En matemáticas, un campo ordenado no de Arquímedes es un campo ordenado que no satisface la propiedad de Arquímedes . Dichos campos contendrán elementos infinitesimales e infinitamente grandes, adecuadamente definidos.
Supongamos que F es un campo ordenado . Decimos que F satisface la propiedad de Arquímedes si, por cada dos elementos positivos x e y de F , existe un número natural n tal que nx > y . Aquí, n denota el elemento de campo resultante de formar la suma de n copias del elemento de campo 1 , de modo que nx es la suma de n copias de x .
Un campo ordenado que no satisface la propiedad de Arquímedes es un campo ordenado no de Arquímedes.
Los cuerpos de los números racionales y de los números reales , con sus ordenamientos habituales, satisfacen la propiedad de Arquímedes.
Ejemplos de campos ordenados no arquimedianos son el campo de Levi-Civita , los números hiperreales , los números surrealistas , el campo de Dehn y el campo de funciones racionales con coeficientes reales (donde definimos f > g para significar que f ( t )> g ( t ) para t suficientemente grande ).
En un campo ordenado no de Arquímedes, podemos encontrar dos elementos positivos x e y tales que, para cada número natural n , nx ≤ y . Esto significa que el elemento positivo y / x es mayor que todo número natural n (por lo que es un "elemento infinito"), y el elemento positivo x / y es menor que 1/ n para todo número natural n (por lo que es un "elemento infinitesimal").
Por el contrario, si un campo ordenado contiene un elemento infinito o infinitesimal en este sentido, entonces es un campo ordenado no de Arquímedes.
Los campos hiperrealistas , campos ordenados no arquimedianos que contienen los números reales como subcampo, se utilizan para proporcionar una base matemática para el análisis no estándar .
Max Dehn usó el campo de Dehn , un ejemplo de un campo ordenado no de Arquímedes, para construir geometrías no euclidianas en las que el postulado de las paralelas no es cierto pero, sin embargo, los triángulos tienen ángulos que suman π . [1]
El campo de funciones racionales se puede utilizar para construir un campo ordenado que sea completo de Cauchy (en el sentido de convergencia de secuencias de Cauchy) pero que no sean números reales. [2] Esta finalización puede describirse como el campo de la serie formal de Laurent sobre . Es un campo ordenado no arquimediano. A veces, el término "completo" se utiliza para significar que se cumple la propiedad del límite superior mínimo , es decir, para la completitud de Dedekind . No hay campos ordenados que no sean de Arquímedes completos de Dedekind. La sutil distinción entre estos dos usos de la palabra completo es en ocasiones fuente de confusión.
