Grupo linealmente ordenado

Grupo con orden total traslacionalmente invariante; es decir, si a ≤ b, entonces ca ≤ cb

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo linealmente ordenado o totalmente ordenado es un grupo G equipado con un orden total "≤" que es invariante a la traducción . Esto puede tener diferentes significados. Decimos que ( G , ≤) es un:

• grupo ordenado por la izquierda si ≤ es invariante por la izquierda, es decir, a  ≤  b implica ca  ≤  cb para todo a ,  b ,  c en G ,
• grupo ordenado por la derecha si ≤ es invariante por la derecha, es decir, a  ≤  b implica ac  ≤  bc para todo a ,  b ,  c en G ,
• grupo biordenado si ≤ es biinvariante, es decir, es invariante tanto a la izquierda como a la derecha.

Se dice que un grupo G es ordenable por la izquierda (o ordenable por la derecha , o biordenable ) si existe un orden invariante por la izquierda (o por la derecha, o bi-) en G. Una condición necesaria simple para que un grupo pueda ordenarse por la izquierda es no tener elementos de orden finito; sin embargo, esta no es una condición suficiente. Es equivalente a que un grupo se pueda ordenar por la izquierda o por la derecha; sin embargo, existen grupos ordenables por la izquierda que no son ordenables por la izquierda.

Otras definiciones

En esta sección hay un orden invariante a la izquierda en un grupo con elemento de identidad . Todo lo dicho se aplica a órdenes invariantes por la derecha con las modificaciones obvias. Tenga en cuenta que ser invariante a la izquierda es equivalente al orden definido por si y solo si es invariante a la derecha. En particular, un grupo que se puede ordenar por la izquierda es lo mismo que por la derecha. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq '}$ ${\displaystyle g\leq 'h}$ ${\displaystyle h^{-1}\leq g^{-1}}$

En analogía con los números ordinarios, llamamos positivo a un elemento de un grupo ordenado si . El conjunto de elementos positivos en un grupo ordenado se llama cono positivo , a menudo se denota con ; se utiliza una notación ligeramente diferente para el cono positivo junto con el elemento de identidad. ^[1] ${\displaystyle g\not =e}$ ${\displaystyle e\leq g}$ ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle G^{+}}$

El cono positivo caracteriza el orden ; de hecho, por invariancia hacia la izquierda vemos que si y sólo si . De hecho, un grupo ordenado por la izquierda se puede definir como un grupo junto con un subconjunto que satisface las dos condiciones que: ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle g\leq h}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in G_{+}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. porque nosotros también tenemos ; ${\displaystyle g,h\in P}$ ${\displaystyle gh\in P}$
2. let , entonces es la unión disjunta de y . ${\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1},g\in P\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P,P^{-1}}$ ${\displaystyle \{e\}}$

El orden asociado con está definido por ; la primera condición equivale a la invariancia por la izquierda y la segunda a que el orden esté bien definido y sea total. El cono positivo de es . ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle P}$

El orden invariante por la izquierda es bi-invariante si y solo si es invariante de conjugación, es decir, si entonces para cualquiera también lo tenemos . Esto equivale a que el cono positivo sea estable bajo automorfismos internos . ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle g\leq h}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}$

Si , entonces el valor absoluto de , denotado por , se define como: ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|}$

$${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

abelianola desigualdad ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$

Ejemplos

Cualquier grupo ordenable por la izquierda o por la derecha está libre de torsión , es decir, no contiene elementos de orden finito además de la identidad. Por el contrario, FW Levi demostró que un grupo abeliano libre de torsión es biordenable; ^[2] esto sigue siendo cierto para los grupos nilpotentes ^[3] pero existen grupos sin torsión, presentados finitamente, que no se pueden ordenar por la izquierda.

grupos ordenados de Arquímedes

Otto Hölder demostró que cada grupo de Arquímedes (un grupo biordenado que satisface una propiedad de Arquímedes ) es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de números reales (Fuchs y Salce 2001, p. 61). Si escribimos el grupo lo de Arquímedes multiplicativamente, esto se puede demostrar considerando la terminación de Dedekind , de la clausura de un grupo lo bajo las raíces th. Dotamos a este espacio con la topología habitual de un orden lineal, y luego se puede demostrar que para cada uno de los mapas exponenciales son isomorfismos de grupos topológicos que preservan/invierten el orden bien definidos . Completar un grupo lo puede resultar difícil en el caso no arquimediano. En estos casos, se puede clasificar un grupo por su rango : que está relacionado con el tipo de orden de la secuencia más grande de subgrupos convexos. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\in {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}}$

Otros ejemplos

Los grupos gratuitos se pueden ordenar a la izquierda. De manera más general, este también es el caso de los grupos de Artin en ángulo recto . ^[4] Los grupos de trenzas también se pueden ordenar a la izquierda. ^[5]

El grupo dado por la presentación no tiene torsión pero no se puede ordenar a la izquierda; ^{[6] tenga en cuenta que es un} grupo cristalográfico tridimensional (se puede realizar como el grupo generado por dos medias vueltas deslizadas con ejes ortogonales y la misma longitud de traslación), y es el mismo grupo que se demostró que era un contraejemplo de la conjetura de la unidad . De manera más general, el tema de la ordenabilidad de grupos de 3 variedades es interesante por su relación con varias invariantes topológicas. ^[7] Existe un grupo de 3 variedades que se puede ordenar por la izquierda pero no se puede ordenar por la izquierda ^[8] (de hecho, no satisface la propiedad más débil de ser indicable localmente). ${\displaystyle \langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle }$

Los grupos ordenables por la izquierda también han atraído interés desde la perspectiva de los sistemas dinámicos , ya que se sabe que un grupo contable se puede ordenar por la izquierda si y sólo si actúa en la línea real mediante homeomorfismos. ^[9] Los no ejemplos relacionados con este paradigma son redes en grupos de Lie de rango superior ; se sabe que (por ejemplo) los subgrupos de índice finito no se pueden ordenar por la izquierda; ^[10] Recientemente se ha anunciado una amplia generalización de esto. ^[11] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$

Ver también

• Grupo ordenado cíclicamente
• Teorema de incorporación de Hahn
• grupo parcialmente ordenado

Notas

1. Deroin, Navas y Rivas 2014, 1.1.1.
2. Leví 1942.
3. Deroin, Navas y Rivas 2014, 1.2.1.
4. Duchamp, Gerard; Thibon, Jean-Yves (1992). "Pedidos simples para grupos parcialmente conmutativos gratuitos". Revista Internacional de Álgebra y Computación . 2 (3): 351–355. doi :10.1142/S0218196792000219. Zbl  0772.20017.
5. Dehornoy, Patricio; Dynnikov, Iván; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2002). ¿Por qué se pueden pedir las trenzas? . París: Société Mathématique de France. pag. xiii + 190. ISBN 2-85629-135-X.
6. Deroin, Navas y Rivas 2014, 1.4.1.
7. Boyer, Steven; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2005). "Grupos de 3 colectores que se pueden ordenar". Anales del Instituto Fourier . 55 (1): 243–288. arXiv : matemáticas/0211110 . doi : 10.5802/aif.2098 . Zbl  1068.57001.
8. Bergman, George (1991). "Grupos ordenables por derechos que no son indicables localmente". Revista Pacífico de Matemáticas . 147 (2): 243–248. doi : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Zbl  0677.06007.
9. Deroin, Navas & Rivas 2014, Proposición 1.1.8.
10. Witte, Dave (1994). "Los grupos aritméticos de rango \(\mathbb{Q}\) superior no pueden actuar sobre variedades \(1\)". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 122 (2): 333–340. doi :10.2307/2161021. JSTOR  2161021. Zbl  0818.22006.
11. Deroin, Bertrand; Hurtado, Sebastián (2020). "No ordenabilidad a la izquierda de celosías en grupos de Lie semisimples de rango superior". arXiv : 2008.10687 [matemáticas.GT].

Referencias

• Deroin, Bertrand; Navas, Andrés; Rivas, Cristóbal (2014). "Grupos, órdenes y dinámicas". arXiv : 1408.5805 [matemáticas.GT].
• Levi, FW (1942), "Grupos ordenados", Proc. Académico indio. Ciencia. , A16 (4): 256–263, doi :10.1007/BF03174799, S2CID  198139979
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 84, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1963-0, señor  1794715
• Ghys, É. (2001), "Grupos que actúan en el círculo", L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407