En geometría , Max Dehn introdujo dos ejemplos de planos, una geometría semieuclidiana y una geometría no legendaria , que tienen infinitas líneas paralelas a una dada que pasan por un punto dado, pero donde la suma de los ángulos de un triángulo es al menos π . Un fenómeno similar ocurre en la geometría hiperbólica , excepto que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que π . Los ejemplos de Dehn utilizan un cuerpo no arquimediano, por lo que se viola el axioma de Arquímedes . Fueron introducidos por Max Dehn (1900) y discutidos por Hilbert (1902, pp. 127-130, o pp. 42-43 en algunas ediciones posteriores).
Para construir sus geometrías, Dehn utilizó un cuerpo pitagórico ordenado no arquimediano Ω( t ), un cierre pitagórico del cuerpo de funciones racionales R ( t ), que consiste en el cuerpo más pequeño de funciones de valor real en la recta real que contiene las constantes reales, la función identidad t (tomando cualquier número real como propio) y cerrado bajo la operación . El cuerpo Ω( t ) se ordena poniendo x > y si la función x es mayor que y para números reales suficientemente grandes. Un elemento x de Ω( t ) se llama finito si m < x < n para algunos números enteros m , n , y se llama infinito en caso contrario.
El conjunto de todos los pares ( x , y ), donde x e y son elementos cualesquiera (posiblemente infinitos) del campo Ω( t ), y con la métrica habitual
que toma valores en Ω( t ), da un modelo de geometría euclidiana . El postulado de las paralelas es verdadero en este modelo, pero si la desviación de la perpendicular es infinitesimal (es decir, menor que cualquier número racional positivo), las líneas que se intersecan se intersecan en un punto que no está en la parte finita del plano. Por lo tanto, si el modelo se restringe a la parte finita del plano (puntos ( x , y ) con x e y finitos), se obtiene una geometría en la que el postulado de las paralelas falla pero la suma de los ángulos de un triángulo es π . Esta es la geometría semieuclidiana de Dehn. Se analiza en Rucker (1982, pp. 91-2).
En el mismo artículo, Dehn también construyó un ejemplo de una geometría no legendaria donde hay infinitas líneas a través de un punto que no se encuentran con otra línea, pero la suma de los ángulos en un triángulo excede π . La geometría elíptica de Riemann sobre Ω( t ) consiste en el plano proyectivo sobre Ω( t ), que puede identificarse con el plano afín de puntos ( x : y :1) junto con la "línea en el infinito", y tiene la propiedad de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que π La geometría no legendaria consiste en los puntos ( x : y :1) de este subespacio afín tales que tx y ty son finitos (donde como arriba t es el elemento de Ω( t ) representado por la función identidad). El teorema de Legendre establece que la suma de los ángulos de un triángulo es como máximo π , pero supone el axioma de Arquímedes, y el ejemplo de Dehn muestra que el teorema de Legendre no necesariamente se cumple si se descarta el axioma de Arquímedes.
