En álgebra , el contenido de un polinomio distinto de cero con coeficientes enteros (o, más generalmente, con coeficientes en un dominio de factorización único ) es el máximo común divisor de sus coeficientes. La parte primitiva de tal polinomio es el cociente del polinomio por su contenido. Así un polinomio es el producto de su parte primitiva y su contenido, y esta factorización es única hasta la multiplicación del contenido por una unidad del anillo de coeficientes (y la multiplicación de la parte primitiva por la inversa de la unidad) .
Un polinomio es primitivo si su contenido es igual a 1. Por tanto, la parte primitiva de un polinomio es un polinomio primitivo.
El lema de Gauss para polinomios establece que el producto de polinomios primitivos (con coeficientes en el mismo dominio de factorización único) también es primitivo. Esto implica que el contenido y la parte primitiva del producto de dos polinomios son, respectivamente, el producto del contenido y el producto de las partes primitivas.
Como el cálculo de los máximos divisores comunes es generalmente mucho más fácil que la factorización polinómica , el primer paso de un algoritmo de factorización polinomial es generalmente el cálculo de su factorización de parte-contenido primitiva (ver Factorización de polinomios § Factorización de parte-contenido primitiva ). Luego el problema de factorización se reduce a factorizar por separado el contenido y la parte primitiva.
El contenido y la parte primitiva pueden generalizarse a polinomios sobre números racionales y, más generalmente, a polinomios sobre el cuerpo de fracciones de un dominio de factorización único. Esto hace que los problemas de calcular el máximo común divisor y la factorización de polinomios sobre números enteros y de polinomios sobre números racionales sean esencialmente equivalentes .
Para un polinomio con coeficientes enteros, el contenido puede ser el máximo común divisor de los coeficientes o su inverso aditivo . La elección es arbitraria y puede depender de otra convención, que suele ser que el coeficiente principal de la parte primitiva sea positivo.
Por ejemplo, el contenido de puede ser 2 o −2, ya que 2 es el máximo común divisor de −12, 30 y −20. Si se elige 2 como contenido, la parte primitiva de este polinomio es
y por lo tanto la factorización del contenido de la parte primitiva es
Por razones estéticas, a menudo se prefiere elegir un contenido negativo, aquí −2, lo que da la factorización del contenido de la parte primitiva.
En el resto de este artículo, consideraremos polinomios sobre un dominio de factorización único R , que típicamente puede ser el anillo de números enteros o un anillo polinómico sobre un campo . En R , los máximos divisores comunes están bien definidos y son únicos hasta la multiplicación por una unidad de R.
El contenido c ( P ) de un polinomio P con coeficientes en R es el máximo común divisor de sus coeficientes y, como tal, se define mediante la multiplicación por una unidad. La parte primitiva pp( P ) de P es el cociente P / c ( P ) de P por su contenido; es un polinomio con coeficientes en R , que es único hasta la multiplicación por una unidad. Si el contenido se cambia multiplicando por una unidad u , entonces la parte primitiva debe cambiarse dividiéndola por la misma unidad, para mantener la igualdad.
Las principales propiedades del contenido y de la parte primitiva son resultados del lema de Gauss , que afirma que el producto de dos polinomios primitivos es primitivo, donde un polinomio es primitivo si 1 es el máximo común divisor de sus coeficientes. Esto implica:
La última propiedad implica que el cálculo de la factorización del contenido de la parte primitiva de un polinomio reduce el cálculo de su factorización completa a la factorización separada del contenido y la parte primitiva. En general, esto es interesante, porque el cálculo de la factorización del contenido de la parte prima implica sólo el cálculo del máximo común divisor en R , que suele ser mucho más fácil que la factorización.
La factorización del contenido de la parte primitiva se puede extender a polinomios con coeficientes racionales de la siguiente manera.
Dado un polinomio P con coeficientes racionales, al reescribir sus coeficientes con el mismo denominador común d , se puede reescribir P como
donde Q es un polinomio con coeficientes enteros. El contenido de P es el cociente entre d del contenido de Q , es decir
y la parte primitiva de P es la parte primitiva de Q :
Es fácil demostrar que esta definición no depende de la elección del denominador común y que la factorización del contenido de la parte primitiva sigue siendo válida:
Esto muestra que cada polinomio sobre los racionales está asociado con un polinomio primitivo único sobre los números enteros, y que el algoritmo euclidiano permite el cálculo de este polinomio primitivo.
Una consecuencia es que factorizar polinomios sobre los racionales equivale a factorizar polinomios primitivos sobre los números enteros. Como los polinomios con coeficientes en un campo son más comunes que los polinomios con coeficientes enteros, puede parecer que esta equivalencia puede usarse para factorizar polinomios con coeficientes enteros. De hecho, la verdad es exactamente lo contrario: cada algoritmo eficiente conocido para factorizar polinomios con coeficientes racionales utiliza esta equivalencia para reducir el módulo del problema a algún número primo p (ver Factorización de polinomios ).
Esta equivalencia también se utiliza para calcular los máximos comunes divisores de polinomios, aunque el algoritmo euclidiano se define para polinomios con coeficientes racionales. De hecho, en este caso, el algoritmo euclidiano requiere que uno calcule la forma reducida de muchas fracciones, y esto hace que el algoritmo euclidiano sea menos eficiente que los algoritmos que funcionan solo con polinomios sobre números enteros (consulte Máximo común divisor del polinomio ).
Los resultados de la sección anterior siguen siendo válidos si el anillo de números enteros y el campo de racionales se reemplazan respectivamente por cualquier dominio de factorización único R y su campo de fracciones K.
Esto se utiliza normalmente para factorizar polinomios multivariados y para demostrar que un anillo polinomial sobre un dominio de factorización único también es un dominio de factorización único.
Un anillo polinomial sobre un campo es un dominio de factorización único. Lo mismo ocurre con un anillo polinomial sobre un dominio de factorización único. Para demostrarlo basta considerar el caso univariado , ya que el caso general puede deducirse por inducción sobre el número de indeterminados.
La propiedad de factorización única es una consecuencia directa del lema de Euclides : si un elemento irreducible divide un producto, entonces divide uno de los factores. Para polinomios univariados sobre un campo, esto resulta de la identidad de Bézout , que a su vez resulta del algoritmo euclidiano .
Entonces, sea R un dominio de factorización único, que no es un campo, y R [ X ] el anillo polinomial univariado sobre R. Un elemento irreducible r en R [ X ] es un elemento irreducible en R o un polinomio primitivo irreducible.
Si r está en R y divide un producto de dos polinomios, entonces divide el contenido. Así, según el lema de Euclides en R , divide uno de los contenidos y, por tanto, uno de los polinomios.
Si r no es R , es un polinomio primitivo (porque es irreducible). Entonces el lema de Euclides en R [ X ] resulta inmediatamente del lema de Euclides en K [ X ] , donde K es el cuerpo de fracciones de R .
Para factorizar un polinomio multivariado sobre un campo o sobre números enteros, se puede considerar como un polinomio univariado con coeficientes en un anillo de polinomio con un indeterminado menos. Luego la factorización se reduce a factorizar por separado la parte primitiva y el contenido. Como el contenido tiene un indeterminado menos, se podrá factorizar aplicando el método de forma recursiva . Para factorizar la parte primitiva, el método estándar consiste en sustituir números enteros en los indeterminados de los coeficientes de manera que no cambie el grado en la variable restante, factorizar el polinomio univariado resultante y elevar el resultado a una factorización de la parte primitiva. .
