k +2} o cualquier otra potencia superior de p , siempre que las raíces de f mod p ^k sean todas simples. ${\displaystyle f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}.}$ ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$ ${\displaystyle f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}}$

¿Qué sucede con este proceso si r no es un mod raíz simple p ? Suponer que

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}.}$

Entonces implica Es decir, para todos los números enteros t . Por tanto, tenemos dos casos: ${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$ ${\displaystyle f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}.}$ ${\displaystyle f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}}$

• Si entonces no hay elevación de r a una raíz de f ( x ) módulo p ^{k +1} . ${\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$
• Si entonces cada elevación de r al módulo p ^{k +1} es una raíz de f ( x ) módulo p ^{k +1} . ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$

Ejemplo. Para ver ambos casos examinamos dos polinomios diferentes con p = 2 :

${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$y r = 1 . Entonces y Tenemos lo que significa que ningún aumento de 1 al módulo 4 es raíz de f ( x ) módulo 4. ${\displaystyle f(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$ ${\displaystyle f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}}$

${\displaystyle g(x)=x^{2}-17}$y r = 1 . Entonces y Sin embargo, ya que podemos elevar nuestra solución al módulo 4 y ambos elevaciones (es decir, 1, 3) son soluciones. La derivada sigue siendo 0 módulo 2, por lo que a priori no sabemos si podemos elevarlos al módulo 8, pero de hecho podemos, ya que g (1) es 0 mod 8 y g (3) es 0 mod 8, dando soluciones en 1, 3, 5 y 7 mod 8. Dado que de estos solo g (1) y g (7) son 0 mod 16, podemos elevar solo 1 y 7 al módulo 16, dando 1, 7, 9 y 15 mod 16. De estos, sólo 7 y 9 dan g ( x ) = 0 mod 32 , por lo que pueden elevarse dando 7, 9, 23 y 25 mod 32. Resulta que para cada entero k ≥ 3 , hay son cuatro elevaciones de 1 mod 2 a una raíz de g ( x ) mod 2 ^k . ${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$ ${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {4}},}$

Lema de Hensel para números p -ádicos

En los números p -ádicos, donde podemos entender los números racionales módulo potencias de p siempre y cuando el denominador no sea un múltiplo de p , la recursividad de r _k (raíces mod p ^k ) a r _{k +1} (raíces mod p ^{k +1} ) se puede expresar de una manera mucho más intuitiva. En lugar de elegir t como un número entero (y) que resuelve la congruencia

${\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m},}$

sea ​​t el número racional (el p ^k aquí no es realmente un denominador ya que f ( r _k ) es divisible por p ^k ):

${\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k}).}$

Luego establezca

${\displaystyle r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}.}$

Esta fracción puede no ser un número entero, pero es un entero p -ádico, y la secuencia de números r _k converge en los enteros p -ádicos a una raíz de f ( x ) = 0. Además, la fórmula recursiva mostrada para la (nuevo) número r _{k +1} en términos de r _k es precisamente el método de Newton para encontrar raíces de ecuaciones en números reales.

Al trabajar directamente en los p -ádicos y usar el valor absoluto p -ádico , existe una versión del lema de Hensel que se puede aplicar incluso si comenzamos con una solución de f ( a ) ≡ 0 mod p tal que solo necesitamos asegúrese de que el número no sea exactamente 0. Esta versión más general es la siguiente: si hay un número entero a que satisface: ${\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}.}$ ${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle |f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2},}$

entonces hay un entero p -ádico b único tal f ( b ) = 0 y La construcción de b equivale a mostrar que la recursividad del método de Newton con valor inicial a converge en los p -ádicos y dejamos que b sea el límite. La singularidad de b como raíz que se ajusta a la condición necesita trabajo adicional. ${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}.}$ ${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}}$

El enunciado del lema de Hensel dado anteriormente (tomando ) es un caso especial de esta versión más general, ya que las condiciones de que f ( a ) ≡ 0 mod p y dicen que y ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle |f(a)|_{p}<1}$ ${\displaystyle |f'(a)|_{p}=1.}$

Ejemplos

Supongamos que p es un número primo impar y a es un módulo de residuo cuadrático distinto de cero p . Entonces el lema de Hensel implica que a tiene una raíz cuadrada en el anillo de p -enteros ádicos. De hecho, si r es una raíz cuadrada de un módulo p entonces: ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-a.}$

${\displaystyle f(r)=r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{and}}\quad f'(r)=2r\not \equiv 0{\bmod {p}},}$

donde la segunda condición depende del hecho de que p es impar. La versión básica del lema de Hensel nos dice que a partir de r ₁ = r podemos construir recursivamente una secuencia de números enteros tal que: ${\displaystyle \{r_{k}\}}$

${\displaystyle r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k},\quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}.}$

Esta secuencia converge a algún entero p -ádico b que satisface b ² = a . De hecho, b es la raíz cuadrada única de a en congruente con r ₁ módulo p . Por el contrario, si a es un cuadrado perfecto y no es divisible por p, entonces es un residuo cuadrático distinto de cero mod p . Tenga en cuenta que la ley de reciprocidad cuadrática permite probar fácilmente si a es un residuo cuadrático mod p distinto de cero , por lo que obtenemos una forma práctica de determinar qué números p -ádicos (para p impar) tienen una raíz cuadrada p -ádica, y puede ampliarse para cubrir el caso p = 2 utilizando la versión más general del lema de Hensel (más adelante se proporciona un ejemplo con raíces cuadradas 2-ádicas de 17). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Para hacer más explícita la discusión anterior, encontremos una "raíz cuadrada de 2" (la solución de ) en los números enteros de 7 ádicos. Una solución del módulo 7 es 3 (también podríamos tomar 4), así que configuramos . El lema de Hensel nos permite entonces encontrar lo siguiente: ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ ${\displaystyle r_{1}=3}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(r_{1})&=3^{2}-2=7\\f(r_{1})/p^{1}&=7/7=1\\f'(r_{1})&=2r_{1}=6\end{aligned}}}$

En base a lo cual la expresión

${\displaystyle tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}},}$

se convierte en:

${\displaystyle t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}}$

lo que implica ahora: ${\displaystyle t=1.}$

${\displaystyle r_{2}=r_{1}+tp^{1}=3+1\cdot 7=10=13_{7}.}$

Y efectivamente, (si hubiéramos usado la recursividad del método de Newton directamente en los 7-ádicos, entonces y ) ${\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}.}$ ${\displaystyle r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6,}$ ${\displaystyle 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}.}$

Podemos continuar y encontrar . Cada vez que realizamos el cálculo (es decir, para cada valor sucesivo de k ), se suma un dígito más de base 7 para la siguiente potencia superior de 7. En los enteros de 7 ádicos esta secuencia converge, y el límite es un cuadrado raíz de 2 en la que tiene expansión inicial de 7 ádicos ${\displaystyle r_{3}=108=3+7+2\cdot 7^{2}=213_{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$

${\displaystyle 3+7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+7^{4}+2\cdot 7^{5}+7^{6}+2\cdot 7^{7}+4\cdot 7^{8}+\cdots .}$

Si comenzamos con la elección inicial entonces el lema de Hensel produciría una raíz cuadrada de 2 que es congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) y de hecho esta segunda raíz cuadrada sería el negativo de la primera raíz cuadrada. (lo cual es consistente con 4 = −3 mod 7). ${\displaystyle r_{1}=4}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$

Como ejemplo donde la versión original del lema de Hensel no es válida pero la versión más general es, let and Then and so ${\displaystyle f(x)=x^{2}-17}$ ${\displaystyle a=1.}$ ${\displaystyle f(a)=-16}$ ${\displaystyle f'(a)=2,}$

${\displaystyle |f(a)|_{2}<|f'(a)|_{2}^{2},}$

lo que implica que hay un entero b 2-ádico único que satisface

${\displaystyle b^{2}=17\quad {\text{and}}\quad |b-a|_{2}<|f'(a)|_{2}={\frac {1}{2}},}$

es decir, b ≡ 1 mod 4. Hay dos raíces cuadradas de 17 en los enteros 2-ádicos, que difieren por un signo, y aunque son congruentes mod 2, no son congruentes mod 4. Esto es consistente con la versión general de Hensel. El lema solo nos da una raíz cuadrada 2-ádica única de 17 que es congruente con 1 mod 4 en lugar de mod 2. Si hubiéramos comenzado con la raíz aproximada inicial a = 3, entonces podríamos aplicar nuevamente el lema de Hensel más general para encontrar una única raíz cuadrada de 2 ádicas de 17 que es congruente con 3 mod 4. Esta es la otra raíz cuadrada de 2 ádicas de 17.

En términos de elevar las raíces del módulo 2 ^k a 2 ^{k +1} , los levantamientos que comienzan con la raíz 1 mod 2 son los siguientes: ${\displaystyle x^{2}-17}$

1 mod 2 → 1, 3 mod 4

1 mod 4 → 1, 5 mod 8 y 3 mod 4 → 3, 7 mod 8

1 mod 8 → 1, 9 mod 16 y 7 mod 8 → 7, 15 mod 16, mientras que 3 mod 8 y 5 mod 8 no se elevan a las raíces mod 16

9 mod 16 → 9, 25 mod 32 y 7 mod 16 → 7, 23 mod 16, mientras que 1 mod 16 y 15 mod 16 no se elevan a las raíces mod 32.

Por cada k al menos 3, hay cuatro raíces de x ² − 17 mod 2 ^k , pero si observamos sus expansiones 2-ádicas podemos ver que en pares convergen a solo dos límites 2-ádicos. Por ejemplo, las cuatro raíces mod 32 se dividen en dos pares de raíces, cada una de las cuales tiene el mismo aspecto mod 16:

9 = 1 + 2 ³ y 25 = 1 + 2 ³ + 2 ⁴ .

7 = 1 + 2 + 2 ² y 23 = 1 + 2 + 2 ² + 2 ⁴ .

Las raíces cuadradas 2-ádicas de 17 tienen expansiones

${\displaystyle 1+2^{3}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{9}+2^{10}+\cdots }$

${\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{4}+2^{8}+2^{11}+\cdots }$

Otro ejemplo en el que podemos usar la versión más general del lema de Hensel pero no la versión básica es una prueba de que cualquier entero de 3 ádicos c ≡ 1 mod 9 es un cubo en Sea y tomemos la aproximación inicial a = 1. El lema básico de Hensel no puede usarse para encontrar raíces de f ( x ) ya que para cada r . Para aplicar la versión general del lema de Hensel queremos lo que significa . Es decir, si c ≡ 1 mod 27 entonces el lema general de Hensel nos dice que f ( x ) tiene una raíz de 3 ádicos, por lo que c es un cubo de 3 ádicos. Sin embargo, queríamos obtener este resultado bajo la condición más débil de que c ≡ 1 mod 9. Si c ≡ 1 mod 9 entonces c ≡ 1, 10 o 19 mod 27. Podemos aplicar el lema general de Hensel tres veces dependiendo del valor. de c mod 27: si c ≡ 1 mod 27 entonces usa a = 1, si c ≡ 10 mod 27 entonces usa a = 4 (ya que 4 es una raíz de f ( x ) mod 27), y si c ≡ 19 mod 27 luego use a = 7. (No es cierto que cada c ≡ 1 mod 3 sea un cubo de 3 ádicos, por ejemplo, 4 no es un cubo de 3 ádicos ya que no es un cubo mod 9.) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}.}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}-c}$ ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {3}}}$ ${\displaystyle |f(1)|_{3}<|f'(1)|_{3}^{2},}$ ${\displaystyle c\equiv 1{\bmod {2}}7.}$

De manera similar, después de un trabajo preliminar, el lema de Hensel se puede usar para demostrar que para cualquier número primo impar p , cualquier p -ádico entero c congruente con 1 módulo p ² es una p -ésima potencia en (Esto es falso para p = 2.) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

Generalizaciones

Supongamos que A es un anillo conmutativo , completo respecto de un ideal y que a ∈ A se llame "raíz aproximada" de f , si ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle f(x)\in A[x].}$

${\displaystyle f(a)\equiv 0{\bmod {f}}'(a)^{2}{\mathfrak {m}}.}$

Si f tiene una raíz aproximada entonces tiene una raíz exacta b ∈ A "cerca de" a ; eso es,

${\displaystyle f(b)=0\quad {\text{and}}\quad b\equiv a{\bmod {\mathfrak {m}}}.}$

Además, si no es divisor cero, entonces b es único. ${\displaystyle f'(a)}$

Este resultado se puede generalizar a varias variables de la siguiente manera:

Teorema. Sea A un anillo conmutativo completo con respecto al ideal. Sea un sistema de n polinomios en n variables sobre A. Véalo como un mapeo de An a ^sí mismo y denotemos su matriz jacobiana . Supongamos que a = ( a ₁ , ..., a _n ) ∈ A ⁿ es una solución aproximada a f = 0 en el sentido de que ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A.}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\ldots ,f_{n}),}$ ${\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {(}}\det J_{\mathbf {f} }(a))^{2}{\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}$

Entonces hay algún b = ( b ₁ , ..., b _n ) ∈ A ⁿ que satisface f ( b ) = 0 , es decir,

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {b} )=0,\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}$

Además, esta solución es "cercana" a a en el sentido de que

${\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\det }}J_{\mathbf {f} }(a){\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}$

Como caso especial, si para todo i y es una unidad en A , entonces hay una solución para f ( b ) = 0 con para todo i . ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {\mathfrak {m}}}}$ ${\displaystyle \det J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\mathfrak {m}}}}$

Cuando n = 1, a = a es un elemento de A y las hipótesis de este lema de Hensel multivariable se reducen a las que se establecieron en el lema de Hensel de una variable. ${\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )=J_{f}(a)=f'(a).}$

Conceptos relacionados

La integridad de un anillo no es una condición necesaria para que tenga la propiedad henseliana: Goro Azumaya en 1950 definió un anillo local conmutativo que satisfacía la propiedad henseliana para que el ideal máximo m fuera un anillo henseliano .

Masayoshi Nagata demostró en la década de 1950 que para cualquier anillo local conmutativo ^A con ideal máximo m siempre existe un anillo más pequeño ^Ah que ^{contiene A tal que Ah} es henseliano con respecto a m Ah . Esta Ah se llama Henselización de A.^​ Si A es noetheriano , Ah también ^lo será, y Ah es manifiestamente algebraico ya ^que se construye como un límite de vecindades étale . Esto significa que Ah suele ser mucho más pequeño que la terminación , ^aunque aún conserva la propiedad henseliana y permanece en la misma categoría ^{[ aclaración necesaria ]} .

Ver también

• Teorema de Hasse-Minkowski
• polígono de newton
• Campo localmente compacto
• Lema de levantamiento del exponente

Referencias

1. Gras, Georges (2003). Teoría del campo de clase: de la teoría a la práctica. Berlina. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC  883382066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC  851391469.
3. Conrado, Keith. "Lema de Hensel" (PDF) . pag. 4.

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94269-8, señor  1322960
• Milne, JG (1980), Étale cohomología , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7