Índice de un subgrupo

Concepto de teoría de grupos de matemáticas.

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el índice de un subgrupo H en un grupo G es el número de clases laterales izquierdas de H en G , o de manera equivalente, el número de clases laterales derechas de H en G. El índice se denota o o . Debido a que G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas y debido a que cada clase lateral izquierda tiene el mismo tamaño que H , el índice está relacionado con los órdenes de los dos grupos mediante la fórmula ${\displaystyle |G:H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle (G:H)}$

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

(interpretar las cantidades como números cardinales si algunas de ellas son infinitas). Así , el índice mide los "tamaños relativos" de G y H. ${\displaystyle |G:H|}$

Por ejemplo, sea el grupo de números enteros bajo la suma y sea el subgrupo que consta de los números enteros pares . Luego tiene dos clases laterales en , a saber, el conjunto de números enteros pares y el conjunto de números enteros impares, por lo que el índice es 2. De manera más general, para cualquier número entero positivo n . ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$

Cuando G es finito , la fórmula se puede escribir como e implica el teorema de Lagrange que divide . ${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle |G|}$

Cuando G es infinito, es un número cardinal distinto de cero que puede ser finito o infinito. Por ejemplo, pero es infinito. ${\displaystyle |G:H|}$ ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}$

Si N es un subgrupo normal de G , entonces es igual al orden del grupo cociente , ya que el conjunto subyacente de es el conjunto de clases laterales de N en G. ${\displaystyle |G:N|}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/N}$

Propiedades

• Si H es un subgrupo de G y K es un subgrupo de H , entonces

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• Si H y K son subgrupos de G , entonces

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

con igualdad si . (Si es finita, entonces la igualdad se cumple si y sólo si .) ${\displaystyle HK=G}$ ${\displaystyle |G:H\cap K|}$ ${\displaystyle HK=G}$

• De manera equivalente, si H y K son subgrupos de G , entonces

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

con igualdad si . (Si es finita, entonces la igualdad se cumple si y sólo si .) ${\displaystyle HK=G}$ ${\displaystyle |H:H\cap K|}$ ${\displaystyle HK=G}$

• Si G y H son grupos y es un homomorfismo , entonces el índice del núcleo de en G es igual al orden de la imagen: ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto X y sea x  ∈  X . Entonces la cardinalidad de la órbita de x bajo G es igual al índice del estabilizador de x :

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

Esto se conoce como teorema del estabilizador de órbita .

• Como caso especial del teorema del estabilizador de órbita, el número de conjugados de un elemento es igual al índice del centralizador de x en G. ${\displaystyle gxg^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G}$
• De manera similar , el número de conjugados de un subgrupo H en G es igual al índice del normalizador de H en G. ${\displaystyle gHg^{-1}}$
• Si H es un subgrupo de G , el índice del núcleo normal de H satisface la siguiente desigualdad:

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

dónde ! denota la función factorial ; Esto se discute más adelante.

• Como corolario, si el índice de H en G es 2, o para un grupo finito el primo más bajo p que divide el orden de G, entonces H es normal, ya que el índice de su núcleo también debe ser p, y por tanto H es igual su núcleo, es decir, es normal.
• Tenga en cuenta que es posible que no exista un subgrupo de índice primo más bajo, como en cualquier grupo simple de orden no primo o, más generalmente, en cualquier grupo perfecto .

Ejemplos

• El grupo alterno tiene índice 2 en el grupo simétrico y, por tanto, es normal. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n},}$
• El grupo ortogonal especial tiene índice 2 en el grupo ortogonal y, por tanto, es normal. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$
• El grupo abeliano libre tiene tres subgrupos de índice 2, a saber ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}}$.

• De manera más general, si p es primo , entonces tiene subgrupos de índice p , correspondientes a los homomorfismos no triviales . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• De manera similar, el grupo libre tiene subgrupos de índice p . ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$
• El grupo diédrico infinito tiene un subgrupo cíclico de índice 2, que es necesariamente normal.

índice infinito

Si H tiene un número infinito de clases laterales en G , entonces se dice que el índice de H en G es infinito. En este caso, el índice es en realidad un número cardinal . Por ejemplo, el índice de H en G puede ser contable o incontable , dependiendo de si H tiene un número contable de clases laterales en G. Tenga en cuenta que el índice de H es como máximo del orden de G, que se realiza para el subgrupo trivial, o de hecho para cualquier subgrupo H de cardinalidad infinita menor que la de G. ${\displaystyle |G:H|}$

índice finito

Un subgrupo H de índice finito en un grupo G (finito o infinito) siempre contiene un subgrupo normal N (de G ), también de índice finito. De hecho, si H tiene índice n , entonces el índice de N será algún divisor de n . y un múltiplo de n ; de hecho, N puede considerarse el núcleo del homomorfismo natural de G al grupo de permutación de las clases laterales izquierdas (o derechas) de H. Expliquemos esto con más detalle, usando clases laterales derechas:

Los elementos de G que dejan iguales todas las clases laterales forman un grupo.

Llamemos a este grupo A. Sea B el conjunto de elementos de G que realizan una permutación dada en las clases laterales de H. Entonces B es una clase lateral derecha de A.

Lo que hemos dicho hasta ahora se aplica ya sea que el índice de H sea finito o infinito. Ahora supongamos que es el número finito n . Dado que el número de permutaciones posibles de clases laterales es finito, es decir, n !, entonces sólo puede haber un número finito de conjuntos como B. (Si G es infinito, entonces todos esos conjuntos son, por tanto, infinitos). El conjunto de estos conjuntos forma un grupo isomorfo a un subconjunto del grupo de permutaciones, por lo que el número de estos conjuntos debe dividir a n !. Además, debe ser múltiplo de n porque cada clase lateral de H contiene el mismo número de clases laterales de A. Finalmente, si para algún c ∈ G y a ∈ A tenemos ca = xc , entonces para cualquier d ∈ G dca = dxc , pero también dca = hdc para algún h ∈ H (según la definición de A ), entonces hd = dx . Como esto es cierto para cualquier d , x debe ser miembro de A, entonces ca = xc implica que cac ⁻¹ ∈ A y por lo tanto A es un subgrupo normal.

El índice del subgrupo normal no sólo tiene que ser divisor de n !, sino que también debe satisfacer otros criterios. Dado que el subgrupo normal es un subgrupo de H , su índice en G debe ser n veces su índice dentro de H. Su índice en G también debe corresponder a un subgrupo del grupo simétrico S _n , el grupo de permutaciones de n objetos. Entonces, por ejemplo, si n es 5, el índice no puede ser 15 ¡aunque divida a 5!, porque no hay ningún subgrupo de orden 15 en S ₅ .

En el caso de n = 2 , esto da el resultado bastante obvio de que un subgrupo H de índice 2 es un subgrupo normal, porque el subgrupo normal de H debe tener índice 2 en G y por lo tanto ser idéntico a H. (También podemos llegar a este hecho observando que todos los elementos de G que no están en H constituyen la clase lateral derecha de H y también la clase lateral izquierda, por lo que las dos son idénticas). De manera más general, un subgrupo de índice p donde p es el factor primo más pequeño del orden de G (si G es finito) es necesariamente normal, ya que el índice de N divide a p ! y por tanto debe ser igual a p, sin tener otros factores primos. Por ejemplo, el subgrupo Z ₇ del grupo no abeliano de orden 21 es normal (ver Lista de pequeños grupos no abelianos y Grupo de Frobenius#Ejemplos ).

Una prueba alternativa del resultado de que un subgrupo del índice primo más bajo p es normal, y otras propiedades de los subgrupos del índice primo se dan en (Lam 2004).

Ejemplos

El grupo O de simetría octaédrica quiral tiene 24 elementos. Tiene un subgrupo diédrico D ₄ (de hecho tiene tres) de orden 8, y por tanto de índice 3 en O , al que llamaremos H. Este grupo diédrico tiene un subgrupo D ₂ de 4 miembros , al que podemos llamar A. Multiplicar a la derecha cualquier elemento de una clase lateral derecha de H por un elemento de A da un miembro de la misma clase lateral de H ( Hca = Hc ). A es normal en O. Hay seis clases laterales de A , correspondientes a los seis elementos del grupo simétrico S ₃ . Todos los elementos de cualquier clase lateral particular de A realizan la misma permutación de las clases laterales de H.

Por otro lado, el grupo T _h de simetría piritoédrica también tiene 24 miembros y un subgrupo de índice 3 (en esta ocasión se trata de un grupo de simetría prismática D _2h , ver grupos de puntos en tres dimensiones ), pero en este caso todo el subgrupo es un subgrupo normal. Todos los miembros de una clase lateral determinada llevan a cabo la misma permutación de estas clases laterales, pero en este caso representan sólo el grupo alterno de 3 elementos en el grupo simétrico S ₃ de 6 miembros .

Subgrupos normales del índice de potencia primaria.

Los subgrupos normales del índice de potencia principal son núcleos de mapas sobreyectivos de p -grupos y tienen una estructura interesante, como se describe en Teorema de subgrupo focal: Subgrupos y elaborado en Teorema de subgrupo focal .

Hay tres subgrupos normales importantes del índice de potencia primaria, siendo cada uno de ellos el subgrupo normal más pequeño de una determinada clase:

• E ^p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales del índice p ; G / E ^p ( G ) es un grupo abeliano elemental y es el grupo p abeliano elemental más grande sobre el que G sobreyecta.
• A ^p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales K tales que G / K es un p -grupo abeliano (es decir, K es un subgrupo normal índice que contiene el grupo derivado ): G / A ^p ( G ) es el mayor grupo p abeliano (no necesariamente elemental) sobre el cual G sobreyecta. ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales K de G tales que G / K es un p -grupo (posiblemente no abeliano) (es decir, K es un subgrupo normal índice): G / O ^p ( G ) es el grupo p más grande (no necesariamente abeliano) sobre el que G sobreyecta. O ^p ( G ) también se conoce como ${\displaystyle p^{k}}$p -subgrupo residual .

Como se trata de condiciones más débiles en los grupos K, se obtienen las contenciones

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

Estos grupos tienen conexiones importantes con los subgrupos de Sylow y el homomorfismo de transferencia, como se analiza allí.

estructura geométrica

Una observación elemental es que no se pueden tener exactamente 2 subgrupos de índice 2, ya que el complemento de su diferencia simétrica produce un tercero. Este es un simple corolario de la discusión anterior (es decir, la proyectivización de la estructura del espacio vectorial del grupo abeliano elemental

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$,

y además, G no actúa sobre esta geometría, ni refleja ninguna estructura no abeliana (en ambos casos porque el cociente es abeliano).

Sin embargo, es un resultado elemental, que puede verse concretamente de la siguiente manera: el conjunto de subgrupos normales de un índice p dado forman un espacio proyectivo , es decir, el espacio proyectivo

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).}$

En detalle, el espacio de homomorfismos de G al grupo (cíclico) de orden p, es un espacio vectorial sobre el campo finito. Un mapa de este tipo no trivial tiene como núcleo un subgrupo normal de índice p, y multiplica el mapa por un elemento of (un número distinto de cero mod p ) no cambia el núcleo; así se obtiene un mapa de ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

al índice normal p subgrupos. Por el contrario, un subgrupo normal de índice p determina un mapa no trivial hasta una elección de "qué clase lateral se asigna a cuál muestra que este mapa es una biyección". ${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$ ${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$

Como consecuencia, el número de subgrupos normales del índice p es

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

por algunos k; No corresponde a ningún subgrupo normal del índice p . Además, dados dos subgrupos normales distintos de índice p, se obtiene una línea proyectiva que consta de dichos subgrupos. ${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle p+1}$

Porque la diferencia simétrica de dos subgrupos distintos del índice 2 (que son necesariamente normales) da el tercer punto en la línea proyectiva que contiene estos subgrupos, y un grupo debe contener subgrupos del índice 2; no puede contener exactamente 2 o 4 subgrupos del índice 2, por ejemplo. . ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$

Ver también

• Virtualmente
• Codimensión

Referencias

• Lam, TY (marzo de 2004), "Sobre subgrupos de índices primos", The American Mathematical Monthly , 111 (3): 256–258, JSTOR  4145135

enlaces externos

• Normalidad de subgrupos de índice primo en PlanetMath .
• "El subgrupo de índice primo mínimo es normal" en Groupprops, The Group Properties Wiki