En álgebra , un polinomio mónico es un polinomio univariado distinto de cero (es decir, un polinomio en una sola variable) en el que el coeficiente principal (el coeficiente distinto de cero de mayor grado) es igual a 1. Es decir, un polinomio mónico es aquel que se puede escribir como [1]
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Los polinomios mónicos son muy utilizados en álgebra y teoría de números , ya que producen muchas simplificaciones y evitan divisiones y denominadores. Aquí hay unos ejemplos.
Cada polinomio está asociado a un polinomio mónico único. En particular, la propiedad de factorización única de los polinomios se puede expresar como: Cada polinomio se puede factorizar de manera única como el producto de su coeficiente principal y un producto de polinomios irreducibles mónicos .
Las fórmulas de Vieta son más simples en el caso de polinomios mónicos: La i -ésima función simétrica elemental de las raíces de un polinomio mónico de grado n es igual a donde está el coeficiente de la (n-i) ésima potencia del indeterminado .
La división euclidiana de un polinomio por un polinomio mónico no introduce divisiones de coeficientes. Por tanto, se define para polinomios con coeficientes en un anillo conmutativo .
Los números enteros algebraicos se definen como las raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros.
Todo polinomio univariado distinto de cero ( polinomio con un solo indeterminado ) se puede escribir
¿Dónde están los coeficientes del polinomio y el coeficiente principal no es cero? Por definición, tal polinomio es mónico si
Un producto de polinomios mónicos es mónico. Un producto de polinomios es mónico si y sólo si el producto de los coeficientes principales de los factores es igual a 1 .
Esto implica que los polinomios mónicos en un anillo polinomial univariado sobre un anillo conmutativo forman un monoide bajo multiplicación polinomial.
Dos polinomios mónicos están asociados si y sólo si son iguales, ya que la multiplicación de un polinomio por una constante distinta de cero produce un polinomio con esta constante como coeficiente principal.
La divisibilidad induce un orden parcial en polinomios mónicos. Esto resulta casi inmediatamente de las propiedades anteriores.
Sea una ecuación polinómica , donde P es un polinomio univariado de grado n . Si se dividen todos los coeficientes de P por su coeficiente principal se obtiene una nueva ecuación polinómica que tiene las mismas soluciones y consiste en igualar a cero un polinomio mónico.
Por ejemplo, la ecuación
es equivalente a la ecuación mónica
Cuando los coeficientes no están especificados, o pertenecen a un campo donde la división no resulta en fracciones (como o un campo finito ), esta reducción a ecuaciones mónicas puede proporcionar una simplificación. Por otro lado, como se muestra en el ejemplo anterior, cuando los coeficientes son números enteros explícitos, el polinomio mónico asociado es generalmente más complicado. Por lo tanto, a menudo se utilizan polinomios primitivos en lugar de polinomios mónicos cuando se trata de coeficientes enteros.
Las ecuaciones polinómicas mónicas están en la base de la teoría de los números enteros algebraicos y, más generalmente, de los elementos integrales .
Sea R un subanillo de un campo F ; esto implica que R es un dominio integral . Un elemento a de F es integral sobre R si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en R.
Un número complejo que es entero entre números enteros se llama entero algebraico . Esta terminología está motivada por el hecho de que los números enteros son exactamente los números racionales que también son números enteros algebraicos. Esto resulta del teorema de la raíz racional , que afirma que, si el número racional es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces q es divisor del coeficiente principal; entonces, si el polinomio es mónico, entonces y el número es un número entero. Por el contrario, un número entero p es una raíz del polinomio mónico
Se puede demostrar que, si dos elementos de un cuerpo F son integrales sobre un subanillo R de F , entonces la suma y el producto de estos elementos también son integrales sobre R. De ello se deduce que los elementos de F que son integrales sobre R forman un anillo, llamado cierre integral de R en K. Un dominio integral que es igual a su cierre integral en su campo de fracciones se llama dominio integralmente cerrado .
Estos conceptos son fundamentales en la teoría algebraica de números . Por ejemplo, muchas de las numerosas demostraciones erróneas del último teorema de Fermat que se han escrito durante más de tres siglos fueron erróneas porque los autores supusieron erróneamente que los números enteros algebraicos en un cuerpo numérico algebraico tienen factorización única .
Normalmente, el término mónico no se emplea para polinomios de varias variables. Sin embargo, un polinomio en varias variables puede considerarse como un polinomio en una variable y los coeficientes son polinomios en las otras variables. Ser mónico depende, por tanto, de la elección de una variable "principal". Por ejemplo, el polinomio
es mónico, si se considera como un polinomio en x con coeficientes que son polinomios en y :
pero no es mónico cuando se considera un polinomio en y con coeficientes polinomiales en x :
En el contexto de las bases de Gröbner , generalmente se fija un orden monomial . En este caso, se puede decir que un polinomio es mónico si tiene 1 como coeficiente principal (para el orden del monomio).
Para toda definición, un producto de polinomios mónicos es mónico y, si los coeficientes pertenecen a un campo , cada polinomio está asociado a exactamente un polinomio mónico.
