Teorema del resto del polinomio

Sobre el resto de la división por x – r

En álgebra , el teorema del resto polinomial o teorema del pequeño Bézout (llamado así por Étienne Bézout ) ^[1] es una aplicación de la división euclidiana de polinomios . Establece que, para cada número, cualquier polinomio es la suma de y el producto por de un polinomio en de grado menor que el grado de En particular, es el resto de la división euclidiana de por y es un divisor de si y solo si ^[2] una propiedad conocida como teorema del factor . ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle x-r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x-r,}$ ${\displaystyle x-r}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(r)=0,}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea . La división polinómica de por da como resultado el cociente y el resto . Por lo tanto, . ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (x-3)}$ ${\displaystyle x^{2}-9x-27}$ ${\displaystyle -123}$ ${\displaystyle f(3)=-123}$

Ejemplo 2

Prueba de que el teorema del resto polinomial se cumple para un polinomio de segundo grado arbitrario mediante manipulación algebraica: ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-f(r)&=ax^{2}+bx+c-(ar^{2}+br+c)\\&=a(x^{2}-r^{2})+b(x-r)\\&=a(x-r)(x+r)+b(x-r)\\&=(x-r)(ax+ar+b)\end{aligned}}}$$

Entonces, ¿cuál es exactamente la fórmula de la división euclidiana? $${\displaystyle f(x)=(x-r)(ax+ar+b)+f(r),}$$

La generalización de esta prueba a cualquier grado se da a continuación en § Prueba directa.

Pruebas

Usando la división euclidiana

El teorema del resto polinomial se deriva del teorema de la división euclidiana , que, dados dos polinomios f ( x ) (el dividendo) y g ( x ) (el divisor), afirma la existencia (y la unicidad) de un cociente Q ( x ) y un resto R ( x ) tales que

${\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{and}}\quad R(x)=0\ {\text{ or }}\deg(R)<\deg(g).}$

Si el divisor es donde r es una constante, entonces R ( x ) = 0 o su grado es cero; en ambos casos, R ( x ) es una constante que es independiente de x ; es decir ${\displaystyle g(x)=x-r,}$

${\displaystyle f(x)=Q(x)(x-r)+R.}$

Poniendo en esta fórmula, obtenemos: ${\displaystyle x=r}$

${\displaystyle f(r)=R.}$

Prueba directa

Una prueba constructiva —que no implica el teorema de existencia de la división euclidiana— utiliza la identidad

${\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).}$

Si denota el factor grande en el lado derecho de esta identidad, y ${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

Uno tiene

${\displaystyle f(x)-f(r)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),}$

(desde ). ${\displaystyle S_{1}=1}$

Sumando ambos lados de esta ecuación, se obtiene simultáneamente el teorema del resto polinomial y la parte de existencia del teorema de la división euclidiana para este caso específico. ${\displaystyle f(r)}$

Aplicaciones

El teorema del resto polinómico se puede utilizar para evaluar calculando el resto, . Aunque la división larga de polinomios es más difícil que evaluar la función en sí, la división sintética es computacionalmente más fácil. Por lo tanto, la función se puede evaluar de manera más "económica" utilizando la división sintética y el teorema del resto polinómico. ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle R}$

El teorema del factor es otra aplicación del teorema del resto: si el resto es cero, entonces el divisor lineal es un factor. La aplicación repetida del teorema del factor puede utilizarse para factorizar el polinomio. ^[3]

Referencias

1. Piotr Rudnicki (2004). "Teorema del pequeño Bézout (teorema del factor)" (PDF) . Matemáticas formalizadas . 12 (1): 49–58.
2. Larson, Ron (2014), Álgebra universitaria, Cengage Learning
3. Larson, Ron (2011), Precálculo con límites, Cengage Learning