Geometría analítica

Estudio de la geometría utilizando un sistema de coordenadas.

En matemáticas , la geometría analítica , también conocida como geometría de coordenadas o geometría cartesiana , es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas . Esto contrasta con la geometría sintética .

La geometría analítica se utiliza en física e ingeniería , y también en aviación , cohetería , ciencia espacial y vuelos espaciales . Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluida la geometría algebraica , diferencial , discreta y computacional .

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones de planos, líneas rectas y círculos, a menudo en dos y, a veces, en tres dimensiones. Geométricamente, se estudia el plano euclidiano (dos dimensiones) y el espacio euclidiano. Como se enseña en los libros escolares, la geometría analítica se puede explicar de manera más sencilla: se ocupa de definir y representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las formas. El hecho de que el álgebra de los números reales pueda emplearse para obtener resultados sobre el continuo lineal de la geometría se basa en el axioma de Cantor-Dedekind .

Historia

Grecia antigua

El matemático griego Menecmo resolvió problemas y demostró teoremas utilizando un método que tenía una fuerte similitud con el uso de coordenadas y a veces se ha sostenido que había introducido la geometría analítica. ^[1]

Apolonio de Perge , en Sobre la sección determinada , abordó problemas de una manera que podría llamarse geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que estuvieran en proporción con los demás. ^[2] Apolonio en las Cónicas desarrolló aún más un método que es tan similar a la geometría analítica que a veces se piensa que su trabajo anticipó el trabajo de Descartes en unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no es esencialmente diferente de nuestro uso moderno de un marco de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Desarrolló además relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a ecuaciones retóricas (expresadas en palabras) de curvas. Sin embargo, aunque Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometría analítica, no lo logró porque no tuvo en cuenta las magnitudes negativas y en todos los casos el sistema de coordenadas se superpuso a una curva dada a posteriori en lugar de a priori . Es decir, las ecuaciones estaban determinadas por las curvas, pero las curvas no estaban determinadas por las ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica. ^[3]

Persia

El matemático persa del siglo XI Omar Khayyam vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra y se estaba moviendo en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y geométrica ^[4] con su solución geométrica de las ecuaciones cúbicas generales , ^[5] pero el paso decisivo llegó más tarde con Descartes. ^[4] A Omar Khayyam se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica , y su libro Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios de la geometría analítica, es parte del cuerpo de las matemáticas persas que finalmente se transmitió a Europa. ^[6] Debido a su enfoque geométrico exhaustivo de las ecuaciones algebraicas, Khayyam puede considerarse un precursor de Descartes en la invención de la geometría analítica. ^{[7] : 248}

Europa occidental

La geometría analítica fue inventada independientemente por René Descartes y Pierre de Fermat , ^{[8] [9]} aunque a veces se le da crédito únicamente a Descartes. ^{[10] [11]} La geometría cartesiana , el término alternativo utilizado para la geometría analítica, lleva el nombre de Descartes.

Descartes hizo un progreso significativo con los métodos en un ensayo titulado La Géométrie (Geometría) , uno de los tres ensayos que acompañan (apéndices) publicados en 1637 junto con su Discurso sobre el método para dirigir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias , comúnmente conocido como Discurso sobre el método . La Géometrie , escrito en su lengua materna , el francés , y sus principios filosóficos, proporcionaron una base para el cálculo en Europa. Inicialmente, el trabajo no fue bien recibido, debido, en parte, a las muchas lagunas en los argumentos y las ecuaciones complicadas. Solo después de la traducción al latín y la adición del comentario de van Schooten en 1649 (y más trabajo después) la obra maestra de Descartes recibió el debido reconocimiento. ^[12]

Pierre de Fermat también fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica. Aunque no se publicó en vida de Descartes, una versión manuscrita de Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a los lugares planos y sólidos) circulaba en París en 1637, justo antes de la publicación del Discurso de Descartes . ^{[13] [14] [15]} Claramente escrita y bien recibida, la Introducción también sentó las bases para la geometría analítica. La diferencia clave entre los tratamientos de Fermat y Descartes es una cuestión de punto de vista: Fermat siempre comenzaba con una ecuación algebraica y luego describía la curva geométrica que la satisfacía, mientras que Descartes comenzaba con curvas geométricas y producía sus ecuaciones como una de varias propiedades de las curvas. ^[12] Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones más complicadas y tuvo que desarrollar los métodos para trabajar con ecuaciones polinómicas de mayor grado. Fue Leonhard Euler quien aplicó por primera vez el método de coordenadas en un estudio sistemático de curvas y superficies espaciales.

Coordenadas

Ilustración de un plano de coordenadas cartesianas. Se marcan y etiquetan cuatro puntos con sus coordenadas: (2,3) en verde, (−3,1) en rojo, (−1,5,−2,5) en azul y el origen (0,0) en violeta.

En geometría analítica, al plano se le asigna un sistema de coordenadas, en el que cada punto tiene un par de coordenadas de números reales . De manera similar, al espacio euclidiano se le asignan coordenadas en las que cada punto tiene tres coordenadas. El valor de las coordenadas depende de la elección del punto de origen inicial. Se utilizan diversos sistemas de coordenadas, pero los más comunes son los siguientes: ^[16]

Coordenadas cartesianas (en un plano o espacio)

El sistema de coordenadas más común que se utiliza es el sistema de coordenadas cartesianas , donde cada punto tiene una coordenada x que representa su posición horizontal y una coordenada y que representa su posición vertical. Estas suelen escribirse como un par ordenado ( x ,  y ). Este sistema también se puede utilizar para la geometría tridimensional, donde cada punto del espacio euclidiano se representa mediante un triple ordenado de coordenadas ( x ,  y ,  z ).

Coordenadas polares (en un plano)

En coordenadas polares , cada punto del plano se representa por su distancia r desde el origen y su ángulo θ , donde θ normalmente se mide en sentido antihorario desde el eje x positivo . Con esta notación, los puntos se escriben típicamente como un par ordenado ( r , θ ). Se pueden transformar de ida y vuelta entre coordenadas cartesianas y polares bidimensionales utilizando estas fórmulas: Este sistema se puede generalizar al espacio tridimensional mediante el uso de coordenadas cilíndricas o esféricas . $${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).}$$

Coordenadas cilíndricas (en un espacio)

En coordenadas cilíndricas , cada punto del espacio está representado por su altura z , su radio r desde el eje z y el ángulo θ que forma su proyección sobre el plano xy con respecto al eje horizontal.

Coordenadas esféricas (en un espacio)

En coordenadas esféricas, cada punto del espacio se representa por su distancia ρ desde el origen, el ángulo θ que forma su proyección sobre el plano xy con respecto al eje horizontal y el ángulo φ que forma con respecto al eje z . Los nombres de los ángulos suelen invertirse en física. ^[16]

Ecuaciones y curvas

En geometría analítica, cualquier ecuación que involucre las coordenadas especifica un subconjunto del plano, es decir, el conjunto solución de la ecuación, o lugar geométrico . Por ejemplo, la ecuación y  =  x corresponde al conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas x e y son iguales. Estos puntos forman una línea , y se dice que y  =  x es la ecuación de esta línea. En general, las ecuaciones lineales que involucran x e y especifican líneas, las ecuaciones cuadráticas especifican secciones cónicas y las ecuaciones más complicadas describen figuras más complicadas. ^[17]

Por lo general, una única ecuación corresponde a una curva en el plano. Este no es siempre el caso: la ecuación trivial x  =  x especifica todo el plano, y la ecuación x ²  +  y ²  = 0 especifica solo el único punto (0, 0). En tres dimensiones, una única ecuación suele dar una superficie , y una curva debe especificarse como la intersección de dos superficies (ver más abajo), o como un sistema de ecuaciones paramétricas . ^[18] La ecuación x ²  +  y ²  =  r ² es la ecuación para cualquier círculo centrado en el origen (0, 0) con un radio de r.

Líneas y planos

Las líneas en un plano cartesiano , o más generalmente, en coordenadas afines , pueden describirse algebraicamente mediante ecuaciones lineales . En dos dimensiones, la ecuación para líneas no verticales se da a menudo en forma de pendiente-intersección : donde: $${\displaystyle y=mx+b}$$

• m es la pendiente o gradiente de la línea.
• b es la intersección con el eje y de la línea.
• x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

De manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen utilizando una forma punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural utilizando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea el vector de posición de algún punto , y sea un vector distinto de cero. El plano determinado por este punto y vector consiste en aquellos puntos , con vector de posición , tales que el vector dibujado desde a es perpendicular a . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos tales que (El punto aquí significa un producto escalar , no una multiplicación escalar). Desarrollado esto se convierte en que es la forma normal al punto de la ecuación de un plano. ^{[ cita requerida ]} Esta es solo una ecuación lineal : A la inversa, se muestra fácilmente que si a , b , c y d son constantes y a , b y c no son todos cero, entonces el gráfico de la ecuación es un plano que tiene al vector como normal. ^{[ cita requerida ]} Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano. ^{[ 19 ]} ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$ $${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

En tres dimensiones, las líneas no se pueden describir mediante una única ecuación lineal, por lo que frecuentemente se describen mediante ecuaciones paramétricas : donde: $${\displaystyle x=x_{0}+at}$$ $${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$ $${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$

• x , y y z son todas funciones de la variable independiente t que abarca los números reales.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es cualquier punto de la línea.
• a , b y c están relacionados con la pendiente de la línea, de modo que el vector ( a , b , c ) es paralelo a la línea.

Secciones cónicas

Una hipérbola y su hipérbola conjugada

En el sistema de coordenadas cartesianas , la gráfica de una ecuación cuadrática con dos variables es siempre una sección cónica, aunque puede estar degenerada, y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación tendrá la forma Como al escalar las seis constantes se obtiene el mismo lugar geométrico de los ceros, se pueden considerar las cónicas como puntos en el espacio proyectivo de cinco dimensiones. $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar utilizando el discriminante ^[20]

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$Si la cónica no es degenerada, entonces:

• si , la ecuación representa una elipse ; ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • si y , la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de elipse; ${\displaystyle A=C}$ ${\displaystyle B=0}$
• si , la ecuación representa una parábola ; ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• si , la ecuación representa una hipérbola ; ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • si además tenemos , la ecuación representa una hipérbola rectangular . ${\displaystyle A+C=0}$

Superficies cuadráticas

Una superficie cuadrática , o superficie cuadrática , es una superficie bidimensional en un espacio tridimensional definida como el lugar geométrico de los ceros de un polinomio cuadrático . En las coordenadas x ₁ , x ₂ , x ₃ , la superficie cuadrática general se define mediante la ecuación algebraica ^[21]

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

Las superficies cuadráticas incluyen elipsoides (incluida la esfera ), paraboloides , hiperboloides , cilindros , conos y planos .

Distancia y ángulo

La fórmula de la distancia en el plano se deriva del teorema de Pitágoras.

En geometría analítica, nociones geométricas como la distancia y la medida de ángulos se definen mediante fórmulas . Estas definiciones están diseñadas para ser coherentes con la geometría euclidiana subyacente . Por ejemplo, utilizando coordenadas cartesianas en el plano, la distancia entre dos puntos ( x ₁ ,  y ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ) se define mediante la fórmula que puede verse como una versión del teorema de Pitágoras . De manera similar, el ángulo que forma una línea con la horizontal se puede definir mediante la fórmula donde m es la pendiente de la línea. $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$

En tres dimensiones, la distancia se da por la generalización del teorema de Pitágoras: mientras que el ángulo entre dos vectores se da por el producto escalar . El producto escalar de dos vectores euclidianos A y B se define por ^[22] donde θ es el ángulo entre A y B . $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$

Transformaciones

a) y = f(x) = |x|       b) y = f(x+3)      c) y = f(x)-3      d) y = 1/2 f(x)

Las transformaciones se aplican a una función padre para convertirla en una nueva función con características similares.

La gráfica de se modifica mediante transformaciones estándar de la siguiente manera: ${\displaystyle R(x,y)}$

• Cambiar a mueve el gráfico a las unidades correctas . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-h}$ ${\displaystyle h}$
• Cambiar a mueve el gráfico unidades hacia arriba. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y-k}$ ${\displaystyle k}$
• Cambiar a estira el gráfico horizontalmente por un factor de . (piense en el como si estuviera dilatado) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$
• Cambiar a estira el gráfico verticalmente. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y/a}$
• Cambiar a y cambiar a gira el gráfico en un ángulo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ ${\displaystyle A}$

Existen otras transformaciones estándar que no suelen estudiarse en la geometría analítica elemental porque modifican la forma de los objetos de maneras que no suelen considerarse. La distorsión es un ejemplo de una transformación que no suele considerarse. Para obtener más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre transformaciones afines .

Por ejemplo, la función madre tiene una asíntota horizontal y una vertical, y ocupa el primer y tercer cuadrante, y todas sus formas transformadas tienen una asíntota horizontal y vertical, y ocupan el primer y tercer cuadrante o el segundo y cuarto cuadrante. En general, si , entonces puede transformarse en . En la nueva función transformada, es el factor que estira verticalmente la función si es mayor que 1 o comprime verticalmente la función si es menor que 1, y para valores negativos, la función se refleja en el eje -. El valor comprime el gráfico de la función horizontalmente si es mayor que 1 y estira la función horizontalmente si es menor que 1, y como , refleja la función en el eje - cuando es negativo. Los valores y introducen traslaciones, , vertical y horizontal. Los valores y positivos significan que la función se traslada al extremo positivo de su eje y los negativos significan traslación hacia el extremo negativo. ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$

Las transformaciones se pueden aplicar a cualquier ecuación geométrica, independientemente de que la ecuación represente una función o no. Las transformaciones se pueden considerar como transacciones individuales o en combinaciones.

Supongamos que es una relación en el plano. Por ejemplo, es la relación que describe el círculo unitario. ${\displaystyle R(x,y)}$ ${\displaystyle xy}$ $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$

Encontrar intersecciones de objetos geométricos

Para dos objetos geométricos P y Q representados por las relaciones y la intersección es la colección de todos los puntos que están en ambas relaciones. ^[23] ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Por ejemplo, podría ser el círculo con radio 1 y centro : y podría ser el círculo con radio 1 y centro . La intersección de estos dos círculos es la colección de puntos que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. ¿El punto hace que ambas ecuaciones sean verdaderas? Usando para , la ecuación para se convierte en o que es verdadera, por lo que está en la relación . Por otro lado, aún usando para la ecuación para se convierte en o que es falsa. no está en por lo que no está en la intersección. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P}$

La intersección de y se puede encontrar resolviendo las ecuaciones simultáneas: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

Los métodos tradicionales para encontrar intersecciones incluyen la sustitución y la eliminación.

Sustitución: Resuelva la primera ecuación en términos de y luego sustituya la expresión en la segunda ecuación: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

Luego sustituimos este valor en la otra ecuación y procedemos a resolver : ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$ $${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

A continuación, colocamos este valor de en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Así que nuestra intersección tiene dos puntos: $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Eliminación : Sumar (o restar) un múltiplo de una ecuación a la otra ecuación de modo que una de las variables se elimine. Para nuestro ejemplo actual, si restamos la primera ecuación de la segunda obtenemos . El en la primera ecuación se resta del en la segunda ecuación sin dejar ningún término. La variable ha sido eliminada. Luego, resolvemos la ecuación restante para , de la misma manera que en el método de sustitución: ${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1-x^{2}=0}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

Luego colocamos este valor de en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Así que nuestra intersección tiene dos puntos: $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Para las secciones cónicas, puede haber hasta 4 puntos en la intersección.

Encontrar intersecciones

Un tipo de intersección que se estudia ampliamente es la intersección de un objeto geométrico con los ejes de coordenadas y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

La intersección de un objeto geométrico y el eje se denomina intersección con el eje del objeto. La intersección de un objeto geométrico y el eje se denomina intersección con el eje del objeto. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Para la línea , el parámetro especifica el punto en el que la línea cruza el eje. Según el contexto, el punto se denomina intersección. ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (0,b)}$ ${\displaystyle y}$

Eje geométrico

El eje en geometría es la línea perpendicular a cualquier línea, objeto o superficie.

También para esto se puede utilizar el uso común del lenguaje como: línea normal (perpendicular), o en ingeniería como línea axial .

En geometría , una normal es un objeto, como una línea o un vector, que es perpendicular a un objeto determinado. Por ejemplo, en el caso bidimensional, la línea normal a una curva en un punto determinado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto.

En el caso tridimensional, una normal a una superficie , o simplemente normal , a una superficie en un punto P es un vector que es perpendicular al plano tangente a esa superficie en P. La palabra "normal" también se utiliza como adjetivo: una línea normal a un plano , el componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad .

Planos esféricos y no lineales y sus tangentes

La tangente es la aproximación lineal de una línea esférica u otra línea curva o torcida de una función.

Líneas tangentes y planos

En geometría , la línea tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es la línea recta que "apenas toca" la curva en ese punto. De manera informal, es una línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una línea recta es tangente de una curva y = f ( x ) en un punto x = c en la curva si la línea pasa por el punto ( c , f ( c )) en la curva y tiene pendiente f ' ( c ) donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y a las curvas en el espacio euclidiano n -dimensional .

A medida que pasa por el punto donde se encuentran la línea tangente y la curva, llamado punto de tangencia , la línea tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto.

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "apenas toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizado; véase Espacio tangente .

Véase también

• Geometría aplicada
• Producto vectorial
• Rotación de ejes
• Traducción de ejes
• Espacio vectorial

Notas

1. Boyer, Carl B. (1991). "La era de Platón y Aristóteles". Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc., págs. 94-95. ISBN 0-471-54397-7. Menecmo aparentemente dedujo estas propiedades de las secciones cónicas y otras también. Dado que este material tiene una fuerte semejanza con el uso de coordenadas, como se ilustra arriba, a veces se ha sostenido que Menecmo tenía geometría analítica. Tal juicio está justificado sólo en parte, ya que ciertamente Menecmo no sabía que cualquier ecuación con dos cantidades desconocidas determina una curva. De hecho, el concepto general de una ecuación con cantidades desconocidas era ajeno al pensamiento griego. Fueron las deficiencias en las notaciones algebraicas las que, más que cualquier otra cosa, operaron en contra del logro griego de una geometría de coordenadas completa.
2. Boyer, Carl B. (1991). "Apolonio de Perga". Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc., págs. 142. ISBN 0-471-54397-7El tratado apolíneo Sobre la sección determinada trataba de lo que podría llamarse una geometría analítica de una dimensión. Consideraba el siguiente problema general, utilizando el análisis algebraico griego típico en forma geométrica: dados cuatro puntos A, B, C, D en una línea recta, determina un quinto punto P en ella tal que el rectángulo en AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo en BP y DP. Aquí, también, el problema se reduce fácilmente a la solución de una ecuación cuadrática; y, como en otros casos, Apolonio trató la cuestión exhaustivamente, incluyendo los límites de posibilidad y el número de soluciones.
3. Boyer, Carl B. (1991). "Apolonio de Perga". Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc., págs. 156. ISBN 0-471-54397-7El método de Apolonio en las Cónicas es en muchos aspectos tan similar al enfoque moderno que su obra a veces se considera una geometría analítica que se anticipó a la de Descartes en 1.800 años. La aplicación de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en su extremo en particular, no es, por supuesto, esencialmente diferente del uso de un sistema de coordenadas, ya sea rectangular u, más generalmente, oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. La relación apolínea entre estas abscisas y las ordenadas correspondientes no son nada más ni menos que formas retóricas de las ecuaciones de las curvas. Sin embargo, el álgebra geométrica griega no preveía magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas se superponía en todos los casos a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades. No parece haber casos en la geometría antigua en los que se haya establecido a priori un marco de referencia de coordenadas para fines de representación gráfica de una ecuación o relación, ya sea expresada simbólica o retóricamente. De la geometría griega podemos decir que las ecuaciones están determinadas por curvas, pero no que las curvas están determinadas por ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias derivadas de una situación geométrica específica; [...] El hecho de que Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no lograra desarrollar la geometría analítica fue probablemente el resultado de una pobreza de curvas más que de pensamiento. Los métodos generales no son necesarios cuando los problemas se refieren siempre a uno de un número limitado de casos particulares.
4. Boyer (1991). "La hegemonía árabe" . Una historia de las matemáticas . pp. 241-242. ISBN 9780471543978Omar Khayyam (ca. 1050–1123), el "fabricante de tiendas", escribió un álgebra que iba más allá de la de al-Khwarizmi al incluir ecuaciones de tercer grado. Al igual que sus predecesores árabes, Omar Khayyam proporcionó soluciones aritméticas y geométricas para las ecuaciones cuadráticas; para las ecuaciones cúbicas generales, creía (erróneamente, como se demostró más tarde en el siglo XVI), que las soluciones aritméticas eran imposibles; por lo tanto, proporcionó solo soluciones geométricas. El esquema de usar cónicas que se intersectan para resolver ecuaciones cúbicas había sido utilizado anteriormente por Menecmo, Arquímedes y Alhazan, pero Omar Khayyam dio el loable paso de generalizar el método para cubrir todas las ecuaciones de tercer grado (que tienen raíces positivas). Para ecuaciones de grado superior a tres, Omar Khayyam evidentemente no imaginó métodos geométricos similares, pues el espacio no contiene más de tres dimensiones... Una de las contribuciones más fructíferas del eclecticismo árabe fue la tendencia a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y la geométrica. El paso decisivo en esta dirección llegó mucho más tarde con Descartes, pero Omar Khayyam se movía en esta dirección cuando escribió: "Quien piense que el álgebra es un truco para obtener incógnitas, lo ha pensado en vano. No se debe prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que se demuestran".
5. Cooper, Glen M. (2003). "Reseña: Omar Khayyam, el matemático por R. Rashed, B. Vahabzadeh". Revista de la Sociedad Oriental Americana . 123 (1): 248–249. doi :10.2307/3217882. JSTOR  3217882.
6. Obras maestras matemáticas: otras crónicas de los exploradores, pág. 92
7. Cooper, G. (2003). Revista de la Sociedad Oriental Americana, 123(1), 248-249.
8. Stillwell, John (2004). "Geometría analítica". Matemáticas y su historia (segunda edición). Springer Science + Business Media Inc. pág. 105. ISBN 0-387-95336-1Los dos fundadores de la geometría analítica, Fermat y Descartes, estuvieron fuertemente influenciados por estos desarrollos.
9. Boyer 2004, pág. 74
10. Cooke, Roger (1997). "El cálculo". Historia de las matemáticas: un breve curso . Wiley-Interscience. pp. 326. ISBN 0-471-18082-3La persona a quien popularmente se le atribuye el descubrimiento de la geometría analítica fue el filósofo René Descartes (1596-1650), uno de los pensadores más influyentes de la era moderna .
11. Boyer 2004, pág. 82
12. Katz 1998, pág. 442
13. Katz 1998, pág. 436
14. Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, Francia: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge", págs. 91-103. Archivado el 4 de agosto de 2015 en Wayback Machine.
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Referencias

Libros

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• Katz, Victor J. (1998), Una historia de las matemáticas: una introducción (2.ª ed.), Lectura: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Mikhail Postnikov (1982) Lecciones de geometría Semestre I Geometría analítica vía Internet Archive
• Struik, DJ (1969), Un libro de referencia sobre matemáticas, 1200-1800 , Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

Artículos

• Bissell, Christopher C. (1987), "Geometría cartesiana: la contribución holandesa", The Mathematical Intelligencer , 9 (4): 38–44, doi :10.1007/BF03023730
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• Boyer, Carl B. (1965), "Johann Hudde y las coordenadas espaciales", Mathematics Teacher , 58 (1): 33–36, doi :10.5951/MT.58.1.0033
• Coolidge, JL (1948), "Los inicios de la geometría analítica en tres dimensiones", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi :10.2307/2305740, JSTOR  2305740
• Pecl, J., Newton y la geometría analítica

Enlaces externos

• Temas de geometría coordinada con animaciones interactivas