En matemáticas , un polinomio es una expresión matemática que consta de indeterminados (también llamados variables ) y coeficientes , que involucra solo las operaciones de suma , resta , multiplicación y potencias enteras positivas de variables. Un ejemplo de polinomio de una única x indeterminada es x 2 − 4 x + 7 . Un ejemplo con tres indeterminados es x 3 + 2 xyz 2 − yz + 1 .
Los polinomios aparecen en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas , que codifican una amplia gama de problemas, desde problemas verbales elementales hasta problemas científicos complicados; se utilizan para definir funciones polinómicas , que aparecen en entornos que van desde la química y la física básicas hasta la economía y las ciencias sociales ; y se utilizan en cálculo y análisis numérico para aproximar otras funciones. En matemáticas avanzadas, los polinomios se utilizan para construir anillos polinómicos y variedades algebraicas , que son conceptos centrales en álgebra y geometría algebraica .
La palabra polinomio une dos raíces diversas : la griega poli , que significa "muchos", y la latina nomen , o "nombre". Se derivó del término binomial reemplazando la raíz latina bi- por la griega poli- . Es decir, significa una suma de muchos términos (muchos monomios ). La palabra polinomio se utilizó por primera vez en el siglo XVII. [1]
La x que aparece en un polinomio comúnmente se llama variable o indeterminada . Cuando se considera el polinomio como expresión, x es un símbolo fijo que no tiene ningún valor (su valor es "indeterminado"). Sin embargo, cuando se considera la función definida por el polinomio, entonces x representa el argumento de la función y, por lo tanto, se denomina "variable". Muchos autores utilizan estas dos palabras indistintamente.
Un polinomio P en el indeterminado x comúnmente se denota como P o como P ( x ). Formalmente, el nombre del polinomio es P , no P ( x ), pero el uso de la notación funcional P ( x ) data de una época en la que la distinción entre un polinomio y la función asociada no estaba clara. Además, la notación funcional suele ser útil para especificar, en una sola frase, un polinomio y su indeterminado. Por ejemplo, "sea P ( x ) un polinomio" es una abreviatura de "sea P un polinomio en el indeterminado x ". Por otro lado, cuando no es necesario enfatizar el nombre del indeterminado, muchas fórmulas son mucho más simples y fáciles de leer si el nombre del indeterminado no aparece en cada aparición del polinomio.
La ambigüedad de tener dos notaciones para un solo objeto matemático puede resolverse formalmente considerando el significado general de la notación funcional para polinomios. Si a denota un número, una variable, otro polinomio o, más generalmente, cualquier expresión, entonces P ( a ) denota, por convención, el resultado de sustituir a por x en P . Así, el polinomio P define la función
Más específicamente, cuando a es el indeterminado x , entonces la imagen de x por esta función es el polinomio P mismo (sustituir x por x no cambia nada). En otras palabras,
Una expresión polinómica es una expresión que se puede construir a partir de constantes y símbolos llamados variables o indeterminadas mediante suma , multiplicación y exponenciación a una potencia entera no negativa . Las constantes son generalmente números , pero pueden ser cualquier expresión que no involucre los indeterminados y representen objetos matemáticos que se pueden sumar y multiplicar. Se considera que dos expresiones polinómicas definen el mismo polinomio si pueden transformarse una en otra aplicando las propiedades habituales de conmutatividad , asociatividad y distributividad de la suma y la multiplicación. Por ejemplo y son dos expresiones polinomiales que representan el mismo polinomio; entonces uno tiene la igualdad .
Un polinomio en una única x indeterminada siempre se puede escribir (o reescribir) en la forma
Esto se puede expresar de forma más concisa utilizando la notación sumatoria :
El exponente de un indeterminado en un término se llama grado de ese indeterminado en ese término; el grado del término es la suma de los grados de los indeterminados en ese término, y el grado de un polinomio es el grado más grande de cualquier término con coeficiente distinto de cero. [3] Debido a que x = x 1 , el grado de un indeterminado sin exponente escrito es uno.
Un término sin indeterminados y un polinomio sin indeterminados se denominan, respectivamente, término constante y polinomio constante . [b] El grado de un término constante y de un polinomio constante distinto de cero es 0. El grado del polinomio cero 0 (que no tiene ningún término) generalmente se trata como no definido (pero véase más adelante). [4]
Por ejemplo:
Al formar una suma de varios términos se obtiene un polinomio. Por ejemplo, el siguiente es un polinomio:
A los polinomios de pequeño grado se les han dado nombres específicos. Un polinomio de grado cero es un polinomio constante , o simplemente una constante . Los polinomios de grado uno, dos o tres son respectivamente polinomios lineales, polinomios cuadráticos y polinomios cúbicos . [3] Para grados superiores, los nombres específicos no se usan comúnmente, aunque a veces se usan polinomio cuártico (para el grado cuatro) y polinomio quíntico (para el grado cinco). Los nombres de los grados pueden aplicarse al polinomio o a sus términos. Por ejemplo, el término 2 x en x 2 + 2 x + 1 es un término lineal en un polinomio cuadrático.
El polinomio 0, que puede considerarse que no tiene ningún término, se llama polinomio cero . A diferencia de otros polinomios constantes, su grado no es cero. Más bien, el grado del polinomio cero se deja explícitamente sin definir o se define como negativo (ya sea −1 o −∞). [5] El polinomio cero también es único porque es el único polinomio en un indeterminado que tiene un número infinito de raíces . La gráfica del polinomio cero, f ( x ) = 0 , es el eje x .
En el caso de polinomios en más de un indeterminado, un polinomio se llama homogéneo de grado n si todos sus términos distintos de cero tienen grado n . El polinomio cero es homogéneo y, como polinomio homogéneo, su grado no está definido. [c] Por ejemplo, x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 3 x 5 es homogéneo de grado 5. Para más detalles, consulte Polinomio homogéneo .
La ley conmutativa de la suma se puede utilizar para reordenar términos en cualquier orden preferido. En los polinomios con un indeterminado, los términos suelen estar ordenados según el grado, ya sea en "potencias descendentes de x ", con el término de mayor grado primero, o en "potencias ascendentes de x ". El polinomio 3 x 2 − 5 x + 4 se escribe en potencias descendentes de x . El primer término tiene coeficiente 3 , x indeterminada y exponente 2 . En el segundo término, el coeficiente es −5 . El tercer término es una constante. Debido a que el grado de un polinomio distinto de cero es el grado más grande de cualquier término, este polinomio tiene grado dos. [6]
Dos términos con los mismos indeterminados elevados a las mismas potencias se denominan "términos similares" o "términos semejantes", y pueden combinarse, utilizando la ley distributiva , en un solo término cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los términos que fueron combinados. Puede suceder que esto haga que el coeficiente sea 0. [7] Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos con coeficientes distintos de cero, de modo que un polinomio de un término se llama monomio , [ d] un polinomio de dos términos se llama binomio , y un polinomio de tres términos se llama trinomio .
Un polinomio real es un polinomio con coeficientes reales . Cuando se utiliza para definir una función , el dominio no está tan restringido. Sin embargo, una función polinómica real es una función de reales a reales que está definida por un polinomio real. De manera similar, un polinomio entero es un polinomio con coeficientes enteros y un polinomio complejo es un polinomio con coeficientes complejos .
Un polinomio en un indeterminado se llama polinomio univariado , un polinomio en más de un indeterminado se llama polinomio multivariado . Un polinomio con dos indeterminados se llama polinomio bivariado . [2] Estas nociones se refieren más al tipo de polinomios con los que generalmente se trabaja que a polinomios individuales; por ejemplo, cuando se trabaja con polinomios univariados, no se excluyen los polinomios constantes (que pueden resultar de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando, los polinomios constantes no contienen ningún indeterminado en absoluto. Es posible clasificar además los polinomios multivariados como bivariados , trivariados , etc., según el número máximo de indeterminados permitido. Nuevamente, para que el conjunto de objetos bajo consideración sea cerrado bajo resta, un estudio de polinomios trivariados generalmente permite polinomios bivariados, y así sucesivamente. También es común decir simplemente "polinomios en x , y y z ", enumerando los indeterminados permitidos.
Los polinomios se pueden sumar usando la ley asociativa de la suma (agrupando todos sus términos en una sola suma), posiblemente seguido de reordenamiento (usando la ley conmutativa ) y combinación de términos similares. [7] [8] Por ejemplo, si
La resta de polinomios es similar.
Los polinomios también se pueden multiplicar. Para expandir el producto de dos polinomios a una suma de términos, se aplica repetidamente la ley distributiva, lo que resulta en que cada término de un polinomio se multiplica por cada término del otro. [7] Por ejemplo, si
Dado un polinomio de una sola variable y otro polinomio g de cualquier número de variables, la composición se obtiene sustituyendo cada copia de la variable del primer polinomio por la del segundo polinomio. [4] Por ejemplo, si y entonces
La división de un polinomio por otro no suele ser un polinomio. En cambio, tales razones son una familia más general de objetos, llamados fracciones racionales , expresiones racionales o funciones racionales , según el contexto. [11] Esto es análogo al hecho de que la razón de dos números enteros es un número racional , no necesariamente un número entero. [12] [13] Por ejemplo, la fracción 1/( x 2 + 1) no es un polinomio y no puede escribirse como una suma finita de potencias de la variable x .
Para polinomios de una variable, existe la noción de división euclidiana de polinomios , generalizando la división euclidiana de números enteros. [e] Esta noción de división a ( x )/ b ( x ) da como resultado dos polinomios, un cociente q ( x ) y un resto r ( x ) , tales que a = b q + r y grado ( r ) < grado ( b ) . El cociente y el resto se pueden calcular mediante cualquiera de varios algoritmos, incluida la división larga polinomial y la división sintética . [14]
Cuando el denominador b ( x ) es mónico y lineal, es decir, b ( x ) = x − c para alguna constante c , entonces el teorema del resto polinómico afirma que el resto de la división de a ( x ) por b ( x ) es la evaluación a ( c ) . [13] En este caso, el cociente puede calcularse mediante la regla de Ruffini , un caso especial de división sintética. [15]
Todos los polinomios con coeficientes en un dominio de factorización único (por ejemplo, los números enteros o un campo ) también tienen una forma factorizada en la que el polinomio se escribe como un producto de polinomios irreducibles y una constante. Esta forma factorizada es única hasta el orden de los factores y su multiplicación por una constante invertible. En el caso del cuerpo de números complejos , los factores irreducibles son lineales. Sobre los números reales , tienen el grado uno o dos. Sobre los números enteros y racionales los factores irreducibles pueden tener cualquier grado. [16] Por ejemplo, la forma factorizada de
El cálculo de la forma factorizada, llamado factorización , es, en general, demasiado difícil para realizarlo mediante cálculo escrito a mano. Sin embargo, la mayoría de los sistemas de álgebra informática cuentan con algoritmos eficientes de factorización polinomial .
Calcular derivadas e integrales de polinomios es particularmente sencillo, en comparación con otros tipos de funciones. La derivada del polinomio.
Para polinomios cuyos coeficientes provienen de configuraciones más abstractas (por ejemplo, si los coeficientes son números enteros módulo algún número primo p , o elementos de un anillo arbitrario), la fórmula para la derivada aún se puede interpretar formalmente, entendiéndose que el coeficiente ka k significa la suma de k copias de a k . Por ejemplo, sobre los números enteros módulo p , la derivada del polinomio x p + x es el polinomio 1 . [17]
Una función polinómica es una función que se puede definir evaluando un polinomio. Más precisamente, una función f de un argumento de un dominio dado es una función polinómica si existe un polinomio
Por ejemplo, la función f , definida por
Cada función polinómica es continua , suave y entera .
La evaluación de un polinomio es el cálculo de la función polinomial correspondiente; es decir, la evaluación consiste en sustituir un valor numérico a cada indeterminado y realizar las multiplicaciones y sumas indicadas.
Para polinomios en un indeterminado, la evaluación suele ser más eficiente (menor número de operaciones aritméticas a realizar) utilizando el método de Horner , que consiste en reescribir el polinomio como
Una función polinómica en una variable real se puede representar mediante una gráfica .
Una función polinómica no constante tiende al infinito cuando la variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto ). Si el grado es mayor que uno, la gráfica no tiene ninguna asíntota . Tiene dos ramas parabólicas con dirección vertical (una rama para x positiva y otra para x negativa ).
Las gráficas polinómicas se analizan en cálculo utilizando intersecciones, pendientes, concavidad y comportamiento final.
Una ecuación polinómica , también llamada ecuación algebraica , es una ecuación de la forma [18]
Al considerar ecuaciones, las indeterminadas (variables) de los polinomios también se llaman incógnitas , y las soluciones son los posibles valores de las incógnitas para las que la igualdad es cierta (en general puede existir más de una solución). Una ecuación polinómica contrasta con una identidad polinómica como ( x + y )( x − y ) = x 2 − y 2 , donde ambas expresiones representan el mismo polinomio en diferentes formas y, como consecuencia, cualquier evaluación de ambos miembros da una igualdad válida.
En álgebra elemental , se enseñan métodos como la fórmula cuadrática para resolver todas las ecuaciones polinomiales de primer y segundo grado en una variable. También existen fórmulas para las ecuaciones cúbicas y cuárticas . Para grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini afirma que no puede existir una fórmula general en los radicales. Sin embargo, se pueden utilizar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar aproximaciones numéricas de las raíces de una expresión polinómica de cualquier grado.
El número de soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes reales no puede exceder el grado, y es igual al grado cuando se cuentan las soluciones complejas con su multiplicidad . Este hecho se llama teorema fundamental del álgebra .
Una raíz de un polinomio univariado distinto de cero P es un valor a de x tal que P ( a ) = 0 . En otras palabras, una raíz de P es una solución de la ecuación polinómica P ( x ) = 0 o un cero de la función polinómica definida por P . En el caso del polinomio cero, cada número es un cero de la función correspondiente y rara vez se considera el concepto de raíz.
Un número a es raíz de un polinomio P si y sólo si el polinomio lineal x − a divide a P , es decir, si existe otro polinomio Q tal que P = ( x − a ) Q . Puede suceder que una potencia (mayor que 1 ) de x − a divida a P ; en este caso, a es una raíz múltiple de P y, en caso contrario, a es una raíz simple de P. Si P es un polinomio distinto de cero, existe una potencia más alta m tal que ( x − a ) m divide a P , lo que se denomina multiplicidad de a como raíz de P. El número de raíces de un polinomio P distinto de cero , contadas con sus respectivas multiplicidades, no puede exceder el grado de P , [19] y es igual a este grado si se consideran todas las raíces complejas (esto es consecuencia del teorema fundamental del álgebra ). Los coeficientes de un polinomio y sus raíces se relacionan mediante las fórmulas de Vieta .
Algunos polinomios, como x 2 + 1 , no tienen raíces entre los números reales . Sin embargo, si el conjunto de soluciones aceptadas se expande a los números complejos , todo polinomio no constante tiene al menos una raíz; este es el teorema fundamental del álgebra . Al dividir sucesivamente los factores x − a , se ve que cualquier polinomio con coeficientes complejos se puede escribir como una constante (su coeficiente principal) multiplicado por un producto de dichos factores polinomiales de grado 1; como consecuencia, el número de raíces (complejas) contadas con sus multiplicidades es exactamente igual al grado del polinomio.
Puede haber varios significados de "resolver una ecuación" . Es posible que deseemos expresar las soluciones como números explícitos; por ejemplo, la solución única de 2 x − 1 = 0 es 1/2 . Esto es, en general, imposible para ecuaciones de grado mayor que uno y, desde la antigüedad, los matemáticos han buscado expresar las soluciones como expresiones algebraicas ; por ejemplo, la proporción áurea es la única solución positiva de En la antigüedad, sólo tenían éxito para los grados uno y dos. Para ecuaciones cuadráticas , la fórmula cuadrática proporciona tales expresiones de las soluciones. Desde el siglo XVI, se conocen fórmulas similares (que utilizan raíces cúbicas además de raíces cuadradas), aunque mucho más complicadas, para ecuaciones de grado tres y cuatro (ver ecuación cúbica y ecuación de cuarto grado ). Pero las fórmulas para el grado 5 y superiores eludieron a los investigadores durante varios siglos. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el sorprendente resultado de que existen ecuaciones de grado 5 cuyas soluciones no pueden expresarse mediante una fórmula (finita), que implica únicamente operaciones aritméticas y radicales (véase el teorema de Abel-Ruffini ). En 1830, Évariste Galois demostró que la mayoría de las ecuaciones de grado superior a cuatro no pueden resolverse mediante radicales y demostró que para cada ecuación, se puede decidir si se puede resolver mediante radicales y, si lo es, resolverla. Este resultado marcó el inicio de la teoría de Galois y la teoría de grupos , dos ramas importantes del álgebra moderna . El propio Galois señaló que los cálculos implicados por su método eran impracticables. Sin embargo, se han publicado fórmulas para ecuaciones resolubles de grados 5 y 6 (ver función quíntica y ecuación sextica ).
Cuando no existe una expresión algebraica para las raíces, y cuando dicha expresión algebraica existe pero es demasiado complicada para ser útil, la única forma de resolverla es calcular aproximaciones numéricas de las soluciones. [20] Hay muchos métodos para eso; algunos están restringidos a polinomios y otros pueden aplicarse a cualquier función continua . Los algoritmos más eficientes permiten resolver fácilmente (en una computadora ) ecuaciones polinómicas de grado superior a 1.000 (ver Algoritmo de búsqueda de raíces ).
Para polinomios con más de un indeterminado, las combinaciones de valores de las variables para las cuales la función polinómica toma el valor cero generalmente se denominan ceros en lugar de "raíces". El estudio de los conjuntos de ceros de polinomios es objeto de la geometría algebraica . Para un conjunto de ecuaciones polinomiales con varias incógnitas, existen algoritmos para decidir si tienen un número finito de soluciones complejas y, si este número es finito, para calcular las soluciones. Ver Sistema de ecuaciones polinómicas .
El caso especial en el que todos los polinomios son de grado uno se denomina sistema de ecuaciones lineales , para el cual existe otra gama de métodos de solución diferentes , incluida la eliminación gaussiana clásica .
Una ecuación polinómica en la que sólo nos interesan las soluciones que son números enteros se llama ecuación diofántica . Resolver ecuaciones diofánticas suele ser una tarea muy difícil. Se ha demostrado que no puede haber ningún algoritmo general para resolverlos, o incluso para decidir si el conjunto de soluciones está vacío (ver el décimo problema de Hilbert ). Algunos de los problemas más famosos que se han resuelto durante los últimos cincuenta años están relacionados con ecuaciones diofánticas, como el último teorema de Fermat .
A menudo se consideran polinomios en los que indeterminados se sustituyen por algunos otros objetos matemáticos y, a veces, tienen un nombre especial.
Un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de funciones sin( nx ) y cos( nx ) donde n toma los valores de uno o más números naturales . [21] Los coeficientes pueden tomarse como números reales, para funciones de valores reales.
Si sin( nx ) y cos( nx ) se expanden en términos de sin( x ) y cos( x ), un polinomio trigonométrico se convierte en un polinomio en las dos variables sin( x ) y cos( x ) (usando Lista de identidades trigonométricas #Fórmulas de múltiples ángulos ). Por el contrario, cada polinomio en sin( x ) y cos( x ) se puede convertir, con identidades de producto a suma , en una combinación lineal de funciones sin( nx ) y cos( nx ). Esta equivalencia explica por qué las combinaciones lineales se llaman polinomios.
Para coeficientes complejos , no hay diferencia entre dicha función y una serie finita de Fourier .
Los polinomios trigonométricos son muy utilizados, por ejemplo en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas . También se utilizan en la transformada discreta de Fourier .
Un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. [22] Dado un polinomio ordinario de valores escalares
Una ecuación polinomial matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que es válida para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinómica matricial es una ecuación polinómica matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo matricial específico M n ( R ).
Un polinomio bivariado donde la segunda variable se sustituye por una función exponencial aplicada a la primera variable, por ejemplo P ( x , e x ) , puede denominarse polinomio exponencial .
Una fracción racional es el cociente ( fracción algebraica ) de dos polinomios. Cualquier expresión algebraica que pueda reescribirse como una fracción racional es una función racional .
Mientras que las funciones polinómicas se definen para todos los valores de las variables, una función racional se define solo para los valores de las variables cuyo denominador no es cero.
Las fracciones racionales incluyen los polinomios de Laurent, pero no limitan los denominadores a potencias de un indeterminado.
Los polinomios de Laurent son como polinomios, pero permiten que se produzcan potencias negativas de las variables.
Las series de potencias formales son como polinomios, pero permiten que aparezcan infinitos términos distintos de cero, por lo que no tienen grado finito. A diferencia de los polinomios, en general no se pueden escribir explícita y completamente (al igual que los números irracionales ), pero las reglas para manipular sus términos son las mismas que para los polinomios. Las series de potencias no formales también generalizan polinomios, pero la multiplicación de dos series de potencias puede no converger.
Un polinomio f sobre un anillo conmutativo R es un polinomio cuyos coeficientes pertenecen a R . Es sencillo verificar que los polinomios en un conjunto dado de indeterminados sobre R forman un anillo conmutativo, llamado anillo polinomial en estos indeterminados, denotado en el caso univariado y en el caso multivariado.
Uno tiene
El mapa de R a R [ x ] que envía r a sí mismo considerado como un polinomio constante es un homomorfismo de anillo inyectivo , por el cual R se ve como un subanillo de R [ x ] . En particular, R [ x ] es un álgebra sobre R .
Se puede pensar que el anillo R [ x ] surge de R agregando un nuevo elemento x a R y extendiéndose de manera mínima a un anillo en el que x no satisface otras relaciones que las obligatorias, más la conmutación con todos los elementos de R (es decir, xr = rx ). Para hacer esto, hay que sumar todas las potencias de x y también sus combinaciones lineales.
La formación del anillo polinómico, junto con la formación de anillos factoriales factorizando ideales , son herramientas importantes para construir nuevos anillos a partir de los conocidos. Por ejemplo, el anillo (de hecho, campo) de números complejos, que se puede construir a partir del anillo polinómico R [ x ] sobre los números reales factorizando el ideal de los múltiplos del polinomio x 2 + 1 . Otro ejemplo es la construcción de campos finitos , que procede de manera similar, comenzando con el campo de números enteros módulo algún número primo como el anillo de coeficientes R (ver aritmética modular ).
Si R es conmutativo, entonces se puede asociar con cada polinomio P en R [ x ] una función polinómica f con dominio y rango igual a R. (De manera más general, se puede tomar dominio y rango como cualquier mismo álgebra asociativa unital sobre R ). Se obtiene el valor f ( r ) sustituyendo el valor r por el símbolo x en P. Una razón para distinguir entre polinomios y funciones polinomiales es que, en algunos anillos, diferentes polinomios pueden dar lugar a la misma función polinómica (consulte el pequeño teorema de Fermat para ver un ejemplo donde R es el módulo entero p ). Este no es el caso cuando R son números reales o complejos, por lo que los dos conceptos no siempre se distinguen en el análisis . Una razón aún más importante para distinguir entre polinomios y funciones polinomiales es que muchas operaciones con polinomios (como la división euclidiana ) requieren observar de qué está compuesto un polinomio como una expresión en lugar de evaluarlo en algún valor constante para x .
Si R es un dominio integral y f y g son polinomios en R [ x ] , se dice que f divide a g o f es divisor de g si existe un polinomio q en R [ x ] tal que f q = g . Si entonces a es raíz de f si y solo divide a f . En este caso, el cociente se puede calcular utilizando la división larga del polinomio . [24] [25]
Si F es un cuerpo y f y g son polinomios en F [ x ] con g ≠ 0 , entonces existen polinomios únicos q y r en F [ x ] con
De manera análoga, los polinomios primos (más correctamente, polinomios irreducibles ) se pueden definir como polinomios distintos de cero que no se pueden factorizar en el producto de dos polinomios no constantes . En el caso de coeficientes en un anillo, "no constante" debe reemplazarse por "no constante o no unidad " (ambas definiciones concuerdan en el caso de coeficientes en un campo). Cualquier polinomio se puede descomponer en el producto de una constante invertible por un producto de polinomios irreducibles. Si los coeficientes pertenecen a un campo o un dominio de factorización único, esta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de cualquier factor no unitario por una unidad (y división del factor unitario por la misma unidad). Cuando los coeficientes pertenecen a números enteros, números racionales o un cuerpo finito, existen algoritmos para probar la irreducibilidad y calcular la factorización en polinomios irreducibles (ver Factorización de polinomios ). Estos algoritmos no son practicables para cálculos escritos a mano, pero están disponibles en cualquier sistema de álgebra computacional . El criterio de Eisenstein también se puede utilizar en algunos casos para determinar la irreductibilidad.
En los sistemas de números posicionales modernos, como el sistema decimal , los dígitos y sus posiciones en la representación de un número entero, por ejemplo, 45, son una notación abreviada para un polinomio en la raíz o base, en este caso, 4 × 10 1 + 5 × 10 0 . Como otro ejemplo, en base 5, una cadena de dígitos como 132 denota el número (decimal) 1 × 5 2 + 3 × 5 1 + 2 × 5 0 = 42. Esta representación es única. Sea b un número entero positivo mayor que 1. Entonces cada número entero positivo a se puede expresar de forma única en la forma
0 < r m < b y 0 ≤ r i < b para i = 0, 1, . . . , metro - 1 . [26]
La estructura simple de las funciones polinómicas las hace bastante útiles para analizar funciones generales utilizando aproximaciones polinómicas. Un ejemplo importante en cálculo es el teorema de Taylor , que establece aproximadamente que toda función derivable localmente parece una función polinómica, y el teorema de Stone-Weierstrass , que establece que toda función continua definida en un intervalo compacto del eje real puede aproximarse en el todo el intervalo tan cerca como lo desee una función polinómica. Los métodos prácticos de aproximación incluyen la interpolación polinomial y el uso de splines . [27]
Los polinomios se utilizan frecuentemente para codificar información sobre algún otro objeto. El polinomio característico de una matriz u operador lineal contiene información sobre los valores propios del operador . El polinomio mínimo de un elemento algebraico registra la relación algebraica más simple satisfecha por ese elemento. El polinomio cromático de un gráfico cuenta el número de coloraciones propias de ese gráfico.
El término "polinomio", como adjetivo, también puede usarse para cantidades o funciones que pueden escribirse en forma polinómica. Por ejemplo, en la teoría de la complejidad computacional , la frase tiempo polinómico significa que el tiempo que lleva completar un algoritmo está limitado por una función polinómica de alguna variable, como el tamaño de la entrada.
Determinar las raíces de polinomios, o "resolver ecuaciones algebraicas", se encuentra entre los problemas más antiguos de las matemáticas. Sin embargo, la notación elegante y práctica que utilizamos hoy no se desarrolló hasta el siglo XV. Antes de eso, las ecuaciones se escribían con palabras. Por ejemplo, un problema de álgebra de la Aritmética china en nueve secciones , c. 200 a. C. , comienza "Tres gavillas de buena cosecha, dos gavillas de cosecha mediocre y una gavilla de mala cosecha se venden por 29 dou". Escribiríamos 3 x + 2 y + z = 29 .
El primer uso conocido del signo igual se encuentra en The Whetstone of Witte , de Robert Recorde , 1557. Los signos + para la suma, − para la resta y el uso de una letra para una incógnita aparecen en Arithemetica integra , de Michael Stifel , 1544. René Descartes , en La géometrie , 1637 , introdujo el concepto de gráfica de una ecuación polinómica. Popularizó el uso de letras del principio del alfabeto para denotar constantes y letras del final del alfabeto para denotar variables, como se puede ver arriba, en la fórmula general para un polinomio en una variable, donde las a denotan constantes y x denota una variable. Descartes también introdujo el uso de superíndices para indicar exponentes. [28]
Dos polinomios cualesquiera de este tipo se pueden sumar, restar o multiplicar.
Además, el resultado en cada caso es otro polinomio.
Esta clase de endomorfismos está cerrada bajo composición,
Encontramos que el conjunto de los números enteros no es cerrado bajo esta operación de división.
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{\displaystyle R[x_{1},\ldots,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c388e003e234e12fb55533e35a211c8cf295e5)
![{\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0bbfe1bccac6aa10e3a7daba9b95381c6f05bd)
