En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , dos grupos son conmensurables si difieren solo en una cantidad finita, en un sentido preciso. El conmensurador de un subgrupo es otro subgrupo, relacionado con el normalizador .
Se dice que dos grupos G 1 y G 2 son ( abstractamente ) conmensurables si hay subgrupos H 1 ⊂ G 1 y H 2 ⊂ G 2 de índice finito tales que H 1 es isomorfo a H 2 . [1] Por ejemplo:
Se utiliza una noción diferente pero relacionada para los subgrupos de un grupo dado. Es decir, se dice que dos subgrupos Γ 1 y Γ 2 de un grupo G son conmensurables si la intersección Γ 1 ∩ Γ 2 es de índice finito tanto en Γ 1 como en Γ 2 . Claramente, esto implica que Γ 1 y Γ 2 son conmensurables de manera abstracta.
Ejemplo: para los números reales a y b distintos de cero , el subgrupo de R generado por a es conmensurable con el subgrupo generado por b si y sólo si los números reales a y b son conmensurables [ se necesita más explicación ] , lo que significa que a / b pertenece a los números racionales Q.
En la teoría geométrica de grupos , un grupo finitamente generado se considera un espacio métrico utilizando la palabra métrica . Si dos grupos son (abstractamente) conmensurables, entonces son cuasi isométricos . [3] Ha sido fructífero preguntar cuándo se cumple lo inverso.
Existe una noción análoga en álgebra lineal: dos subespacios lineales S y T de un espacio vectorial V son conmensurables si la intersección S ∩ T tiene codimensión finita tanto en S como en T.
Dos espacios topológicos conexos por caminos se denominan a veces conmensurables si tienen espacios de recubrimiento homeomorfos de láminas finitas . Según el tipo de espacio en consideración, se podría querer utilizar equivalencias de homotopía o difeomorfismos en lugar de homeomorfismos en la definición. Por la relación entre los espacios de recubrimiento y el grupo fundamental , los espacios conmensurables tienen grupos fundamentales conmensurables.
Ejemplo: la variedad de Gieseking es conmensurable con el complemento del nudo en forma de ocho ; ambas son 3-variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. Por otra parte, existen infinitas clases de conmensurabilidad diferentes de 3-variedades hiperbólicas compactas y también de 3-variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. [4]
El conmensurador de un subgrupo Γ de un grupo G , denotado Comm G (Γ), es el conjunto de elementos g de G que tal que el subgrupo conjugado g Γ g −1 es conmensurable con Γ. [5] En otras palabras,
Este es un subgrupo de G que contiene el normalizador N G (Γ) (y por lo tanto contiene Γ).
Por ejemplo, el conmensurador del grupo lineal especial SL ( n , Z ) en SL ( n , R ) contiene a SL ( n , Q ). En particular, el conmensurador de SL ( n , Z ) en SL ( n , R ) es denso en SL ( n , R ). De manera más general, Grigory Margulis demostró que el conmensurador de una red Γ en un grupo de Lie semisimple G es denso en G si y solo si Γ es un subgrupo aritmético de G . [6]
El conmensurador abstracto de un grupo , denotado Comm , es el grupo de clases de equivalencia de isomorfismos , donde y son subgrupos de índice finito de , bajo composición. [7] Los elementos de se denominan conmensuradores de .
Si es un grupo de Lie semisimple conexo no isomorfo a , con centro trivial y sin factores compactos, entonces, por el teorema de rigidez de Mostow , el conmensurador abstracto de cualquier red irreducible es lineal. Además, si es aritmética, entonces Comm es virtualmente isomorfo a un subgrupo denso de , de lo contrario Comm es virtualmente isomorfo a .
