Celosía (subgrupo discreto)

Subgrupo discreto en un grupo topológico localmente compacto

Una porción del grupo discreto de Heisenberg , un subgrupo discreto del grupo continuo de Heisenberg Lie. (El color y los bordes son sólo como ayuda visual).

En la teoría de Lie y áreas relacionadas de las matemáticas, una red en un grupo localmente compacto es un subgrupo discreto con la propiedad de que el espacio cociente tiene medida invariante finita . En el caso especial de subgrupos de R ⁿ , esto equivale a la noción geométrica habitual de una red como un subconjunto periódico de puntos, y tanto la estructura algebraica de las redes como la geometría del espacio de todas las redes se comprenden relativamente bien.

La teoría es particularmente rica para redes en grupos de Lie semisimples o, más generalmente, en grupos algebraicos semisimples sobre campos locales . En particular, hay una gran cantidad de resultados de rigidez en este escenario, y un célebre teorema de Grigory Margulis establece que en la mayoría de los casos todas las redes se obtienen como grupos aritméticos .

Las celosías también están bien estudiadas en algunas otras clases de grupos, en particular grupos asociados a álgebras de Kac-Moody y grupos de automorfismos de árboles regulares (estos últimos se conocen como celosías de árboles ).

Las celosías son de interés en muchas áreas de las matemáticas: teoría geométrica de grupos (como ejemplos particularmente agradables de grupos discretos ), en geometría diferencial (mediante la construcción de variedades localmente homogéneas), en teoría de números (mediante grupos aritméticos ), en teoría ergódica (mediante el estudio de flujos homogéneos en los espacios cocientes) y en combinatoria (mediante la construcción de gráficos de Cayley en expansión y otros objetos combinatorios).

Generalidades sobre celosías.

Discusión informal

Es mejor considerar las redes como aproximaciones discretas de grupos continuos (como los grupos de Lie). Por ejemplo, es intuitivamente claro que el subgrupo de vectores enteros "se parece" al espacio vectorial real en algún sentido, mientras que ambos grupos son esencialmente diferentes: uno es finitamente generado y contable , mientras que el otro no es finitamente generado y tiene la cardinalidad. del continuo . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definir rigurosamente el significado de "aproximación de un grupo continuo por un subgrupo discreto" en el párrafo anterior para tener una noción que generalice el ejemplo es una cuestión de para qué está diseñado. Quizás la idea más obvia es decir que un subgrupo "se aproxima" a un grupo más grande es que el grupo más grande puede ser cubierto por las traducciones de un subconjunto "pequeño" de todos los elementos de los subgrupos. En un grupo topológico localmente compacto hay dos nociones de "pequeño" inmediatamente disponibles: topológico (un subconjunto compacto o relativamente compacto ) o teórico de medidas (un subconjunto de medida finita de Haar). Tenga en cuenta que dado que la medida de Haar es una medida de radón , da masa finita a subconjuntos compactos, la segunda definición es más general. La definición de red utilizada en matemáticas se basa en el segundo significado (en particular para incluir ejemplos como ), pero el primero también tiene su propio interés (tales redes se denominan uniformes). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Otras nociones son la equivalencia aproximada y la cuasiisometría más fuerte . Las redes uniformes son casi isométricas con respecto a sus grupos ambientales, pero las no uniformes ni siquiera son equivalentes en términos generales.

Definición

Sea un grupo localmente compacto y un subgrupo discreto (esto significa que existe una vecindad del elemento de identidad de tal que ). Entonces se llama celosía si además existe una medida de Borel en el espacio cociente que es finita (es decir ) e invariante (lo que significa que para cualquier subconjunto abierto se satisface la igualdad ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \cap U=\{e_{G}\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (G/\Gamma )<+\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$ ${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$

Una formulación un poco más sofisticada es la siguiente: supongamos que además es unimodular, entonces, como es discreto, también es unimodular y, según teoremas generales, existe una medida de Borel única e invariante hasta el escalamiento. Entonces es una red si y sólo si esta medida es finita. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

En el caso de subgrupos discretos, esta medida invariante coincide localmente con la medida de Haar y, por lo tanto, que un subgrupo discreto en un grupo localmente compacto sea una red es equivalente a que tenga un dominio fundamental (para la acción por traslaciones hacia la izquierda) de volumen finito para la medida de Haar. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Una red se llama uniforme (o cocompacta) cuando el espacio cociente es compacto (y no uniforme en caso contrario). De manera equivalente, un subgrupo discreto es una red uniforme si y solo si existe un subconjunto compacto con . Tenga en cuenta que si hay algún subgrupo discreto que sea compacto, entonces automáticamente es una red en . ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle C\subset G}$ ${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$

Primeros ejemplos

El ejemplo fundamental y más simple es el subgrupo que es una red en el grupo de Lie . Un ejemplo un poco más complicado lo da el grupo discreto de Heisenberg dentro del grupo continuo de Heisenberg. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Si es un grupo discreto, entonces una red es exactamente un subgrupo de índice finito (es decir, el conjunto de cocientes es finito). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

Todos estos ejemplos son uniformes. Un ejemplo no uniforme lo da el grupo modular interior , así como los análogos de dimensiones superiores . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Cualquier subgrupo de índice finito de una red también es una red en el mismo grupo. De manera más general, un subgrupo conmensurable a una red es una red.

¿Qué grupos tienen celosías?

No todos los grupos localmente compactos contienen una red y no existe una condición suficiente teórica de grupo general para esto. Por otro lado, hay muchos entornos más específicos en los que existen dichos criterios. Por ejemplo, la existencia o no existencia de celosías en grupos de Lie es un tema bien comprendido.

Como mencionamos, una condición necesaria para que un grupo contenga una red es que el grupo debe ser unimodular . Esto permite la fácil construcción de grupos sin celosías, por ejemplo el grupo de matrices triangulares superiores invertibles o los grupos afines . Tampoco es muy difícil encontrar grupos unimodulares sin retículos, por ejemplo ciertos grupos de Lie nilpotentes como se explica a continuación.

Una condición más fuerte que la unimodularidad es la simplicidad . Esto es suficiente para implicar la existencia de una red en un grupo de Lie, pero en el entorno más general de grupos localmente compactos existen grupos simples sin redes, por ejemplo, los "grupos Neretin". ^[1]

Celosías en grupos de Lie solubles

Grupos de mentiras nilpotentes

Para los grupos nilpotentes, la teoría se simplifica mucho con respecto al caso general y sigue siendo similar al caso de los grupos abelianos. Todas las redes en un grupo de Lie nilpotente son uniformes, y si es un grupo de Lie nilpotente conexo simplemente conectado (de manera equivalente, no contiene un subgrupo compacto no trivial), entonces un subgrupo discreto es una red si y solo si no está contenido en un grupo de Lie conexo adecuado. subgrupo ^[2] (esto generaliza el hecho de que un subgrupo discreto en un espacio vectorial es una red si y sólo si abarca el espacio vectorial). ${\displaystyle N}$

Un grupo de Lie nilpotente contiene una red si y sólo si el álgebra de Lie de puede definirse sobre los racionales. Es decir, si y sólo si las constantes de estructura de son números racionales. ^[3] Más precisamente: en un grupo nilpotente cuyo álgebra de Lie tiene solo constantes de estructura racional, las redes son las imágenes a través del mapa exponencial de redes (en el sentido más elemental de Lattice (group) ) en el álgebra de Lie. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Una red en un grupo de Lie nilpotente siempre se genera de forma finita (y, por tanto, se presenta de forma finita, ya que es en sí misma nilpotente); de hecho, es generado por la mayoría de los elementos. ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \dim(N)}$

Finalmente, un grupo nilpotente es isomorfo a una red en un grupo de Lie nilpotente si y solo si contiene un subgrupo de índice finito que no tiene torsión y se genera de manera finita.

El caso general

El criterio para que los grupos de Lie nilpotentes tengan una red dado anteriormente no se aplica a grupos de Lie con solución más generales. Sigue siendo cierto que cualquier red en un grupo de Lie con solución es uniforme ^[5] y que las redes en grupos con solución se presentan de manera finita.

No todos los grupos solubles generados finitamente son retículos en un grupo de Lie. Un criterio algebraico es que el grupo sea policíclico . ^[6]

Celosías en grupos de Lie semisimples

Grupos aritméticos y existencia de redes.

Si es un grupo algebraico lineal semisimple en el que se define sobre el cuerpo de números racionales (es decir, las ecuaciones polinómicas que lo definen tienen sus coeficientes en ) entonces tiene un subgrupo . Un teorema fundamental de Armand Borel y Harish-Chandra afirma que siempre hay una red en ; el ejemplo más simple de esto es el subgrupo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Generalizando la construcción anterior se obtiene la noción de una red aritmética en un grupo de Lie semisimple. Dado que todos los grupos de Lie semisimples se pueden definir, una consecuencia de la construcción aritmética es que cualquier grupo de Lie semisimple contiene una red. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Irreductibilidad

Cuando el grupo de Lie se divide como producto, hay una construcción obvia de redes a partir de los grupos más pequeños: si son redes, entonces también lo son. A grandes rasgos, se dice entonces que una red es irreductible si no proviene de esta construcción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$

Más formalmente, si se descompone en factores simples, se dice que una red es irreducible si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$

• La proyección de a cualquier factor es densa; ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$
• La intersección de con cualquier factor no es un entramado. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$

Un ejemplo de una red irreducible lo da el subgrupo que vemos como un subgrupo a través del mapa donde está el mapa de Galois enviando una matriz con coeficientes a . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$

Rango 1 versus rango superior

El rango real de un grupo de Lie es la dimensión máxima de un toro dividido de (un subgrupo abeliano que contiene sólo elementos semisimples con al menos un valor propio real distinto de ). Los grupos de Lie semisimples de rango real 1 sin factores compactos son (hasta isogenia ) los de la siguiente lista (ver Lista de grupos de Lie simples ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pm 1}$

• Los grupos ortogonales de formas cuadráticas reales de firma para ; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Los grupos unitarios de formas hermitianas de firma para ; ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Los grupos (grupos de matrices con coeficientes de cuaternión que conservan una "forma cuadrática cuaterniónica" de firma ) para ; ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• El grupo de Lie excepcional (la forma real de rango 1 correspondiente al álgebra de Lie excepcional ). ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ ${\displaystyle F_{4}}$

El rango real de un grupo de Lie tiene una influencia significativa en el comportamiento de las redes que contiene. En particular, el comportamiento de las redes en las dos primeras familias de grupos (y, en menor medida, el de las redes en las dos últimas) difiere mucho del de las redes irreducibles en grupos de rango superior. Por ejemplo:

• Existen redes no aritméticas en todos los grupos , en , ^{[7] [8]} y posiblemente en (la última es una pregunta abierta ), pero todas las redes irreducibles en los demás son aritméticas; ^{[9] [10]} ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$
• Las redes en el rango 1 de grupos de Lie tienen infinitos subgrupos normales de índice infinito, mientras que todos los subgrupos normales de redes irreducibles en el rango superior son de índice finito o están contenidos en su centro; ^{[11] [12]}
• Conjeturalmente, las redes aritméticas en grupos de rango superior tienen la propiedad de subgrupo de congruencia ^[13] pero hay muchas redes en las que tienen subgrupos de índice finito no congruentes. ^[14] ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Propiedad de Kazhdan (T)

Kazhdan introdujo la propiedad conocida como (T) para estudiar las redes de estructuras algebraicas en ciertos grupos de Lie cuando los métodos clásicos, más geométricos, fallaron o al menos no fueron tan eficientes. El resultado fundamental al estudiar redes es el siguiente: ^[15]

Una red en un grupo localmente compacto tiene la propiedad (T) si y sólo si el grupo mismo tiene la propiedad (T).

Utilizando el análisis armónico es posible clasificar grupos de Lie semisimples según tengan o no la propiedad. Como consecuencia obtenemos el siguiente resultado, que ilustra aún más la dicotomía del apartado anterior:

• Las celosías en no tienen la propiedad de Kazhdan (T), mientras que las celosías irreducibles en todos los demás grupos de Lie simples sí la tienen; ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$

Propiedades de finitud

Las celosías en grupos de Lie semisimples siempre se presentan de forma finita y, de hecho, satisfacen condiciones de finitud más estrictas . ^[16] Para redes uniformes esto es una consecuencia directa de la cocompactación. En el caso no uniforme, esto se puede demostrar utilizando la teoría de la reducción. ^[17] Es más fácil demostrar la presentabilidad finita para grupos con Propiedad (T) ; sin embargo, existe una prueba geométrica que funciona para todos los grupos de Lie semisimples. ^[18]

Variedades de Riemann asociadas a celosías en grupos de Lie.

Métricas invariantes a la izquierda

Si es un grupo de Lie, entonces a partir de un producto interno en el espacio tangente (el álgebra de Lie de ) se puede construir una métrica de Riemann de la siguiente manera: si pertenece al espacio tangente en un punto puesto donde indica el mapa tangente (en ) del difeomorfismo de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$ ${\displaystyle G}$

Los mapas son , por definición, isometrías para esta métrica . En particular, si hay algún subgrupo discreto en (de modo que actúa libre y apropiadamente de manera discontinua mediante traslaciones a la izquierda en ) el cociente es una variedad de Riemann localmente isométrica con la métrica . ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$ ${\displaystyle \gamma \in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$

La forma de volumen de Riemann asociada a define una medida de Haar y vemos que la variedad cociente es de volumen de Riemann finito si y sólo si es una red. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Ejemplos interesantes en esta clase de espacios riemannianos incluyen variedades planas compactas y variedades nil .

Espacios localmente simétricos

Una forma bilineal natural viene dada por la forma Killing . Si no es compacto, no es definido y, por lo tanto, no es un producto interno: sin embargo, cuando es semisimple y es un subgrupo compacto máximo, puede usarse para definir una métrica invariante en el espacio homogéneo : tales variedades de Riemann se llaman espacios simétricos de no- tipo compacto sin factores euclidianos. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G/K}$

Un subgrupo actúa libremente, propiamente de forma discontinua, si y sólo si es discreto y está libre de torsión. Los cocientes se denominan espacios localmente simétricos. Por tanto, existe una correspondencia biyectiva entre espacios completos localmente simétricos localmente isomorfos a y de volumen finito de Riemann, y celosías libres de torsión en . Esta correspondencia se puede extender a todas las celosías agregando orbifolds en el lado geométrico. ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Celosías en grupos de Lie p-ádicos

Una clase de grupos con propiedades similares (con respecto a las redes) a los grupos de Lie semisimples reales son grupos algebraicos semisimples sobre campos locales de característica 0, por ejemplo los campos p-ádicos . Hay una construcción aritmética similar al caso real, y la dicotomía entre rango superior y rango también se cumple en este caso, de forma más marcada. Sea un grupo algebraico de rango dividido r . Entonces: ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• Si r es al menos 2, todas las redes irreducibles son aritméticas; ${\displaystyle G}$
• si r = 1 entonces hay incontables clases de conmensurabilidad de redes no aritméticas. ^[19]

En el último caso, todas las redes son de hecho grupos libres (hasta un índice finito).

Grupos aritméticos S

De manera más general, se pueden observar redes en grupos de la forma

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

donde es un grupo algebraico semisimple . Normalmente está permitido, en cuyo caso se trata de un grupo de Lie real. Un ejemplo de tal red está dado por ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle G_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$.

Esta construcción aritmética se puede generalizar para obtener la noción de grupo S-aritmético . El teorema de aritmeticidad de Margulis también se aplica a este escenario. En particular, si al menos dos de los factores no son compactos, entonces cualquier red irreducible es S-aritmética. ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle G}$

Celosías en grupos adélicos.

Si es un grupo algebraico semisimple sobre un campo numérico y su anillo adèle , entonces el grupo de puntos adélicos está bien definido (módulo algunos tecnicismos) y es un grupo localmente compacto que naturalmente contiene el grupo de puntos racionales como un subgrupo discreto. El teorema de Borel-Harish-Chandra se extiende a este escenario y es una red. ^[20] ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

El teorema de aproximación fuerte relaciona el cociente con cocientes aritméticos S más clásicos. Este hecho hace que los grupos Adèle sean muy eficaces como herramientas en la teoría de las formas automórficas . En particular, las formas modernas de la fórmula de trazas suelen establecerse y probarse para grupos adélic más que para grupos de Lie. ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$

Rigidez

Resultados de rigidez

Otro grupo de fenómenos relacionados con redes en grupos algebraicos semisimples se conoce colectivamente como rigidez . Aquí hay tres ejemplos clásicos de resultados en esta categoría.

Los resultados de la rigidez local establecen que en la mayoría de las situaciones cada subgrupo que está suficientemente "cercano" a una red (en el sentido intuitivo, formalizado por la topología de Chabauty o por la topología de una variedad de caracteres ) en realidad está conjugado a la red original por un elemento de la red. grupo de mentiras ambiental. Una consecuencia de la rigidez local y del teorema de Kazhdan-Margulis es el teorema de Wang: en un grupo dado (con una medida de Haar fija), para cualquier v>0 solo hay un número finito (hasta la conjugación) de redes con covolumen acotado por v .

El teorema de rigidez de Mostow establece que para redes en grupos de Lie simples que no son localmente isomorfos (el grupo de matrices de 2 por 2 con determinante 1), cualquier isomorfismo de redes es esencialmente inducido por un isomorfismo entre los propios grupos. En particular, una red en un grupo de Lie "recuerda" el grupo de Lie ambiental a través de su estructura de grupo. La primera afirmación a veces se denomina rigidez fuerte y se debe a George Mostow y Gopal Prasad (Mostow lo demostró para redes cocompactas y Prasad lo extendió al caso general). ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

La superrigidez proporciona (para grupos de Lie y grupos algebraicos sobre campos locales de rango superior) un fortalecimiento de la rigidez tanto local como fuerte, lidiando con homomorfismos arbitrarios de una red en un grupo algebraico G a otrogrupo algebraico H. Fue demostrado por Grigori Margulis y es un ingrediente esencial en la demostración de su teorema de aritmeticidad.

Falta de rigidez en dimensiones bajas

Los únicos grupos de Lie semisimples para los que la rigidez de Mostow no se cumple son todos los grupos localmente isomorfos a . En este caso, de hecho, hay continuamente muchas celosías y dan lugar a espacios de Teichmüller . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Las redes no uniformes del grupo no son localmente rígidas. De hecho, son puntos de acumulación (en la topología de Chabauty) de redes de covolumen más pequeño, como lo demuestra la cirugía hiperbólica de Dehn . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Como las redes en grupos p-ádicos de rango uno son grupos prácticamente libres, son muy poco rígidos.

Celosías de árboles

Definición

Sea un árbol con un grupo cocompacto de automorfismos; por ejemplo, puede ser un árbol regular o biregular . El grupo de automorfismos de es un grupo localmente compacto (cuando está dotado de la topología compacta-abierta , en la que una base de vecindades de la identidad viene dada por los estabilizadores de subárboles finitos, que son compactos). Cualquier grupo que en algunos sea una red se llama red de árbol . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

La discreción en este caso es fácil de ver a partir de la acción del grupo en el árbol: un subgrupo de es discreto si y sólo si todos los estabilizadores de vértices son grupos finitos. ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$

De la teoría básica de las acciones grupales sobre los árboles se desprende fácilmente que las redes de árboles uniformes son grupos prácticamente libres. Por lo tanto, las redes de árboles más interesantes son las no uniformes, es decir, aquellas para las cuales el gráfico del cociente es infinito. La existencia de tales redes no es fácil de ver. ${\displaystyle \Gamma \backslash T}$

Redes de árboles de grupos algebraicos.

Si es un campo local de característica positiva (es decir, una compleción de un campo funcional de una curva sobre un campo finito, por ejemplo el campo de una serie de potencias formal de Laurent ) y un grupo algebraico definido sobre rango uno dividido, entonces cualquier red en es una celosía de árbol a través de su acción sobre el edificio Bruhat-Tits que en este caso es un árbol. A diferencia del caso característico 0, tales redes pueden ser no uniformes y en este caso nunca se generan de forma finita. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Redes de árboles de la teoría de Bass-Serre

Si es el grupo fundamental de un gráfico infinito de grupos , todos cuyos grupos de vértices son finitos, y bajo supuestos adicionales necesarios sobre el índice de los grupos de aristas y el tamaño de los grupos de vértices, entonces la acción de sobre el árbol de Bass-Serre asociado al grafo de grupos lo realiza como un retículo de árbol. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Criterio de existencia

De manera más general, uno puede hacer la siguiente pregunta: si es un subgrupo cerrado de , ¿bajo qué condiciones contiene una red? La existencia de una red uniforme equivale a ser unimodular y el cociente finito. El teorema de existencia general es más sutil: es necesario y suficiente que sea unimodular, y que el cociente sea de "volumen finito" en un sentido adecuado (que puede expresarse combinatoriamente en términos de la acción de ), más general que el más fuerte. condición de que el cociente sea finito (como lo demuestra la existencia misma de redes de árboles no uniformes). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\backslash T}$ ${\displaystyle H}$

Notas

1. Bader, Uri; Caprace, Pierre-Emmanuel; Gelandro, tsachik; Moisés, Shahar (2012). "Grupos simples sin celosías". Toro. Matemáticas de Londres. Soc . 44 : 55–67. arXiv : 1008.2911 . doi : 10.1112/blms/bdr061. SEÑOR  2881324. S2CID  119130421.
2. Raghunathan 1972, Teorema 2.1.
3. Raghunathan 1972, Teorema 2.12.
4. Raghunathan 1972, Teorema 2.21.
5. Raghunathan 1972, Teorema 3.1.
6. Raghunathan 1972, Teorema 4.28.
7. Grómov, Misha; Piatetski-Shapiro, Ilya (1987). "Grupos no aritméticos en espacios de Lobachevsky" (PDF) . Publ. Matemáticas. IHÉS . 66 : 93-103. doi :10.1007/bf02698928. SEÑOR  0932135. S2CID  55721623.
8. Deligne, Pierre; Mostow, George (1993). Conmensurabilidades entre celosías en PU (1,n) . Prensa de la Universidad de Princeton. SEÑOR  1241644.
9. Margulis 1991, pag. 298.
10. Witte-Morris 2015, Teorema 5.21.
11. Margulis 1991, págs. 263-270.
12. Witte-Morris 2015, Teorema 17.1.
13. Raghunathan, MS (2004). "El problema de los subgrupos de congruencia". Proc. Académico indio. Ciencia. Matemáticas. Ciencia . 114 (4): 299–308. arXiv : matemáticas/0503088 . doi :10.1007/BF02829437. SEÑOR  2067695. S2CID  18414386.
14. Lubotzky, Alejandro; Segal, Dan (2003). Crecimiento de subgrupos . Progreso en Matemáticas. vol. 212. Birkhäuser Verlag. Capítulo 7. ISBN 3-7643-6989-2. SEÑOR  1978431.
15. Witte-Morris 2015, Proposición 13.17.
16. Gelander, Tsachik (15 de septiembre de 2004). "Tipo de homotopía y volumen de variedades localmente simétricas". Revista de Matemáticas de Duke . 124 (3): 459–515. arXiv : matemáticas/0111165 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12432-7.
17. Witte-Morris 2015, Capítulo 19.
18. Gelander, Tsachik (diciembre de 2011). "Volumen versus rango de celosías". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2011 (661): 237–248. arXiv : 1102.3574 . doi :10.1515/CRELLE.2011.085.
19. Lubotzky, Alejandro (1991). "Celosías en grupos de mentiras de rango uno sobre campos locales". Geom. Función. Anal . 1 (4): 406–431. doi :10.1007/BF01895641. SEÑOR  1132296. S2CID  119638780.
20. Weil, André (1982). Adeles y grupos algebraicos. Con apéndices de M. Demazure y Takashi Ono . Progreso en Matemáticas. vol. 23. Birkhäuser. págs.iii+126. ISBN 3-7643-3092-9. SEÑOR  0670072.

Referencias

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• Margulis, Grigory (1991). Subgrupos discretos de grupos de Lie semisimples . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . págs.x+388. ISBN 3-540-12179-X. SEÑOR  1090825.
• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994). Grupos algebraicos y teoría de números. (Traducido del original ruso de 1991 por Rachel Rowen) . Matemática Pura y Aplicada. vol. 139. Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. SEÑOR  1278263.
• Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . SEÑOR  0507234.
• Witte-Morris, Dave (2015). Introducción a los grupos aritméticos. Prensa deductiva. pag. 492.ISBN​ 978-0-9865716-0-2.
• Gelander, Tsachik (2014). "Conferencias sobre celosías y espacios localmente simétricos". En Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (eds.). Teoría de grupos geométricos . págs. 249–282. arXiv : 1402.0962 . Código Bib : 2014arXiv1402.0962G.