En álgebra , un polinomio mónico es un polinomio univariado distinto de cero (es decir, un polinomio de una sola variable) en el que el coeficiente principal (el coeficiente distinto de cero de mayor grado) es igual a 1. Es decir, un polinomio mónico es uno que se puede escribir como [1]
con
Los polinomios mónicos son muy utilizados en álgebra y teoría de números , ya que producen muchas simplificaciones y evitan divisiones y denominadores. A continuación se muestran algunos ejemplos.
Cada polinomio está asociado a un polinomio mónico único. En particular, la propiedad de factorización única de los polinomios se puede expresar como: Cada polinomio se puede factorizar de forma única como el producto de su coeficiente principal y un producto de polinomios mónicos irreducibles .
Las fórmulas de Vieta son más simples en el caso de polinomios mónicos: La i -ésima función simétrica elemental de las raíces de un polinomio mónico de grado n es igual a donde es el coeficiente de la (n−i) -ésima potencia del indeterminado .
La división euclidiana de un polinomio por un polinomio mónico no introduce divisiones de coeficientes, por lo que se define para polinomios con coeficientes en un anillo conmutativo .
Los números enteros algebraicos se definen como las raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros.
Todo polinomio univariante distinto de cero ( polinomio con una única indeterminación ) se puede escribir
donde son los coeficientes del polinomio, y el coeficiente principal no es cero. Por definición, un polinomio de este tipo es mónico si
Un producto de polinomios mónicos es mónico. Un producto de polinomios es mónico si y solo si el producto de los coeficientes principales de los factores es igual a 1 .
Esto implica que los polinomios mónicos en un anillo polinomial univariado sobre un anillo conmutativo forman un monoide bajo la multiplicación de polinomios.
Dos polinomios mónicos están asociados si y sólo si son iguales, ya que la multiplicación de un polinomio por una constante distinta de cero produce un polinomio con esta constante como su coeficiente principal.
La divisibilidad induce un orden parcial en los polinomios mónicos, lo que resulta casi inmediatamente de las propiedades anteriores.
Sea una ecuación polinómica , donde P es un polinomio univariado de grado n . Si se dividen todos los coeficientes de P por su coeficiente principal se obtiene una nueva ecuación polinómica que tiene las mismas soluciones y consiste en igualar a cero un polinomio mónico.
Por ejemplo, la ecuación
es equivalente a la ecuación mónica
Cuando los coeficientes no están especificados, o pertenecen a un campo donde la división no da como resultado fracciones (como o un campo finito ), esta reducción a ecuaciones mónicas puede proporcionar una simplificación. Por otro lado, como se muestra en el ejemplo anterior, cuando los coeficientes son números enteros explícitos, el polinomio mónico asociado es generalmente más complicado. Por lo tanto, a menudo se utilizan polinomios primitivos en lugar de polinomios mónicos cuando se trabaja con coeficientes enteros.
Las ecuaciones polinómicas mónicas son la base de la teoría de los números enteros algebraicos y, más generalmente, de los elementos integrales .
Sea R un subanillo de un cuerpo F ; esto implica que R es un dominio integral . Un elemento a de F es integral sobre R si es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en R .
Un número complejo que es integral sobre los enteros se llama entero algebraico . Esta terminología está motivada por el hecho de que los enteros son exactamente los números racionales que también son enteros algebraicos. Esto resulta del teorema de la raíz racional , que afirma que, si el número racional es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces q es un divisor del coeficiente principal; por lo tanto, si el polinomio es mónico, entonces y el número es un entero. Por el contrario, un entero p es una raíz del polinomio mónico.
Se puede demostrar que, si dos elementos de un cuerpo F son integrales sobre un subanillo R de F , entonces la suma y el producto de estos elementos también son integrales sobre R . De ello se deduce que los elementos de F que son integrales sobre R forman un anillo, llamado clausura integral de R en K . Un dominio integral que es igual a su clausura integral en su cuerpo de fracciones se llama dominio integralmente cerrado .
Estos conceptos son fundamentales en la teoría de números algebraicos . Por ejemplo, muchas de las numerosas demostraciones erróneas del Último Teorema de Fermat que se han escrito durante más de tres siglos eran erróneas porque los autores suponían equivocadamente que los números enteros algebraicos en un cuerpo de números algebraicos tienen factorización única .
Por lo general, el término mónico no se emplea para polinomios de varias variables. Sin embargo, un polinomio de varias variables puede considerarse como un polinomio de una variable cuyos coeficientes son polinomios de las otras variables. Por lo tanto, el hecho de que sea mónico depende de la elección de una variable "principal". Por ejemplo, el polinomio
es mónico, si se considera como un polinomio en x con coeficientes que son polinomios en y :
pero no es monótono cuando se considera como un polinomio en y con coeficientes polinomiales en x :
En el contexto de las bases de Gröbner , el orden de un monomio es generalmente fijo. En este caso, se puede decir que un polinomio es mónico si tiene 1 como coeficiente principal (para el orden del monomio).
Para cada definición, un producto de polinomios mónicos es mónico y, si los coeficientes pertenecen a un cuerpo , cada polinomio está asociado exactamente a un polinomio mónico.
