División sintética

Algoritmo para la división euclidiana de polinomios

Animación que muestra el uso de la división sintética para encontrar el cociente de por . Tenga en cuenta que no hay ningún término en , por lo que la cuarta columna de la derecha contiene un cero. ${\displaystyle 2x^{4}+3x^{2}+5x+1}$ ${\displaystyle x-2}$ ${\displaystyle x^{3}}$

En álgebra , la división sintética es un método para realizar manualmente la división euclidiana de polinomios , con menos escritura y menos cálculos que la división larga .

Se enseña principalmente para la división por polinomios mónicos lineales (conocida como regla de Ruffini ), pero el método se puede generalizar a la división por cualquier polinomio .

Las ventajas de la división sintética son que permite calcular sin escribir variables, utiliza pocos cálculos y ocupa mucho menos espacio en papel que la división larga. Además, las restas en la división larga se convierten en sumas cambiando los signos desde el principio, lo que ayuda a evitar errores de signos.

División sintética regular

El primer ejemplo es la división sintética con sólo un denominador lineal mónico . ${\displaystyle x-a}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}}$

El numerador se puede escribir como . ${\displaystyle p(x)=x^{3}-12x^{2}+0x-42}$

El cero del denominador es . ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle 3}$

Los coeficientes de están ordenados de la siguiente manera, con el cero de a la izquierda: ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$

El primer coeficiente después de la barra se "suelta" a la última fila.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

El número eliminado se multiplica por el número antes de la barra y se coloca en la siguiente columna .

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\color {grey}3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&\color {brown}3&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Se realiza una suma en la siguiente columna.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {green}-12&0&-42\\&\color {green}3&&\\\hline 1&\color {green}-9&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Se repiten los dos pasos anteriores y se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}}$

Aquí, el último término (-123) es el resto mientras que el resto corresponden a los coeficientes del cociente.

Los términos se escriben con grado creciente de derecha a izquierda comenzando con grado cero para el resto y el resultado.

${\displaystyle {\begin{array}{rrr|r}1x^{2}&-9x&-27&-123\end{array}}}$

Por tanto el cociente y el resto son:

${\displaystyle q(x)=x^{2}-9x-27}$

${\displaystyle r(x)=-123}$

Evaluar polinomios mediante el teorema del resto

La forma anterior de división sintética es útil en el contexto del teorema del resto polinomial para evaluar polinomios univariados . En resumen, el valor de at es igual al resto de la división de por ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x-a.}$

La ventaja de calcular el valor de esta manera es que requiere poco más de la mitad de pasos de multiplicación que una evaluación sencilla. Una estrategia de evaluación alternativa es el método de Horner .

División sintética ampliada

Este método se generaliza a la división por cualquier polinomio mónico con sólo una ligera modificación con cambios en negrita . Siguiendo los mismos pasos que antes, realice la siguiente división:

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}}$

Sólo nos ocuparemos de los coeficientes. Escribe los coeficientes del polinomio a dividir en la parte superior.

${\displaystyle {\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\end{array}}}$

Negar los coeficientes del divisor.

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}-1x^{2}&-1x&+3\end{array}}}$

Escriba todos los coeficientes menos el primero de la izquierda en una diagonal hacia arriba y hacia la derecha (consulte el siguiente diagrama).

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$

Observe el cambio de signo de 1 a −1 y de −3 a 3. "Suelte" el primer coeficiente después de la barra a la última fila.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Multiplique el número eliminado por la diagonal antes de la barra y coloque las entradas resultantes en diagonal a la derecha de la entrada eliminada.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Realiza una suma en la siguiente columna.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&\\&-1&&\\\hline 1&-13&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Repita los dos pasos anteriores hasta pasar las entradas en la parte superior con la siguiente diagonal .

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&\\\end{array}}\end{array}}}$

Luego simplemente sume las columnas restantes.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&-81\\\end{array}}\end{array}}}$

Cuente los términos a la izquierda de la barra. Como hay dos, el resto tiene grado uno y estos son los dos términos que se encuentran más a la derecha debajo de la barra. Marca la separación con una barra vertical.

${\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}1&-13&16&-81\end{array}}}$

Los términos se escriben con grado creciente de derecha a izquierda comenzando con grado cero tanto para el resto como para el resultado.

${\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}1x&-13&16x&-81\end{array}}}$

El resultado de nuestra división es:

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}}$

Para divisores no mónicos

Con un poco de ayuda, la técnica ampliada se puede generalizar aún más para que funcione con cualquier polinomio, no solo con los mónicos . La forma habitual de hacer esto sería dividir el divisor por su coeficiente principal (llámelo a ): ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{a}}}$

luego usar la división sintética con como divisor y luego dividir el cociente entre a para obtener el cociente de la división original (el resto permanece igual). Pero esto a menudo produce fracciones antiestéticas que se eliminan más tarde y, por lo tanto, son más propensas a errores. Es posible hacerlo sin reducir primero los coeficientes de . ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Como se puede observar al realizar primero una división larga con un divisor no mónico, los coeficientes de se dividen por el coeficiente principal de después de "eliminar" y antes de multiplicar. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Ilustremos realizando la siguiente división:

${\displaystyle {\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}}$

Se utiliza una tabla ligeramente modificada:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline &&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Tenga en cuenta la fila adicional en la parte inferior. Esto se utiliza para escribir los valores encontrados dividiendo los valores "eliminados" por el coeficiente principal de (en este caso, indicado por /3 ; tenga en cuenta que, a diferencia del resto de los coeficientes de , el signo de este número no cambia) . ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

A continuación, el primer coeficiente de se elimina como de costumbre: ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

y luego el valor eliminado se divide por 3 y se coloca en la fila siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

A continuación, el nuevo valor (dividido) se utiliza para llenar las filas superiores con múltiplos de 2 y 1, como en la técnica expandida:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&&&\\2&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

A continuación se elimina el 5, con la obligatoria adición del 4 debajo, y la respuesta se divide nuevamente:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\\&4&&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Luego el 3 se usa para llenar las filas superiores:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&&\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}}$

En este punto, si, después de obtener la tercera suma, intentáramos usarla para llenar las filas superiores, nos "caeríamos" del lado derecho, por lo que la tercera suma es el primer coeficiente del resto, como en el caso normal. división sintética. Pero los valores del resto no se dividen por el coeficiente principal del divisor:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&8&-4\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}}$

Ahora podemos leer los coeficientes de la respuesta. Como en la división sintética expandida, los dos últimos valores (2 es el grado del divisor) son los coeficientes del resto y los valores restantes son los coeficientes del cociente:

${\displaystyle {\begin{array}{rr|rr}2x&+3&8x&-4\end{array}}}$

y el resultado es

${\displaystyle {\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}=2x+3+{\frac {8x-4}{3x^{2}-2x-1}}}$

División sintética expandida compacta

Sin embargo, el formato diagonal anterior se vuelve menos eficiente en términos de espacio cuando el grado del divisor excede la mitad del grado del dividendo. Considere la siguiente división:

${\displaystyle {\dfrac {a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}}$

Es fácil ver que tenemos total libertad para escribir cada producto en cualquier fila siempre que esté en la columna correcta, por lo que el algoritmo se puede compactar mediante una estrategia codiciosa , como se ilustra en la siguiente división:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&r_{2}&r_{1}&r_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

A continuación se describe cómo realizar el algoritmo; este algoritmo incluye pasos para dividir divisores no mónicos:

1. Escribe los coeficientes del dividendo en una barra.

   ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}}$

2. Ignorando el primer coeficiente (principal) del divisor, niega cada coeficiente y colócalos en el lado izquierdo de la barra.

   ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}}$

3. A partir del número de coeficientes colocados en el lado izquierdo de la barra, cuente el número de coeficientes de dividendo encima de la barra, comenzando desde la columna de más a la derecha. Luego coloque una barra vertical a la izquierda, y también a la fila de abajo, de esa columna. Esta barra vertical marca la separación entre el cociente y el resto.

   ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline &&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

4. Coloque el primer coeficiente del dividendo debajo de la barra.

   ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

5. • Divide el número previamente eliminado/sumado por el coeficiente principal del divisor y colócalo en la fila de abajo (no es necesario hacer esto si el coeficiente principal es 1).
     En este caso , donde el índice se ha elegido restando al dividendo el índice del divisor. ${\displaystyle q_{3}={\dfrac {a_{7}}{b_{4}}}}$ ${\displaystyle 3=7-4}$
     
   • Multiplique el número eliminado/suma previamente (o el número eliminado/suma dividido) por cada coeficiente divisor negado de la izquierda (comenzando por el extremo izquierdo); omita si el número eliminado/suma es cero. Coloque cada producto encima de las columnas siguientes.

     ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&&&&&&&\\q_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

6. Realice una suma columna a columna en la siguiente columna. En este caso, . ${\displaystyle q_{2}'=q_{3}b_{3}+a_{6}}$

   ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&&&&&&\\q_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

7. Repita los dos pasos anteriores. Deténgase cuando haya realizado los dos pasos anteriores en el número justo antes de la barra vertical.
   1. Dejar . ${\displaystyle q_{2}={\dfrac {q_{2}'}{b_{4}}}}$

      ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&&&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&&&&&\\q_{3}&q_{2}&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

   2. Dejar . ${\displaystyle q_{1}={\dfrac {q_{1}'}{b_{4}}}}$

      ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&&&&\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

   3. Dejar . ${\displaystyle q_{0}={\dfrac {q_{0}'}{b_{4}}}}$

      ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&&&\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

8. Realice las sumas restantes en columnas en las columnas siguientes (calculando el resto).

   ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&r_{2}&r_{1}&r_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}}$

9. Los resultados más bajos debajo de la barra horizontal son coeficientes de los polinomios (el cociente y el resto), donde los coeficientes del cociente están a la izquierda de la separación de la barra vertical y los coeficientes del resto están a la derecha. Se interpreta que estos coeficientes tienen un grado creciente de derecha a izquierda, comenzando con grado cero tanto para el cociente como para el resto.
   

   Interpretamos los resultados para obtener:

   ${\displaystyle {\dfrac {a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}=q_{3}x^{3}+q_{2}x^{2}+q_{1}x+q_{0}+{\dfrac {r_{3}x^{3}+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}}$

Implementación de Python

El siguiente fragmento implementa la división sintética expandida en Python para polinomios univariados arbitrarios:

def  expanded_synthetic_division ( dividendo ,  divisor ): """División polinómica rápida mediante división sintética expandida.  También funciona con polinomios no mónicos.  El dividendo y el divisor son ambos polinomios, que aquí son simplemente listas de coeficientes.  Por ejemplo: x**2 + 3*x + 5 se representará como [1, 3, 5]  """  out  =  list ( dividendo )  # Copiar el  normalizador de dividendos  =  divisor [ 0 ]  para  i  en  el rango ( len ( dividendo )  -  len ( divisor )  +  1 ):  # Para la división polinomial general (cuando los polinomios no son mónicos),  # necesitamos normalizar dividiendo el coeficiente con el primer coeficiente del divisor  fuera [ i ]  /=  normalizador coef  =  out [ i ]  if  coef  !=  0 :  # Inútil multiplicar si coef es 0  # En división sintética, siempre omitimos el primer coeficiente del divisor,  # porque solo se usa para normalizar los coeficientes de dividendo  para  j  en el  rango ( 1 ,  len ( divisor )):  fuera [ i  +  j ]  +=  - divisor [ j ]  *  coef # El resultado resultante contiene tanto el cociente como el resto,  # siendo el resto el tamaño del divisor (el resto  # tiene necesariamente el mismo grado que el divisor ya que es  # lo que no pudimos dividir del dividendo), por lo que calcule el índice  # donde está esta separación y devuelva el cociente y el resto.  separador  =  1  -  len ( divisor )  devuelve  [ : separador ],  fuera [ separador :]  # Devuelve cociente, resto.

Ver también

• Dominio euclidiano
• Máximo común divisor de dos polinomios
• base de gröbner
• Esquema de Horner
• Teorema del resto polinomial
• El gobierno de Ruffini

Referencias

• Fan, Lianghuo (junio de 2003). "Una generalización de la división sintética y un teorema general de la división de polinomios" (PDF) . Mezcla matemática . 30 (1): 30–37. Archivado (PDF) desde el original el 7 de septiembre de 2015.
• Li, Zhou (enero de 2009). "División corta de polinomios" (PDF) . Revista universitaria de matemáticas . 40 (1): 44–46. JSTOR  27646720. Archivado (PDF) desde el original el 9 de julio de 2020.

enlaces externos

• Buen hombre, Len ; Stover, Christopher y Weisstein, Eric W. "División sintética". MundoMatemático .
• Stover, Cristóbal. "La regla de Ruffini". MundoMatemático .