En álgebra abstracta y análisis , la propiedad de Arquímedes , llamada así por el antiguo matemático griego Arquímedes de Siracusa , es una propiedad que poseen algunas estructuras algebraicas , como los grupos ordenados o normados y los cuerpos . La propiedad, como se interpreta típicamente, establece que dados dos números positivos y , existe un entero tal que . También significa que el conjunto de números naturales no está acotado superiormente. [1] En términos generales, es la propiedad de no tener elementos infinitamente grandes o infinitamente pequeños . Fue Otto Stolz quien le dio su nombre al axioma de Arquímedes porque aparece como Axioma V de Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes . [2]
La noción surgió de la teoría de magnitudes de la Antigua Grecia; todavía juega un papel importante en las matemáticas modernas, como los axiomas de David Hilbert para la geometría y las teorías de grupos ordenados , campos ordenados y campos locales .
Una estructura algebraica en la que dos elementos distintos de cero son comparables , en el sentido de que ninguno de ellos es infinitesimal con respecto al otro, se dice que es arquimediana . Una estructura que tiene un par de elementos distintos de cero, uno de los cuales es infinitesimal con respecto al otro, se dice que es no arquimediana . Por ejemplo, un grupo ordenado linealmente que es arquimediano es un grupo arquimediano .
Esto se puede precisar en diversos contextos con formulaciones ligeramente diferentes. Por ejemplo, en el contexto de cuerpos ordenados , se tiene el axioma de Arquímedes que formula esta propiedad, donde el cuerpo de los números reales es arquimediano, pero el de las funciones racionales en coeficientes reales no lo es.
El concepto fue bautizado por Otto Stolz (en la década de 1880) en honor al antiguo geómetra y físico griego Arquímedes de Siracusa .
La propiedad de Arquímedes aparece en el Libro V de los Elementos de Euclides como Definición 4:
Se dice que las magnitudes tienen una relación entre sí que puede, al multiplicarse, superarse entre sí.
Debido a que Arquímedes lo atribuyó a Eudoxo de Cnido, también se lo conoce como el "Teorema de Eudoxo" o el axioma de Eudoxo . [3]
Arquímedes utilizó infinitesimales en argumentos heurísticos , aunque negó que se tratase de pruebas matemáticas acabadas .
Sean x e y elementos positivos de un grupo linealmente ordenado G . Entonces es infinitesimal con respecto a (o equivalentemente, es infinito con respecto a ) si, para cualquier número natural , el múltiplo es menor que , es decir, se cumple la siguiente desigualdad:
Esta definición puede extenderse a todo el grupo tomando valores absolutos.
El grupo es arquimediano si no existe ningún par que sea infinitesimal con respecto a .
Además, si es una estructura algebraica con una unidad (1) —por ejemplo, un anillo— se aplica una definición similar a . Si es infinitesimal con respecto a , entonces es un elemento infinitesimal . Asimismo, si es infinito con respecto a , entonces es un elemento infinito . La estructura algebraica es arquimediana si no tiene elementos infinitos ni elementos infinitesimales.
Los campos ordenados tienen algunas propiedades adicionales:
En este contexto, un cuerpo ordenado K es arquimediano precisamente cuando se cumple la siguiente afirmación, llamada axioma de Arquímedes :
Alternativamente se puede utilizar la siguiente caracterización:
El calificativo "arquimediano" también se formula en la teoría de cuerpos de rango uno y espacios normados sobre cuerpos de rango uno de la siguiente manera. Sea un cuerpo dotado de una función de valor absoluto, es decir, una función que asocia el número real con el elemento de cuerpo 0 y asocia un número real positivo con cada no cero y satisface y . Entonces, se dice que es arquimediano si para cualquier no cero existe un número natural tal que
De manera similar, un espacio normado es arquimediano si una suma de términos, cada uno igual a un vector distinto de cero , tiene una norma mayor que uno para un valor suficientemente grande . Un cuerpo con un valor absoluto o un espacio normado es arquimediano o satisface la condición más fuerte, denominada desigualdad del triángulo ultramétrico , respectivamente. Un cuerpo o espacio normado que satisface la desigualdad del triángulo ultramétrico se denomina no arquimediano .
El concepto de un espacio lineal normado no arquimediano fue introducido por AF Monna. [4]
Al campo de los números racionales se le puede asignar una de varias funciones de valor absoluto, incluyendo la función trivial , cuando , la más usual , y las funciones de valor absoluto -ádico . Por el teorema de Ostrowski , cada valor absoluto no trivial en los números racionales es equivalente al valor absoluto usual o a algún valor absoluto -ádico. El campo racional no es completo con respecto a los valores absolutos no triviales; con respecto al valor absoluto trivial, el campo racional es un espacio topológico discreto, por lo tanto completo. La completitud con respecto al valor absoluto usual (del orden) es el campo de los números reales. Por esta construcción el campo de los números reales es arquimediano tanto como un campo ordenado como un campo normado. [5] Por otro lado, las completitudes con respecto a los otros valores absolutos no triviales dan los campos de números p-ádicos , donde es un número entero primo (ver abajo); Dado que los valores absolutos -ádicos satisfacen la propiedad ultramétrica , entonces los campos numéricos -ádicos no son arquimedianos como campos normados (no pueden convertirse en campos ordenados).
En la teoría axiomática de los números reales , la no existencia de números reales infinitesimales distintos de cero está implícita por la propiedad del límite superior mínimo de la siguiente manera. Denote por el conjunto que consiste en todos los infinitesimales positivos. Este conjunto está acotado superiormente por . Ahora supongamos para una contradicción que no está vacío. Entonces tiene un límite superior mínimo , que también es positivo, por lo que . Como c es un límite superior de y es estrictamente mayor que , no es un infinitesimal positivo. Es decir, hay algún número natural para el cual . Por otro lado, es un infinitesimal positivo, ya que por la definición de límite superior mínimo debe haber un infinitesimal entre y , y si entonces no es infinitesimal. Pero , por lo que no es infinitesimal, y esto es una contradicción. Esto significa que está vacío después de todo: no hay números reales infinitesimales positivos.
La propiedad arquimediana de los números reales se cumple también en el análisis constructivo , aunque la propiedad del límite superior mínimo puede fallar en ese contexto.
Como ejemplo de un cuerpo ordenado que no es arquimediano, tomemos el cuerpo de funciones racionales con coeficientes reales. (Una función racional es cualquier función que pueda expresarse como un polinomio dividido por otro polinomio; supondremos en lo que sigue que esto se ha hecho de tal manera que el coeficiente principal del denominador sea positivo.) Para hacer de este cuerpo un cuerpo ordenado, hay que asignar un orden compatible con las operaciones de adición y multiplicación. Ahora bien, si y solo si , entonces solo tenemos que decir qué funciones racionales se consideran positivas. Llamemos positiva a la función si el coeficiente principal del numerador es positivo. (Hay que comprobar que este orden está bien definido y es compatible con la adición y la multiplicación.) Por esta definición, la función racional es positiva pero menor que la función racional . De hecho, si es cualquier número natural, entonces es positivo pero aún menor que , sin importar cuán grande sea. Por lo tanto, es un infinitesimal en este cuerpo.
Este ejemplo se generaliza a otros coeficientes. Si se toman funciones racionales con coeficientes racionales en lugar de coeficientes reales, se obtiene un cuerpo ordenado no arquimediano contable. Si se toman los coeficientes como funciones racionales en una variable diferente, por ejemplo , se obtiene un ejemplo con un tipo de orden diferente .
El cuerpo de los números racionales dotado de la métrica p-ádica y los cuerpos de números p-ádicos que son las completaciones, no tienen la propiedad arquimediana como cuerpos con valores absolutos. Todos los cuerpos con valores arquimedianos son isométricos a un subcuerpo de los números complejos con una potencia del valor absoluto usual. [6]
Todo cuerpo ordenado linealmente contiene (una copia isomorfa de) los racionales como un subcuerpo ordenado, es decir, el subcuerpo generado por la unidad multiplicativa de , que a su vez contiene los números enteros como un subgrupo ordenado, que contiene los números naturales como un monoide ordenado . La incrustación de los racionales proporciona entonces una forma de hablar sobre los racionales, los números enteros y los números naturales en . Las siguientes son caracterizaciones equivalentes de los cuerpos arquimedianos en términos de estas subestructuras. [7]
